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連続の式
質量保存の法則を表すこの式は、自然界でもとても強力な式です。ぜひ覚えておきましょう。
ラグランジュ微分表現
質量密度\(\rho\)の流体要素が運動とともに変化する様子を考えましょう。流体要素の速度を\({\bf v}\)とすると、その流体要素の膨張率は\({\nabla \cdot {\bf v}}\)と書けるので
\[\frac{1}{\rho} \frac{D\rho}{Dt} = - \nabla \cdot{\bf v}\]オイラー微分表現、保存形式表現
上の式でラグランジュ微分をオイラー微分に書き換えましょう。Lagrange微分とEuler微分の関係式より
\[\frac{D\rho}{Dt} + \rho (\nabla \cdot {\bf v}) = \frac{\partial \rho}{\partial t} + ({\bf v} \cdot \nabla) \rho + \rho (\nabla \cdot {\bf v}) = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho {\bf v}) = 0 \tag{1}\]連続の式の積分系
両辺を適当な体積\(V\)の領域で体積積分しましょう。
\[\iiint_V \frac{\partial \rho}{\partial t} dV = \frac{\partial }{\partial t} \iiint_V \rho dV = \frac{\partial M}{\partial t}\]途中、体積\(V\)内に含まれる総質量を\(M\)とおきました。
\[\iiint_V \nabla \cdot (\rho {\bf v}) dV \underbrace{=}_{ガウスの定理} \iint_S (\rho {\bf v}) \cdot d{\bf S}\]ここで\(S\)は体積\(V\)を囲む閉曲面です。
\[\therefore \ \frac{\partial M}{\partial t} = - \iint_S (\rho {\bf v}) \cdot d{\bf S}\]右辺は閉曲面を通過して領域内に流入・流出する質量フラックスの総和です。領域内の全質量\(M\)の時間変化は流入・流出する量で表現されるという当然とも言える結果を得ました。
参考文献
[1] Priest, “Solar Magnetohydrodynamics”