クリストッフェル記号

クリストッフェル記号の定義を「微分を表現する展開係数」と表現しました。しかしそれでは微分が登場するたびに、その空間の曲がり具合から定義を確認し直す必要があります。それではあまりに面倒です。
そのためにクリストッフェル記号を計算して、その定義を見直すことにしましょう。

計算

等価原理より、必ず局所慣性系\(\bar{x}\)に移ることができるので

\[\begin{aligned} \partial_\mu {\bf e}_\nu &= \partial_\mu \left( \frac{\partial \bar{x}^\alpha}{\partial x^\nu} {\bar{\bf e}}_\alpha \right) = \frac{\partial^2 \bar{x}^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu} \bar{\bf e}_\alpha + \frac{\partial \bar{x}^\alpha}{\partial x^\nu} \frac{\partial {\bar{\bf e}}_\alpha}{\partial x^\mu} = \frac{\partial^2 \bar{x}^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu} {\bar{\bf e}}_\alpha + \frac{\partial \bar{x}^\alpha}{\partial x^\nu} \frac{\partial \bar{x}^\beta}{\partial x^\mu} \frac{\partial \bar{\bf e}_\alpha}{\partial x^\beta} = \frac{\partial^2 \bar{x}^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu} {\bar{\bf e}}_\alpha \\ &= \partial_\nu \left( \frac{\partial {\bar{x}^\alpha}}{\partial x^\mu } {\bar{\bf e}}_\alpha \right) = \partial_\nu {\bf e}_\mu \end{aligned}\]

途中、局所慣性系では\(\frac{\partial \bar{\bf e}_\alpha}{\partial x^\beta} = {\bf 0}\)となることを用いました。これは例えばデカルト座標系ではどこでも単位ベクトル\({\bf e}_x\)の向き・長さが変化しないことを考えれば想像できます。

\[\partial_\mu {\bf e}_\nu = \Gamma^\alpha_{\mu \nu} {\bf e}_\alpha = \partial_\nu {\bf e}_\mu = \Gamma^\alpha_{\nu \mu} {\bf e}_\alpha \ \Longrightarrow \ \Gamma^\alpha_{\mu \nu} = \Gamma^\alpha_{\nu \mu}\]

が導けます。次に計量メトリックの微分を考えると

\[\partial_\alpha g_{\mu \nu} = \partial_\alpha ({\bf e}_\mu \cdot {\bf e}_\nu) = (\partial_\alpha {\bf e}_\mu) \cdot {\bf e}_\nu + {\bf e}_\mu \cdot (\partial_\alpha {\bf e}_\nu) = \Gamma^\beta_{\alpha \mu} {\bf e}_\beta \cdot {\bf e}_\nu + \Gamma^\beta_{\alpha \nu} {\bf e}_\beta \cdot {\bf e}_\mu = \Gamma^\beta_{\alpha \mu} g_{\beta \nu} + \Gamma^\beta_{\alpha \nu} g_{\beta \mu}\] \[\therefore \partial_\alpha g_{\mu \nu} = \Gamma^\beta_{\alpha \mu} g_{\beta \nu} + \Gamma^\beta_{\alpha \nu} g_{\beta \mu}\]

サイクリックに\(\alpha, \mu, \nu\)を入れ替えて

\[\partial_\mu g_{\nu \alpha} = \Gamma^\beta_{\mu \nu} g_{\beta \alpha} + \Gamma^\beta_{\mu \alpha} g_{\beta \nu} = \Gamma^\beta_{\mu \nu} g_{\beta \alpha} + \Gamma^\beta_{\alpha \mu} g_{\beta \nu}\]

サイクリックに\(\alpha, \mu, \nu\)を入れ替え、かつ両辺にマイナスをつけると

\[- \partial_\nu g_{\alpha \mu} = - \Gamma^\beta_{\nu \alpha} g_{\beta \mu} - \Gamma^\beta_{\nu \mu} g_{\beta \alpha} = - \Gamma^\beta_{\alpha \nu} g_{\beta \mu} - \Gamma^\beta_{\mu \nu} g_{\beta \alpha}\]

3つの式を足し合わせて、逆行列をかけることで

\[\partial_\alpha g_{\mu \nu} + \partial_\mu g_{\nu \alpha} - \partial_\nu g_{\alpha \mu} = 2 \Gamma^\beta_{\alpha \mu} g_{\beta \nu} \ \Longrightarrow \ \Gamma^\beta_{\alpha \mu} \underbrace{g_{\beta \nu} g^{\nu \gamma}}_{\delta^\gamma_\beta} = \Gamma^\gamma_{\alpha \mu} = \frac{1}{2} g^{\nu \gamma} (\partial_\alpha g_{\mu \nu} + \partial_\mu g_{\nu \alpha} - \partial_\nu g_{\alpha \mu})\]

を得ます。
ちなみに局所慣性系では計量テンソルはミンコフスキーメトリックに等しいので、この式からクリストッフェル記号は0となることがわかります。