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光子ガス (黒体放射, blackbody radiation)
輻射圧・プランク関数の導出
光子は静止質量がゼロの粒子なので、(3.2.2)式より\(\mathcal{E}_p = cp\)となります。 これは光のエネルギーが\(h \nu\)で与えられることと、運動量が\(h\nu /c\)であることと一致します。 光子には内部状態が存在しないため、(3.2.1)式において\(\mathcal{E}_j = 0\)として良いでしょう。 また光には2方向の偏光の自由度が存在するため、統計的重率は\(g_j=2\)となります。 光子の数密度を\(N_\gamma\)、化学ポテンシャルを\(\mu_\gamma\)と書くと、熱平衡状態では\(\mu_\gamma dN_\gamma = 0\)が成り立っている必要があります。 しかし、光子数は必ずしも保存しないため、\(\mu_\gamma = 0\)である必要があります。 これらのことと、光子がボーズ粒子であることを(3.2.2)式に用いると、運動量\(p\)での単位位相空間体積あたりの光子数は
\[f(p) = \frac{2}{h^3} \frac{1}{\exp \left\{ pc / (k_B T)\right\} -1} \tag{3.4.1}\]のように表現されます。 従って、光子数密度は
\[\begin{align} N_\gamma &= 4\pi \int_0^\infty f(p) p^2 dp = \frac{8\pi}{h^3} \int_0^\infty \frac{p^2 dp}{\exp \{pc / (k_B T)\} -1} \notag \\ &\underbrace{=}_{x \equiv pc / (k_B T)} 8\pi \left( \frac{k_B T}{ch} \right)^3 \int_0^\infty \frac{x^2 dx}{e^x-1} \tag{3.4.2} \end{align}\]となります。 最後の積分部分はガンマ関数とゼータ関数を用いて
\[\int_0^\infty \frac{x^\ell dx}{e^x - 1} = \Gamma(\ell+1) \zeta(\ell+1) \tag{3.4.3}\]と表現されます。 以上から
\[N_\gamma = 8 \pi \left( \frac{k_B T}{ch}\right)^3 \underbrace{\Gamma(3)}_{2!} \underbrace{\zeta(3)}_{\sim 1.204} \simeq 20.28 T^3 \ [\mathrm{cm}^{-3}] \tag{3.4.4}\]また、光子による圧力と輻射圧\(P_\mathrm{rad}\)は、(3.2.4)式と(3.4.1)式から
\[\begin{align} P_\mathrm{rad} &= \frac{8\pi c}{3h^3} \int_0^\infty \frac{p^3 dp}{\exp\{pc/ (k_B T)\} -1} \underbrace{=}_{x \equiv pc / (k_B T)} \frac{8\pi}{3c^3 h^3} (k_B T)^4 \underbrace{\int_0^\infty \frac{x^3 dx}{e^x -1}}_{=\Gamma(4) \zeta(4)} \notag \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{8\pi^5 k_B^4}{15 c^3 h^3}\right) T^4 = \frac{1}{3} a T^4 \qquad \left( a \equiv \frac{8\pi^5 k_B^4}{15 c^3 h^3} \sim 7.566 \times 10^{-15} \ [\mathrm{erg \ cm^{-3} \ K^{-4}}]\right) \tag{3.4.5} \end{align}\]と求まります。 ここで\(a\)は輻射定数(radiation constant)と呼ばれます。 また、単位体積あたりの輻射エネルギー(radiation energy density)は、(3.2.6)式に\(\mathcal{E}_p = cp\)と(3.4.1)式を代入して
\[E_\mathrm{rad} = \frac{8\pi c}{h^3} \int_0^\infty \frac{p^3 dp}{\exp\{pc/(k_B T)\}-1} \underbrace{=}_{(3.4.5)} 3P_\mathrm{rad} = aT^4 \tag{3.4.6}\]が得られます。 この関係は
\[E_\mathrm{rad} = \frac{P_\mathrm{rad}}{\gamma_\mathrm{rad}-1} \qquad (\gamma_\mathrm{rad} = 4/3)\]のように表すこともできます。 また光子に対して\(p = h\nu / c = h/\lambda\)の関係があるため、単位体積・単位周波数あたりのエネルギー密度\(u_\nu\)は、(3.4.6)式の積分部分から
\[u_\nu d\nu = \frac{8\pi h}{c^3} \frac{\nu^3 d\nu}{\exp \{h\nu / (k_B T)\}-1} = \frac{4\pi }{c} B_\nu (T) d\nu \tag{3.4.7}\]のように書かれます。 これを波長で書き換えた、単位体積・単位波長あたりのエネルギー密度\(u_\lambda\)は
\[u_\lambda d\lambda = \frac{8\pi hc}{\lambda^5} \frac{d\lambda}{\exp \{hc/ (\lambda k_B T)\}-1} = \frac{4\pi}{c} B_\lambda (T) d\lambda \tag{3.4.8}\]となります。 ここで\(B_\nu(T), B_\lambda (T)\)はプランク関数と呼ばれ
\[B_\nu (T) = \frac{2h \nu^3/c^2}{\exp \{h\nu / (k_B T)\}-1}, \qquad B_\lambda (T) = \frac{2h c^2/\lambda^5}{\exp \{hc / (\lambda k_B T)\}-1} \tag{3.4.9}\]のように表されます。 ただし\(B_\nu d\nu = - B_\lambda d\lambda\)であり、さらに\(B_\nu (T) \neq B_\lambda (T)\)であることに注意しましょう。 \(B_\nu\)を周波数で積分したものは
\[B(T) \equiv \int_0^\infty B_\nu (T) d\nu = \int_0^\infty B_\lambda (T) d\lambda = \frac{ac}{4\pi} T^4 = \frac{\sigma}{\pi} T^4 \qquad \left( \sigma \equiv \frac{ac}{4}\right) \tag{3.4.10}\]となります。 ここで\(\sigma\)はステファン・ボルツマン定数と呼ばれます。
輻射を扱う際には、放射強度 (intensity) \(I_\nu, I_\lambda\)がよく用いられます。 これはある方向の単位立体角・(進行方向に垂直な)単位面積・単位時間あたりに進む光のエネルギーを表します。 \(I_\nu\)は方向に依存する量ですが、恒星内部では等方的に近いため、その依存性を無視しても良いでしょう。 すると光のエネルギー密度\(u_\nu\)と
の関係があります。 ここで\(\Omega\)は立体角を表し、\(d\Omega / (4\pi)\)は様々な方向に進む光のうち、立体角\(d\Omega\)に入るものの割合を表します。 この関係式と(3.4.7)式から、黒体輻射の放射強度が\(B_\nu (T)\)となっていることがわかります。
理想気体と輻射からなるガス
太陽質量よりも重たい主系列星内部でのガスの状態は、輻射を考慮した理想気体でよく近似されます。 この近似の下では、圧力\(P\)はガス圧\(P_\mathrm{gas}\)と輻射圧\(P_\mathrm{rad}\)の和で表現されます。 (3.3.5’)式と(3.4.5)式を用いて
\[P = P_\mathrm{gas} + P_\mathrm{rad} = \frac{k_B}{\mu m_p} \rho T + \frac{1}{3} a T^4 \tag{3.4.11}\]で与えられます。 ガス圧と全圧との比を\(\beta \equiv P_\mathrm{gas} / P\)を導入することで
\[P = \frac{P_\mathrm{gas}}{\beta} = \frac{P_\mathrm{rad}}{1-\beta}, \qquad \frac{P_\mathrm{gas}}{P_\mathrm{rad}} = \frac{\beta}{1-\beta} \tag{3.4.12}\]のように表されることもあります。