誘導方程式の変換
散逸などのない理想的な磁気流体での誘導方程式
\[\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} = \nabla \times (\mathbf{v} \times \mathbf{B}) \tag{1}\]を円筒座標と3次元極座標系での表記に書き換えましょう。このとき、この式を他の質量保存(連続の式)や運動量保存の形と同じく、発散の形にします。
円筒座標系
円筒座標系での回転に注意して
\[\begin{aligned} \frac{\partial B_R}{\partial t} &= \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial \varphi} (v_R B_\varphi - B_R v_\varphi) + \frac{\partial}{\partial z} (v_R B_z - B_R v_z) \\ &= \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial R} \{ R (v_R B_R - B_R v_R)\} + \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial \varphi} (v_R B_\varphi - B_R v_\varphi) + \frac{\partial}{\partial z} (v_R B_z - B_R v_z) \\ &= - \nabla \cdot (B_R \mathbf{v} - v_R \mathbf{B}) \end{aligned}\]以上より
\[\frac{\partial B_R}{\partial t} + \nabla \cdot (B_R \mathbf{v} - v_R \mathbf{B}) = 0 \tag{2}\]続いて\(B_\varphi\)の時間微分の式です。
\[\begin{aligned} \frac{\partial B_\varphi}{\partial t} &= \frac{\partial}{\partial z} (v_\varphi B_z - B_\varphi v_z) + \frac{\partial}{\partial R} (v_\varphi B_R - B_\varphi v_R) \\ &= \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial R} \{ R(v_\varphi B_R - B_\varphi v_R)\} + \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial \varphi} (v_\varphi B_\varphi - B_\varphi v_\varphi) + \frac{\partial}{\partial z}(v_\varphi B_z - B_\varphi v_z) - \frac{v_\varphi B_R - B_\varphi v_R}{R} \\ &= - \nabla \cdot (B_\varphi \mathbf{v} - v_\varphi \mathbf{B}) + \frac{B_\varphi v_R - v_\varphi B_R}{R} \end{aligned}\]よって
\[\frac{\partial B_\varphi}{\partial t} + \nabla \cdot (B_\varphi \mathbf{v} - v_\varphi \mathbf{B}) = \frac{B_\varphi v_R - v_\varphi B_R}{R} \tag{3}\]となります。円筒座標系での表記による源泉項が登場します。
最後に\(B_z\)の時間微分です。
よって
\[\frac{\partial B_z}{\partial z} + \nabla \cdot (B_z \mathbf{v} - v_z \mathbf{B}) = 0 \tag{4}\]のようになります。
3次元極座標系
同様に、\((r, \theta \varphi)\)での表記を考えます。
\[\begin{aligned} \frac{\partial B_r}{\partial t} &= \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \{ \sin \theta (v_r B_\theta - B_r v_\theta)\} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi} (v_r B_\varphi - B_r v_\varphi) \\ &= \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \{r^2 (v_r B_r - B_r v_r)\} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \{ \sin \theta (v_r B_\theta - B_r v_\theta)\} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi} (v_r B_\varphi - B_r v_\varphi) \\ &= - \nabla \cdot (B_r \mathbf{v} - v_r \mathbf{B}) \end{aligned}\]よって
\[\frac{\partial B_r}{\partial t} + \nabla \cdot (B_r \mathbf{v} - v_r \mathbf{B}) = 0 \tag{5}\]次は\(B_\theta\)の時間微分です。
\[\begin{aligned} \frac{\partial B_\theta}{\partial t} &= \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi} (v_\theta B_\varphi - B_\theta v_\varphi) + \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} \{ r (v_\theta B_r - B_\theta v_r)\} \\ &= \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \{ r^2 (v_\theta B_r - B_\theta v_r)\} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \{ \sin \theta (v_\theta B_\theta - B_\theta v_\theta)\} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \varphi} (v_\theta B_\varphi - B_\theta v_\varphi) - \frac{v_\theta B_r - B_\theta v_r}{r} \\ &= - \nabla \cdot (B_\theta \mathbf{v} - v_\theta \mathbf{B}) + \frac{ B_\theta v_r - v_\theta B_r}{r} \end{aligned}\]これより
\[\frac{\partial B_\theta}{\partial t} + \nabla \cdot (B_\theta \mathbf{v} - v_\theta \mathbf{B}) = \frac{ B_\theta v_r - v_\theta B_r}{r} \tag{6}\]となります。円筒座標系と同様に源泉項が登場します。
最後に\(B_\varphi\)の時間微分です。
となります。ここでも源泉項が発生します。