エネルギー運動量保存則

\[T^\mu_{\nu ; \mu} = 0\]

が具体的にどのような形で書かれるかを導出してみましょう。

計量テンソルに関する公式

\[g \equiv {\rm det} (g_{\alpha \beta})\]

とします。\(g_{\alpha \beta}\)の余因子行列\(\tilde{g}^{\alpha \beta}\)に対して以下の公式がが成り立ちます。

\[\tilde{g}^{\mu \nu} g_{\nu \alpha} = g \delta^\mu_\alpha \ \Longrightarrow \ \frac{\partial g}{\partial g_{\nu \alpha}} \delta^\mu_\alpha = \tilde{g}^{\mu \nu}\]

両辺に\(g^{\alpha \beta}\)をかけると

\[(左辺) = \tilde{g}^{\mu \nu} g_{\nu \alpha} g^{\alpha \beta} = \tilde{g}^{\mu \nu} \delta^\beta_\nu = \tilde{g}^{\mu \beta}\] \[(右辺) = g \delta^\mu_\alpha g^{\alpha \beta} = g g^{\mu \beta}\] \[\therefore \tilde{g}^{\mu \beta} = g g^{\mu \beta}\]

さらに式変形を行うことで

\[\frac{\partial g}{\partial x^\mu} = \frac{\partial g}{\partial g_{\alpha \beta}} \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x^\mu} \ \Longrightarrow \ \frac{\partial g}{\partial x^\mu} \delta^\mu_\alpha = \frac{\partial g}{\partial g_{\nu \alpha}} \frac{\partial g_{\nu \alpha}}{\partial x^\mu} \delta^\mu_\alpha \ \Longrightarrow \ \frac{\partial g}{\partial x^\alpha} = \tilde{g}^{\mu \nu} \frac{\partial g_{\nu \mu}}{\partial x^\alpha} = g g^{\mu \nu} \frac{\partial g_{\nu \mu}}{\partial x^\alpha} \ \Longrightarrow \ \frac{1}{g} \frac{\partial g}{\partial x^\alpha} = g^{\mu \nu} \frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^\alpha}\]

となります。\(g<0\)より\(g= (\sqrt{-g})^2 \ \Longrightarrow \ dg = 2\sqrt{-g} d\sqrt{-g}\)から

\[\frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^\alpha} = g^{\mu \nu} \frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^\alpha}\]

が求まります。

クリストッフェル記号の計算

\[\Gamma^\alpha_{\beta \gamma} = \frac{1}{2} g^{\alpha \nu} (g_{\nu \beta, \gamma} + g_{\gamma \nu, \beta} - g_{\beta \gamma, \nu})\]

から

\[2 \Gamma^\mu_{\varphi \mu} = g^{\mu \nu} (g_{\nu \varphi, \mu} + g_{\mu \nu, \varphi} - \underbrace{g_{\varphi \mu, \nu}}_{=g_{\mu \varphi, \nu}}) = g^{\mu \nu} \frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^\varphi}\]

先ほど導いた式と合わせて

\[\Gamma^\mu_{\alpha \mu} = \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^\alpha}\]

が成立します。

2階の対称テンソルの共偏微分

エネルギー運動量テンソルは2階の対称テンソルです。よってここではそれに対する公式の導出を行います。
２階のテンソルの共偏微分より

\[T^\mu_{\ \nu ; \mu} = T^\mu_{\ \nu, \mu} + \Gamma^\mu_{\beta \mu} T^\beta_{\ \nu} - \Gamma^\beta_{\nu \mu} T^\mu_{\ \beta}\]

第1項+第2項より

\[T^\mu_{\ \nu, \mu} + \Gamma^\mu_{\beta \mu} T^\beta_{\ \nu} = T^\mu_{\ \nu, \mu} + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^\beta} T^\beta_{\ \nu} = T^\mu_{\ \nu, \mu} + \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial \sqrt{-g}}{\partial x^\mu} T^\mu_{\ \nu} = \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial }{\partial x^\mu} (\sqrt{-g} T^\mu_{\ \nu})\]

第3項より

\[\begin{aligned} - \Gamma^\beta_{\nu \mu} T^\mu_{\ \beta} &= -\frac{1}{2} g^{\beta \gamma} (g_{\gamma \nu, \mu} + g_{\mu \gamma, \nu} - g_{\nu \mu, \gamma}) g_{\beta \alpha} T^{\mu \alpha} = -\frac{1}{2} \delta^\gamma_\alpha (g_{\gamma \nu, \mu} + g_{\mu \gamma, \nu} - g_{\nu \mu, \gamma}) T^{\mu \alpha} \\ &= -\frac{1}{2} (g_{\alpha \nu, \mu} + g_{\mu \alpha, \nu} - g_{\nu \mu, \alpha}) T^{\mu \alpha} = -\frac{1}{2} g_{\mu \alpha, \nu} T^{\mu \alpha} \end{aligned}\]

以上より

\[T^\mu_{\ \nu ; \mu} = \frac{1}{\sqrt{-g}} \frac{\partial }{\partial x^\mu} (\sqrt{-g} T^\mu_{\ \nu}) -\frac{1}{2} g_{\mu \alpha, \nu} T^{\mu \alpha}\]