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ビーム駆動型不安定性
プラズマにおいて、不安定性を引き起こすエネルギー源の代表として、粒子流 (ビーム) が挙げられます。 ビームはプラズマと同じ粒子種でも、異なる粒子種でも構いません。 前者の場合、粒子分布関数は 2 つのピークを持つ「こぶあり」(bump in tail あるいは bump on tail) 分布となります。 ビームの場合、不安定性は粒子の運動エネルギーを源として励起されます。 しかし、見方を変えると、運動する粒子ビーム中に存在する固有モードとプラズマ中の固有モードの位相速度が一致する振動数・波長でモード間のカップリング (結合) が起こり、不安定性が起こるとも言えます。
粒子ビームにより励起される不安定性は、静電波から電磁波まで極めて広範囲にわたります。 静電的な不安定性としては、2 流体不安定性・イオン音波不安定性などがあります。 背景磁場の存在下でのビーム励起の不安定性では、磁力線に垂直に近い伝搬方向を持つイオンサイクロトロン不安定性・変形 2 流体不安定性などが挙げられます。 アルヴェーン速度を越えるイオンビームからは、磁力線に平行に伝搬する電磁波であるアルヴェーン・イオンサイクロトロン波 (Alfven ion cyclotron wave, AIC 波) が励起されます。 地球が太陽と向き合う面に形成される衝撃波面であるバウショックの上流領域で観測される磁気流体波は、この波動モードと考えられています。
冷たいビームプラズマ系
ミクロな不安定性の典型例である、ビーム駆動型不安定性についてまとめましょう。 粒子ビームは宇宙プラズマや実験室プラズマにおいて、普遍的に存在します。
簡単のため、ここでは磁場のない一様な電子プラズマ中に、単一エネルギーを持つ粒子ビームが入射した場合を考えます。 各成分の温度はゼロとして、デルタ関数で表される分布関数
を用いることにします。 \(f_{\mathrm{b}0}, f_{\mathrm{e}0}\) はそれぞれ、ビーム成分と一様な電子プラズマの分布関数です。 背景磁場のないプラズマ中での静電波に対する縦誘電率の計算 (リンク先ページの (57) 式)の積分は
\[\begin{align} \int_{-\infty}^\infty \frac{k_x}{k_x v_x - \omega} \frac{\partial \delta(v_x - v_\mathrm{b})}{\partial v_x} dv_x &\underbrace{=}_{\xi = v_x - v_d} \int_{-\infty}^\infty \frac{k_x}{k_x (\xi + v_\mathrm{b}) - \omega} \frac{\partial \delta(\xi)}{\partial \xi} d\xi \notag \\ &= \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\xi + v_\mathrm{b} - \frac{\omega}{k_x}} \frac{\partial \delta(\xi)}{\partial \xi} d\xi \notag \\ &\underbrace{=}_{部分積分} \left[ \frac{\delta(\xi)}{\xi + v_\mathrm{b} - \frac{\omega}{k_x}} \right]_{-\infty}^\infty + \int_{-\infty}^\infty \frac{\delta(\xi)}{(\xi + v_\mathrm{b} - \frac{\omega}{k_x})^2} d\xi \notag \\ &= \frac{1}{(v_\mathrm{b} - \frac{\omega}{k_x})^2} \tag{2} \end{align}\] \[\int_{-\infty}^\infty \frac{k_x}{k_x v_x - \omega} \frac{\partial \delta(v_x)}{\partial v_x} dv_x = \frac{k_x^2}{\omega^2} \tag{3}\]のようになります。 よって、分散関係式は
\[\varepsilon_\mathrm{L} (k_x, \omega) = 1 - \frac{4\pi e^2}{m_e k_x^2} \frac{n_\mathrm{b} k_x^2}{(\omega - k_x v_\mathrm{b})^2} - \frac{4\pi e^2}{m_e k_x^2} \frac{n_e k_x^2}{\omega^2} = 1 - \frac{\omega_{p \mathrm{b}}^2}{(\omega - k_x v_\mathrm{b})^2} - \frac{\omega_{p \mathrm{e}}^2}{\omega^2} = 0 \tag{4}\]を解くことにより求めることができます。 これは \(\omega\) についての 4 次方程式であるため、ビーム密度や速度によって 4 個または 3 個の実数解、2 個の実数解と 2 個の複素数解の場合に分けることができます。
根の個数は、図形的な方法に調べることができます。 関数 \(\varepsilon (k_x, \omega)\) を \(\omega\) についてプロットすると、次図のようになります。
冷たいビームプラズマの不安定性。\(\omega \rightarrow \pm \infty\) では、1 に漸近する。中央の曲線の極大値がゼロより小さいとき、系が不安定となる。
これらの曲線のうち、両側の 2 本は必ず値がゼロと交差するため、実数解が 2 つ存在します。 残りの 2 つの解が実数解となるか複素共役な複素数解となるかは、中央の曲線の極大値とゼロとの大小関係により決定されます。 極大値の位置は
\[\begin{align} &\frac{\partial \varepsilon_\mathrm{L}}{\partial \omega} = \frac{2\omega_{p \mathrm{b}}^2}{(\omega - k_x v_\mathrm{b})^3} + \frac{2 \omega_{p \mathrm{e}}^2}{\omega^3} = 0 \ \Longrightarrow \ \left( \frac{k_x v_\mathrm{b} - \omega}{\omega} \right)^3 = \left( \frac{\omega_{p \mathrm{b}}}{\omega_{p \mathrm{e}}} \right)^2 \notag \\ &\Longrightarrow \ \frac{k_x v_\mathrm{b} - \omega}{\omega} = \left( \frac{\omega_{p \mathrm{b}}}{\omega_{p \mathrm{e}}} \right)^{2/3} \ \Longrightarrow \ \omega_\ast = \frac{k_x v_\mathrm{b}}{1 + \left( \frac{\omega_{p \mathrm{b}}}{\omega_{p \mathrm{e}}} \right)^{2/3}} \tag{5} \end{align}\]のように求まります。 これを再び \(\varepsilon_\mathrm{L} (\omega)\) に代入することで、極大値を求めましょう。 式を見やすくするために \(\alpha \equiv (\omega_{p \mathrm{b}} / \omega_{p \mathrm{e}})^{2/3}\) とすると
\[\begin{align} \varepsilon_\mathrm{L} (\omega_\ast) &= 1 - \frac{\omega_{p \mathrm{b}}^2 (1 + \alpha)^2}{\alpha^2 k_x^2 v_\mathrm{b}^2} - \frac{\omega_{p \mathrm{e}}^2 (1 + \alpha)^2}{k_x^2 v_\mathrm{b}^2} = 1 - \frac{(1 + \alpha)^2}{k_x^2 v_\mathrm{b}^2} \left( \frac{\omega_{p \mathrm{b}}^2}{\alpha^2} + \omega_{p \mathrm{e}}^2 \right) \notag \\ &\underbrace{=}_{\omega_{p \mathrm{b}}^2 / \alpha^3 = \omega_{p \mathrm{e}}^2} 1 - \frac{\omega_{p \mathrm{e}}^2}{k_x^2 v_\mathrm{b}^2} (1 + \alpha)^3 \tag{6} \end{align}\]と計算できます。 これがゼロより大きければ、4 つの実数解を持ちます。 すなわち
\[\frac{k_x v_\mathrm{b}}{\omega_{p \mathrm{e}}} \geq (1 + \alpha)^{3/2} = \left\{ 1 + \left( \frac{\omega_{p \mathrm{b}}^2}{\omega_{p \mathrm{e}}^2} \right)^{1/3} \right\}^{3/2} \tag{7}\]の場合、このビームプラズマ系は安定であるとわかります。 特に、ビームプラズマの両成分がともに電子であるときは \(\omega_{p \mathrm{b}}^2 / \omega_{p \mathrm{e}}^2 = n_\mathrm{b} / n_\mathrm{e}\) となります。 (7) 式は、ドリフト速度がある値を越えると、ビームプラズマ系が不安定性に対して安定になることを示しています。 これは速度シアが原因で起こる、流体のケルビン・ヘルムホルツ不安定性などと矛盾しているように見えます。 しかし、安定化する原因は、ドリフト速度が大きくなるにつれてビーム中の固有モードが周囲のプラズマと相互作用しなくなることにあります。 ビーム速度を固定した場合、波数がある波数より小さい (波長が長い) モードに対してビーム不安定性が起こり、その成長率は波数 \(k\) の関数となります。
冷たい電子ビームプラズマ系の分散関係式 (4) を数値的に解いて描画したものを、次図に示します。
図には 3 つの曲線が存在し、ある波数 \(k_0\) より大きな部分では 4 つの実数解が存在します。 しかし \(\vert k_x \vert < k_0\) ではそのうちの 2 つが複素数解となり、その一方は成長解、他方が減衰解となります。 図中の点線は複素数解の虚部 (の絶対値) を表したもので、その値は \(\vert \omega_\mathrm{i} \vert / \omega_{p \mathrm{e}} \sim 0.1\) 程度となります。 これはかなり激しい不安定性です。 図をよく見ると、不安定性に対応する曲線が \(\omega = \pm \omega_{p \mathrm{e}}, k_x v_\mathrm{b} \pm \omega_{p \mathrm{b}}\) の 4 つのモードが結合・分岐してできていることがわかります。 これらのうちで不安定性を起こしているのは、ビーム中に存在する固有モードのうちの \(\omega / k_x < v_\mathrm{b}\) を満たす遅い方の波動 \(\omega = k_x v_\mathrm{b} - \omega_{p \mathrm{b}}\) です。 以上から、静止プラズマ中のプラズマ振動と、ビーム中のプラズマ振動という、2 つの固有モードがカップリングを起こした結果として不安定性が生じていることが理解できます。
一方、ドリフト速度が熱速度程度まで遅い場合、ランダウ減衰が効いてやはり安定となります。
有限温度のビームプラズマ系: イオン音波不安定性
次により一般的に、有限温度をもつようなビームプラズマ系を考えてみましょう。 ここでは、電子とイオンの 2 成分プラズマを用いることにします。 電子の速度分布関数は分布中心がシフトしたボルツマン分布、イオンについてはシフトのない分布を用います。 すなわち
\[f_{e0}(v_x) = \frac{n_0}{\sqrt{\pi} v_e} e^{- \frac{(v_x - v_\mathrm{b})^2}{v_e^2}} \tag{8}\] \[f_{i0}(v_x) = \frac{n_0}{\sqrt{\pi} v_i} e^{- \frac{v_x^2}{v_i^2}} \tag{9}\]のようにします。 イオンが背景にあるところに、ビーム速度 \(v_\mathrm{b}\) で電子を打ち込むような系を考えていることになります。 先ほどと同様に、縦誘電率を計算しましょう。
\[\begin{align} \int_{-\infty}^\infty \frac{k_x}{\omega - k_x v_x} \frac{\partial f_{e0}}{\partial v_x} dv_x &= \frac{2}{v_e^2} \int_{-\infty}^\infty \frac{k_x}{k_x v_x - \omega} (v_x - v_\mathrm{b}) e^{-\frac{(v_x - v_\mathrm{b})^2}{v_e^2}} dv_x \notag \\ &\underbrace{=}_{z = (v_x - v_\mathrm{b}) / v_e} \frac{2}{v_e^2} \int_{-\infty}^\infty \frac{k_x}{k_x (v_e z + v_\mathrm{b}) - \omega} v_e z e^{-z^2} v_e dz \notag \\ &= \frac{2}{v_e} \int_{-\infty}^\infty \frac{z}{z - \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e}} e^{-z^2} dz = \frac{2}{v_e} \int_{-\infty}^\infty \left( 1 + \frac{\frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e}}{z - \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e}}\right) e^{-z^2} dz \notag \\ &= \frac{2}{v_e} \int_{-\infty}^\infty e^{-z^2} dz + \frac{2}{v_e} \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-z^2}}{z - \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e}} dz \notag \\ &= \frac{2\sqrt{\pi}}{v_e} + \frac{2 \sqrt{\pi}}{v_e} \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e} Z \left( \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e} \right) \tag{10} \end{align}\] \[\int_{-\infty}^\infty \frac{k_x}{\omega - k_x v_x} \frac{\partial f_{i0}}{\partial v_x} dv_x = \frac{2 \sqrt{\pi}}{v_i} + \frac{2\sqrt{\pi}}{v_i} \frac{\omega}{k_x v_i} Z \left( \frac{\omega}{k_x v_i}\right) \tag{11}\]途中、プラズマ分散関数を用いました。 これらを用いると、縦誘電率は最終的に
\[\begin{align} \varepsilon_\mathrm{L} (k_x, \omega) &= 1 + \frac{4\pi e^2}{m_e k_x^2} \frac{n_0}{\sqrt{\pi} v_e} \left\{ \frac{2\sqrt{\pi}}{v_e} + \frac{2 \sqrt{\pi}}{v_e} \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e} Z \left( \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e} \right) \right\} \notag \\ & \qquad \qquad + \frac{4\pi e^2}{m_i k_x^2} \frac{n_0}{\sqrt{\pi} v_i} \left\{ \frac{2 \sqrt{\pi}}{v_i} + \frac{2\sqrt{\pi}}{v_i} \frac{\omega}{k_x v_i} Z \left( \frac{\omega}{k_x v_i}\right)\right\} \notag \\ &= 1 + \frac{2 \omega_{pe}^2}{k_x^2 v_e^2} \left\{ 1 + \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e} Z \left( \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e} \right) \right\} + \frac{2 \omega_{pi}^2}{v_i^2 k_x^2} \left\{ 1 + \frac{\omega}{k_x v_i} Z \left( \frac{\omega}{k_x v_i}\right)\right\} \tag{12} \end{align}\]のように求まります。
冷たい極限
本題に入る前に、冷たいプラズマ極限をとってみましょう。 このとき、\(v_e, v_i \rightarrow 0\) であることから、プラズマ分散関数の引数が大きな場合について漸近展開しましょう。 すると
\[Z \left( \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e}\right) \approx - \frac{k_x v_e}{\omega - k_x v_\mathrm{b}} \left\{ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{k_x v_e}{\omega - k_x v_\mathrm{b}} \right)^2\right\} \tag{13}\] \[Z \left( \frac{\omega}{k_x v_i}\right) \approx - \frac{k_x v_i}{\omega} \left\{ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{k_x v_i}{\omega} \right)^2\right\} \tag{14}\]より、分散関係式 \(\varepsilon_\mathrm{L} = 0\) は
\[\varepsilon_\mathrm{L} (k_x, \omega) = 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{k_x^2 v_e^2} \left( \frac{k_x v_e}{\omega - k_x v_\mathrm{b}} \right)^2 - \frac{\omega_{pi}^2}{k_x^2 v_i^2} \left( \frac{k_x v_i}{\omega} \right)^2 = 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{(\omega - k_x v_\mathrm{b})^2} - \frac{\omega_{pi}^2}{\omega^2} = 0 \tag{15}\]のようになります。 途中、プラズマ分散関数を級数展開したときの虚部は無視しました。 これは冷たいビームプラズマ系で求めた (4) 式と同じです。 不安定になる波数について考えると、今の状況設定では (7) 式において \(\omega_{p \mathrm{b}} \rightarrow \omega_{pe}, \omega_{pe} \rightarrow \omega_{pi}\) のように置き換えることで条件式を得ることができます。 すなわち、与えられたドリフト速度 \(v_\mathrm{b}\) に対して、小さな波数
\[\frac{k_x v_\mathrm{b}}{\omega_{pi}} \leq \left\{ 1 + \left( \frac{\omega_{pe}^2}{\omega_{pi}^2}\right)^{1/3} \right\}^{3/2} = \left\{ 1 + \left( \frac{m_i}{m_e}\right)^{1/3} \right\}^{3/2} \tag{16}\]で不安定となります。 途中、プラズマ振動数を用いて変形し、さらに電気的中性条件から \(n_i = n_e\) としました。 質量比が \(m_i / m_e \gg 1\) であることに注意すると、不安定な波数は
\[\frac{k_x v_\mathrm{b}}{\omega_{pi}} \lesssim \frac{\omega_{pe}}{\omega_{pi}} \ \Longrightarrow \ k_x \lesssim \frac{\omega_{pe}}{v_\mathrm{b}} \tag{17}\]のようになります。 \(k_x v_\mathrm{b} \approx \omega_{pe}\) として、(15) 式の解を求めてみましょう。 すると
\[\frac{\omega_{pe}^2}{(\omega - \omega_{pe})^2} = \left( 1 - \frac{\omega}{\omega_{pe}} \right)^{-2} = 1 + \frac{2\omega}{\omega_{pe}} + \frac{3\omega^2}{\omega_{pe}^2} + \cdots \tag{18}\]のように展開できます。 さらに \(\omega \simeq \omega_{pi} \ (\ll \omega_{pe})\) と仮定して、(18) 式の 1 次までを考慮すると
\[\begin{align} &\varepsilon_\mathrm{L} \approx 1 - \left( 1 + \frac{2\omega}{\omega_{pe}} \right) - \frac{\omega_{pi}^2}{\omega^2} = - \frac{2\omega}{\omega_{pe}} - \frac{\omega_{pi}^2}{\omega^2} = 0 \notag \\ &\Longrightarrow \ \omega^3 \approx - \frac{1}{2} \omega_{pi}^2 \omega_{pe} \underbrace{=}_{\omega_{pi}^2 = \omega_{pe}^2 m_e / m_i} - \frac{m_e}{2m_i} \omega_{pe}^3 \tag{19} \end{align}\]となります。 これを解くとき、複素数を考慮します。 すなわち \(-1\) の三乗根である \(e^{\pm i \pi /3}, e^{i\pi} = -1\) を用いることで
\[\omega \approx \left( \frac{m_e}{2m_i} \right) \omega_{pe} \times \left\{ \begin{array}{l} e^{\pm i\pi / 3} \\ -1 \end{array} \right. \tag{20}\]のように求められます。 \(m_e / m_i \ll 1\) であることから、この解は先ほどの \(\omega \ll \omega_{pe}\) の仮定を満たしていることがわかります。 冷たいプラズマの条件下の場合、波の位相速度 \(\omega / k_x\) は (デルタ関数的な) 粒子の分布関数のすそ部分にかからず、共鳴粒子は存在しません。 すなわち、この場合に起こる現象は流体的であり、全てのプラズマ粒子が非共鳴的に関与する形で不安定性が生じます。 そのため、このようにして得られる不安定性は、成長率が振動数と同程度の大きさを持つ強い不安定性となります。 実際、(20) 式の \(e^{i\pi/ 3}\) の根が成長モードに対応し、このときの成長率 (虚部) は
\[\gamma = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( \frac{m_e}{2m_i} \right)^{1/3} \omega_{pe} = \frac{\sqrt{3}}{2} \vert \omega \vert \tag{21}\]となります。 これはブンネマン不安定性 (Bunneman instability) と呼ばれる、2 流体不安定性 (two-stream instability) の一種です。
有限温度の場合
続いて、電子とイオンが有限温度をもち、さらに \(\vert (\omega / k_x) - v_\mathrm{b} \vert \sim v_e\) である場合を考えましょう。
電子とイオンからなる 2 成分プラズマの速度分布関数。破線はイオン音波の位相速度を表す。
この場合、(12) 式の電子成分 (第二項) については、プラズマ分散関数の引数が小さな場合について漸近展開すると
\[Z \left( \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e}\right) \approx i\sqrt{\pi} \exp \left\{ - \left( \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e} \right)^2 \right\} \tag{22}\]となります。 上図のように考えると、イオン成分 (第三項) については \(\frac{\omega}{k_x v_i} \gg 1\) であるため、先ほどと同様にプラズマ分散関数の引数が大きな場合の漸近展開を計算しましょう。
\[Z \left( \frac{\omega}{k_x v_i} \right) \approx i\sqrt{\pi} \exp \left\{ - \left( \frac{\omega}{k_x v_i}\right)^2 \right\} - \frac{k_x v_i}{\omega} \left\{ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{k_x v_i}{\omega} \right)^2\right\} \tag{23}\]これらより、(12) 式から分散関係式 \(\varepsilon_\mathrm{L} = 0\) は
\[\begin{align} \varepsilon_\mathrm{L} (k_x, \omega) &= 1 + \frac{2 \omega_{pe}^2}{k_x^2 v_e^2} \left[ 1 + \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e} i \sqrt{\pi} \exp \left\{ - \left( \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e}\right)^2 \right\} \right] \notag \\ & \qquad + \frac{2 \omega_{pi}^2}{k_x^2 v_i^2} \left[ 1 + \frac{\omega}{k_x v_i} i\sqrt{\pi} \exp \left\{ - \left( \frac{\omega}{k_x v_i}\right)^2 \right\} - \left\{ 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{k_x v_i}{\omega} \right)^2\right\} \right] \notag \\ &= 1 + \frac{2 \omega_{pe}^2}{k_x^2 v_e^2} \left[ 1 + \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e} i \sqrt{\pi} \exp \left\{ - \left( \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e}\right)^2 \right\} \right] \notag \\ & \qquad + \frac{2 \omega_{pi}^2 \omega}{k_x^3 v_i^3} i\sqrt{\pi} \exp \left\{ - \left( \frac{\omega}{k_x v_i}\right)^2 \right\} - \frac{\omega_{pi}^2}{\omega^2} = 0 \tag{24} \end{align}\]となります。 この式の実部は
\[1 + \frac{2\omega_{pe}^2}{k_x^2 v_e^2} - \frac{\omega_{pi}^2}{\omega_\mathrm{r}^2} = 0 \tag{25}\]であり、これは電子による遮蔽を受けているイオンプラズマ波動、すなわちイオン音波に他なりません (真空中で \(1\) なのが \(1 + \frac{2\omega_{pe}^2}{k_x^2 v_e^2}\) に修正されています)。 この式を解くことで、振動数は
\[\frac{k_x^2 v_e^2 + 2 \omega_{pe}^2}{k_x^2 v_e^2} = \frac{\omega_{pi}^2}{\omega_r^2} \ \Longrightarrow \ \omega_\mathrm{r}^2 = \frac{k_x^2 v_e^2}{k_x^2 v_e^2 + 2\omega_{pe}^2} \omega_{pi}^2 \underbrace{=}_{\lambda_\mathrm{De}^2 = v_e^2 / 2 \omega_{pe}^2} \frac{1}{1 + \frac{1}{k_x^2 \lambda_\mathrm{De}^2}} \omega_{pi}^2 = \frac{k_x^2 \lambda_\mathrm{De}^2}{ 1 + k_x^2 \lambda_\mathrm{De}^2} \omega_{pi}^2 \tag{26}\]のようになります。 ここにさらに電子のデバイ長 \(\lambda_\mathrm{De} = \sqrt{\frac{k_B T_e}{4\pi e^2 n_e}}\) とイオンのプラズマ振動数 \(\omega_{pi} = \sqrt{\frac{4\pi e^2 n_i}{m_i}}\)、そして \(n_e = n_i\) であることを用いると
\[\omega_\mathrm{r}^2 = \frac{k_x^2}{1 + k_x^2 \lambda_\mathrm{De}^2} \frac{k_B T_e}{m_i} \underbrace{=}_{C_{se}^2 = P/\rho = k_B T_e / m_i} \frac{k_x^2 C_{se}^2}{1 + k_x^2 \lambda_\mathrm{De}^2} \tag{27}\]のように整理されます。 一方、\(\varepsilon_\mathrm{L}\) の虚部から
\[\varepsilon_\mathrm{i} = \frac{2 \omega_{pe}^2}{k_x^2 v_e^2} \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e} \sqrt{\pi} + \frac{2\omega_{pi}^2 \omega}{k_x^3 v_i^3} \sqrt{\pi} \exp \left\{ - \left( \frac{\omega_\mathrm{r}}{k_x v_i}\right)^2 \right\} \tag{28}\]のようになります。 途中、電子の寄与については \(\frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_e} \ll 1\) とし、\(\exp \{\cdots\} \sim 1\) としました。 さらに
\[\frac{\partial \varepsilon_\mathrm{r}}{\partial \omega_\mathrm{r}} = \frac{2 \omega_{pi}^2}{\omega_\mathrm{r}^3} \tag{29}\]より、角周波数の虚部は
\[\begin{align} \omega_\mathrm{i} &= - \frac{\varepsilon_\mathrm{i}}{\frac{\partial \varepsilon_\mathrm{r}}{\partial \omega_\mathrm{r}}} = - \frac{\omega_\mathrm{r}^3}{2 \omega_{pi}^2} \frac{2 \omega_{pe}^2}{k_x^3 v_e^3} (\omega_\mathrm{r} - k_x v_\mathrm{b}) \sqrt{\pi} - \frac{\omega_\mathrm{r}^3}{2 \omega_{pi}^2} \frac{2 \omega_{pi}^2 \omega_\mathrm{r}}{k_x^3 v_i^3} \sqrt{\pi} \exp \left\{ - \left( \frac{\omega}{k_x v_i} \right)^2\right\} \notag \\ &= - \sqrt{\pi} \frac{m_i}{m_e} \left( \frac{\omega_\mathrm{r}}{k_x v_e} \right)^3 (\omega_\mathrm{r} - k_x v_\mathrm{b}) - \sqrt{\pi} \left( \frac{\omega_\mathrm{r}}{k_x v_i}\right)^3 \omega_\mathrm{r} \exp \left\{ - \left( \frac{\omega_\mathrm{r}}{k_x v_i}\right)^2 \right\} \notag \\ &= - \sqrt{\pi} \frac{m_i}{m_e} \left( \frac{\omega_\mathrm{r}}{k_x v_e} \right)^3 \left[ (\omega_\mathrm{r} - k_x v_\mathrm{b}) + \frac{m_e}{m_i} \left( \frac{v_e}{v_i}\right)^3 \omega_\mathrm{r} \exp \left\{ - \left( \frac{\omega_\mathrm{r}}{k_x v_i}\right)^2 \right\} \right] \tag{30} \end{align}\]のようになります。 さらにここに \(v_e = \sqrt{\frac{2k_B T_e}{m_e}}, v_i = \sqrt{\frac{2 k_B T_i}{m_i}}\) を用いれば
\[\frac{\omega_\mathrm{i}}{\omega_\mathrm{r}} = - \sqrt{\pi} \frac{m_i}{m_e} \left( \frac{\omega_\mathrm{r}}{k_x v_e} \right)^3 \left[ \frac{\omega_\mathrm{r} - k_x v_\mathrm{b}}{\omega_\mathrm{r}} + \left( \frac{m_i}{m_e} \right)^{1/2} \left( \frac{T_e}{T_i} \right)^{3/2} \exp \left\{ - \left( \frac{\omega_\mathrm{r}}{k_x v_i}\right)^2 \right\} \right] \tag{31}\]のように整理されます。 第二項は、イオンによるランダウ減衰を表します。 特に、\(T_e \sim T_i\) において安定化に効きます。 そして第一項が負になるとき、すなわち \(\omega_\mathrm{r} < k_x v_\mathrm{b}\) のときに不安定性が励起される可能性があります。
長波長 \(k_x^2 \lambda_\mathrm{De}^2 \ll 1\) に対しての成長率を計算してみましょう。 このとき、(27) 式より
のように近似されます。 すると、指数の肩の部分は
\[\frac{\omega_\mathrm{r}^2}{k_x^2 v_i^2} = \frac{C_{se}^2}{v_i^2} = \frac{k_B T_e}{m_i v_i^2} = \frac{k_B T_e}{2 k_B T_i} = \frac{T_e}{2 T_i} \tag{33}\]のようになるので、(31) 式は最終的に
\[\frac{\omega_\mathrm{i}}{\omega_\mathrm{r}} = - \sqrt{\pi} \frac{m_i}{m_e} \frac{C_{se}^3}{v_e^3} \left\{ \left( 1 - \frac{v_\mathrm{b}}{C_{se}}\right) + \left( \frac{m_i}{m_e}\right)^{1/2} \left( \frac{T_e}{T_i}\right)^{3/2} e^{-T_e / (2 T_i)}\right\} \tag{34}\]のようになります。 \(T_e \gg T_i\) のときには、第二項のイオンのランダウ減衰の効果は無視することができます。 よって不安定性の条件は第一項が負、すなわちドリフト速度が電子の音速を越えること \(v_\mathrm{b} > C_{se}\) が条件となります。 これをイオン音波不安定性 (ion acoustic instability) と呼びます。 このときの波の位相速度は、先ほどの分布関数の図で示したように、電子とイオンの分布関数のピークの間 (の電子寄り) にあります。 そして電子の分布関数の勾配が正 (\(v_x \frac{\partial f_{0e}}{\partial v_x} > 0\)) となるすその領域にあります。 この場合も、不安定性はビーム内のプラズマ波と静止プラズマ中のイオン音波のカップリングにより励起されると考えることができます。 ところでイオン音波の成長率は、先の 2 流体不安定性に比べるとかなり小さな値です。 この理由は、波の位相速度付近に存在する比較的少数の電子とのランダウ共鳴 \(v_x \frac{\partial f_{0e}}{\partial v_x} > 0\) を通して不安定性が励起されるためです。 一般に、運動論的 (共鳴) 不安定性は、流体的 (非共鳴) 不安定性に比べ、成長率が小さくなります。
ビームと背景プラズマの密度が異なる場合
最後に、ビームの数密度を \(n_\mathrm{b}\)、背景となる電子プラズマの数密度を \(n_0\) とし、次のような速度分布関数を考えてみましょう。
\[f_0 (v) = \frac{n_0}{\sqrt{\pi} v_e} e^{-v^2 / v_e^2} + \frac{n_\mathrm{b}}{\sqrt{\pi} v_{e\mathrm{b}}} e^{-\frac{(v - v_{\mathrm{b}})^2}{v_{e\mathrm{b}}^2}} \tag{35}\]すなわち、右辺第二項がビーム成分を表しています。 この場合の縦誘電率は、(12) 式の第三項において \(\omega_{pi} \rightarrow \omega_{pe} = \sqrt{\frac{4\pi e^2 n_0}{m_e}}, v_i \rightarrow v_e\)、第二項において \(\omega_{pe} \rightarrow \omega_{pe \mathrm{b}} = \sqrt{\frac{4\pi e^2 n_\mathrm{b}}{m_e}}, v_e \rightarrow v_{e\mathrm{b}}\) のように置き換えれば良いとわかります。 よって
\[\varepsilon_\mathrm{L} (k_x, \omega) = 1 + \frac{2 \omega_{pe}^2}{k_x^2 v_e^2} \left\{ 1 + \frac{\omega}{k_x v_e} Z \left( \frac{\omega}{k_x v_e}\right) \right\} + \frac{2 \omega_{pe \mathrm{b}}^2}{k_x^2 v_{e \mathrm{b}}^2} \left\{ 1 + \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_{e\mathrm{b}}} Z \left( \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_{e \mathrm{b}}}\right) \right\} \tag{36}\]となります。 \(v_e, v_{e \mathrm{b}} \ll 1\) として、プラズマ分散関数の引数が大きな場合の級数展開を用いると
\[\begin{align} \varepsilon_\mathrm{L} (k_x, \omega) &\approx 1 + \frac{2\omega_{pe}^2}{k_x^2 v_e^2} \left\{ 1 + i\sqrt{\pi} \frac{\omega}{k_x v_e} \exp \left( - \frac{\omega^2}{k_x^2 v_e^2}\right) - \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{k_x^2 v_e^2}{\omega^2} \right)\right\} \notag \\ & \qquad + \frac{2\omega_{pe\mathrm{b}}^2}{k_x^2 v_{e \mathrm{b}}^2} \left\{ 1 + i\sqrt{\pi} \frac{\omega - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_{e \mathrm{b}}} \exp \left( - \frac{(\omega - k_x v_\mathrm{b})^2}{k_x^2 v_{e \mathrm{b}}^2}\right) - \left( 1 + \frac{1}{2} \frac{k_x^2 v_{e \mathrm{b}}^2}{(\omega - k_x v_\mathrm{b})^2} \right)\right\} \notag \\ &= 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2} - \frac{\omega_{pe \mathrm{b}}^2}{(\omega- k_x v_\mathrm{b})^2} \notag \\ & \qquad + i\sqrt{\pi} \frac{2\omega_{pe}^2\omega}{k_x^3 v_e^3} \exp \left(- \frac{\omega^2}{k_x^2 v_e^2}\right) + i\sqrt{\pi} \frac{2\omega_{pe\mathrm{b}}^2 (\omega - k_x v_\mathrm{b})}{k_x^3 v_{e\mathrm{b}}^3} \exp \left( - \frac{(\omega - k_x v_\mathrm{b})^2}{k_x^2 v_{e \mathrm{b}}^2}\right) \tag{37} \end{align}\]のようになります。 ビームが背景に比べて十分希薄な場合 (弱いビームの場合)、\(n_\mathrm{b} \ll n_0\) の場合、\(\omega_{pe \mathrm{b}} \ll \omega_{pe}\) であることから、縦誘電率の実部から
\[\varepsilon_\mathrm{r} (\omega_\mathrm{r}) \approx 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2} = 0 \ \Longrightarrow \ \omega_\mathrm{r} \approx \omega_{pe} \tag{38}\]とも泊まります。 また成長率は
\[\omega_\mathrm{i} \underbrace{=}_{\omega_{pe\mathrm{b}}^2 / \omega_{pe}^2 = n_\mathrm{b} / n_0} - \sqrt{\pi} \frac{\omega_\mathrm{r}^4}{k_x^3 v_e^3} \exp \left( - \frac{\omega_\mathrm{r}^2}{k_x^2 v_e^2}\right) - \sqrt{\pi} \frac{\omega_\mathrm{r}^3 n_\mathrm{b} (\omega - k_x v_\mathrm{b})}{k_x^3 v_{e\mathrm{b}}^3 n_0} \exp \left( - \frac{(\omega_\mathrm{r} - k_x v_{\mathrm{b}})^2}{k_x^2 v_{e\mathrm{b}}^2} \right) \tag{39}\]のようになります。 不安定となるのは、ビーム成分の速度分布関数の傾き \(\frac{\partial f}{\partial v}\) が正になる領域、すなわち \(v_\mathrm{b} - v_{e\mathrm{b}} < \omega_\mathrm{r} / k_x < v_\mathrm{b}\) の領域です。 そして(39) 式の第二項が最大になるのは \(\frac{\omega_\mathrm{r} - k_x v_\mathrm{b}}{k_x v_{e\mathrm{b}}} = - \frac{1}{\sqrt{2}}\) のときです。 よって最大成長率が
\[\omega_\mathrm{i} \approx \sqrt{\frac{\pi}{2e} \frac{n_\mathrm{b}}{n_0}} \frac{v_\mathrm{b}^2}{v_{e\mathrm{b}}^2} \omega_{pe} \tag{40}\]となることがわかります。 ここで \(e\) はネイピア数です。 もしビームの温度が非常に冷たく、\(\omega - k_x v_\mathrm{b} \gg k v_{e\mathrm{b}}\) が成り立つときには、ビーム成分の \(\varepsilon_\mathrm{i}\) への寄与は無視できます。 このときは分布関数の勾配に起因する不安定性ではなく、ブンネマン不安定性のところで触れたように、流体的な不安定性が主要な役割を果たします。 このときの不安定性は (15) 式において \(\omega_{pi} \rightarrow \omega_{pe}, \omega_{pe} \rightarrow \omega_{pe\mathrm{b}}\) とすることで求めることができます。
\[\varepsilon_\mathrm{L} (k_x, \omega) = 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2} - \frac{\omega_{pe \mathrm{b}}^2}{(\omega - k_x v_\mathrm{b})^2} = 0 \tag{41}\]そしてそれを解いた結果は、(16) 式より
\[k < \frac{\omega_{pe}}{v_\mathrm{b}} \left\{ 1 + \left( \frac{\omega_{pe\mathrm{b}}^2}{\omega_{pe}^2}\right)^{1/3}\right\} \tag{42}\]となり、これを満たす長波長領域で不安定になるモードが存在することがわかります。 先ほどと同様、弱いビームの条件 \(n_\mathrm{b} \ll n_0\) の下での最大成長率は
\[\omega_\mathrm{i} \approx \frac{\sqrt{3}}{2^{4/3}} \left( \frac{n_\mathrm{b}}{n_0}\right)^{1/3} \omega_{pe} \tag{43}\]と求まります。 またこの流体不安定となる条件、\(\omega - kv_\mathrm{b} \gg k v_{e\mathrm{b}}\) を書き換えると、\(\omega - kv_\mathrm{b} \approx \left( \frac{n_\mathrm{b}}{n_0} \right)^{1/3} \omega_{pe}\) となること、そして大雑把に \(k v_\mathrm{b} \approx \omega_{pe}\) と考えると
\[\left( \frac{n_\mathrm{b}}{n_0} \right)^{1/3} \gg \frac{v_{e\mathrm{b}}}{v_\mathrm{b}} \tag{44}\]のように表すことができます。 一方、有限温度でランダウ共鳴により不安定となる条件は \(\left( \frac{n_\mathrm{b}}{n_0} \right)^{1/3} < \frac{v_{e\mathrm{b}}}{v_\mathrm{b}}\) となります。
プラズマビーム不安定性の応用例
実際にプラズマビーム不安定性が引き金となって起こる物理現象や、実際の観測について触れておきましょう。
TeV ブレーザーからの GeV 放射増大の欠落
AGN の中には、ブレーザーと呼ばれる天体があります。 これは AGN から放出されている超相対論的ジェットが、私たちの方向をまっすぐ向いている天体とされています。 ブレーザーからは TeV エネルギーのガンマ線が放出されており、さらにその高エネルギーガンマ線が電子・陽電子を対生成します。 このようにして生まれた電子・陽電子は、CMB を逆コンプトン散乱することで、GeV 程度のエネルギーのガンマ線を生成するというのが、従来考えられてきた描像でした。 しかし実際の観測では、このようなエネルギーカスケードによる GeV 光子の増大は観測されていません (Neronov & Vovk (2010))。 もし銀河間に強い磁場がある場合、磁場により電子・陽電子対の軌道が曲げられ、観測される GeV 放射が広がり (ハロー) を持つようになります。 ここから、銀河間磁場強度の下限を見積もり、Neronov & Vovk (2010) では \(B \geq 3 \times 10^{-16}\) G としました。 Broderick et al. (2014) は、GeV 光子の増大の欠落をプラズマ物理から解決しようと試みた研究です。 この論文では、ジェットからの TeV エネルギーガンマ線から対生成された電子・陽電子プラズマをビームと見たて、このビームと背景にある銀河間プラズマとの間でビームプラズマ不安定性が起こるのではと考えました。 典型的な銀河間プラズマのパラメータなどを当てはめたところ、不安定性が素早く起こることが確認されました。 これにより、ビームのエネルギーは効率よくプラズマ波動に移るだろうと議論したのです。 そして GeV 成分を生み出すようなエネルギーのカスケードは発生せず、銀河間プラズマの加熱にエネルギーが用いられるという理論を提案しました。
しかしその後の Particle-in-Cell (PIC) 計算を用いた研究では、ビームはそのエネルギーをほとんど失わないという結果が報告されています (Sironi & Giannios (2014))。 不安定性が起こったとしても、プラズマ波動に移るエネルギーは 1-10 % 程度と小さかったのです。 そして、不安定性の主な効果はビームの角度を広げることであり、GeV カスケードは生き残るとの見方が強まっています (Perry & Lyubarsky (2021))。 後者のシミュレーションの観察が正しいとすると、先ほどの理屈から TeV ブレーザーに付随する GeV ガンマ線の増大が観測されても良いはずです。 今後の理論・観測の進展により、この矛盾が解決されるかもしれません。
磁気圏尾部での静電孤立波
磁気圏尾部のプラズマシート境界層で、静電的な孤立した双極パルス列が観測されました。 これを静電孤立波 (Electrostatic Solitary Waves: ESW) と呼び、その観測にあたっては日本の GEOTAIL 衛星などが活躍しました。 Matsumoto et al. (1994) では、GEOTAIL で観測された広帯域の静電ノイズ (Broadband Electrostatic Noise: BEN) が ESW であることを示しました。 また Omura et al. (1994) では、その ESW の発生機構を数値シミュレーションから研究しました。 すると、静電ビーム不安定性により励起された強力な静電波が非線形合体を起こすことで、この ESW が生成されることを示しました。
参考文献
[1] Neronov & Vovk, 2010, “Evidence for Strong Extragalactic Magnetic Fields from Fermi Observations of TeV Blazars”
[2] Broderick et al., 2014, “The Cosmological Impact of Luminous TeV Blazars. I. Implications of Plasma Instabilities for the Intergalactic Magnetic Field and Extragalactic Gamma-Ray Background”
[3] Sironi & Giannios, 2014, “Relativistic Pair Beams from TeV Blazars: A Source of Reprocessed GeV Emission Rather Than Intergalactic Heating”
[4] Perry & Lyubarsky, 2021, “The role of resonant plasma instabilities in the evolution of blazar-induced pair beams”
[5] Matsumoto et al., 1994, “Electrostatic Solitary Waves (ESW) in the magnetotail: BEN wave forms observed by GEOTAIL”
[6] Omura et al., 1994, “Computer simulation of electrostatic solitary waves: A nonlinear model of broadband electrostatic noise”
[7] 田中基彦, 西川恭治, “高温プラズマの物理学”
[8] 観山正見, 野本憲一, 二間瀬敏史, “天体物理学の基礎 II”