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リーマン幾何学
基底ベクトルの変換則
\[e_{\nu}^{\prime}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\prime \nu}} e_{\mu}\]を導出しましょう。重要な変換則です。
ベクトル変換
ベクトルを
\[\mathbf{A}=\sum_{\mu=0}^{3} A^{\mu} \mathbf{e}_{\mu}=A^{\mu}(\mathbf{x}) \mathbf{e}_{\mu}(\mathbf{x})\]のように基底ベクトル\({\bf e}\)を用いて、縮約して書きます。これをアインシュタイン縮約と呼びます。ここで\({\bf e}_\mu ({\bf x})\)は座標の基底ベクトルです。また縮約の仕方ですが、ギリシャ文字の場合は0から3までの和、ローマ字の場合は1から3までの和、とします。また、位置ベクトルについても
\[\mathbf{x}=(c t, x, y, z)=\left(x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}\right)\]のように書きます。では\({\bf x}\)を\(x\)系から\(x'\)系に変換することを考えましょう。このとき、基底も\(\mathbf{e}_{\mu}(\mathbf{x}) \rightarrow \mathbf{e}_{\mu}^{\prime}\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)\)へと変換されるので
\[\mathbf{x}=x^{\mu} \mathbf{e}_{\mu}(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{\prime}=x^{\prime \mu} \mathbf{e}_{\mu}^{\prime}\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)\]のように書かれます。このとき微小な変位ベクトル\(d{\bf x}\)は
\[d \mathbf{x}=d x^{\mu} \mathbf{e}_{\mu}(\mathbf{x})=d \mathbf{x}^{\prime}=d x^{\prime \mu} \mathbf{e}_{\mu}^{\prime}(\mathbf{x})=d x^{\prime \nu} \mathbf{e}_{\nu}^{\prime}(\mathbf{x})\]と表現されます。両辺を\(dx'^{\nu}\)で偏微分すれば
\[\mathbf{e}_{\nu}^{\prime}=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x^{\prime \nu}} \mathbf{e}_{\mu}\]これが座標基底の変換則です。
例題: 2次元デカルト座標系から2次元極座標系への変換
\[d \mathbf{x}=d x \mathbf{e}_{x}+d y \mathbf{e}_{y}\]\((x, y) \rightarrow(r, \theta)\)への変換を考えましょう。変換則より
\[\left\{\begin{aligned} \mathbf{e}_{r} &=\frac{\partial x}{\partial r} \mathbf{e}_{x}+\frac{\partial y}{\partial r} \mathbf{e}_{y} \\ \mathbf{e}_{\theta} &=\frac{\partial x}{\partial \theta} \mathbf{e}_{x}+\frac{\partial y}{\partial \theta} \mathbf{e}_{y} \end{aligned}\right. \ \Longrightarrow \ \left\{\begin{array}{l} \mathbf{e}_{r}=\cos \theta \mathbf{e}_{x}+\sin \theta \mathbf{e}_{y} \\ \mathbf{e}_{\theta}=-r \sin \theta \mathbf{e}_{x}+r \cos \theta \mathbf{e}_{y} \end{array}\right.\]途中、\(r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2, \tan \theta = y/x\)を用いました。\({\textbf e}_\theta\)は原点からの距離\(r\)に依存することがわかります。これは同じ\(d\theta\)でも、原点から近い場所と遠い場所で変位が異なるためです。