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宇宙を構成する物質の状態方程式
物質、もしくは相対論的粒子からなる輻射、そしてダークエネルギーが優勢かどうかを今後議論するために、これらの状態方程式を
\[p = w \rho c^2\]という形で求め、その\(w\)の値を具体的に求めていくことを考えましょう。
非相対論的物質(バリオン)の場合
\[\frac{p_b}{\rho_b c^2} \simeq \frac{v^2}{c^2} \sim 0\]より\(w_b \sim 0\)となります。
非相対論的物質(ダークマター)の場合
\[\frac{p_{\rm DM}}{\rho_{\rm DM} c^2} \simeq \frac{v^2}{c^2} \sim 0\]より\(w_{\rm DM} \sim 0\)となります。
相対論的物質(光子)の場合
光子が一辺\(L\)の立方体に閉じ込められているとしましょう。図のように完全弾性衝突を考えると、1回の衝突で\(x\)方向の壁に与える力積は
\[\Delta p_x = \frac{2 h\nu}{c} \cos \theta\]となります。\(x\)方向に一往復するのにかかる時間は\(t = 2L/(c\cos \theta)\)より
\[\begin{aligned} p_\gamma &= \iint \frac{\frac{2h\nu}{c} \cos\theta}{t} \frac{L^3}{e^{h\nu/(k_B T)} -1} \frac{2\nu^2}{c^3} \frac{d\nu d\Omega}{L^2} = \iint \frac{\frac{2h\nu^3}{c^3} \cos^2\theta}{e^{h\nu/(k_B T)} -1} d\nu d\Omega = \int_0^\infty d\nu \int_{-1}^1 d\mu 2\pi \frac{\frac{2h\nu^3}{c^3} \mu^2}{e^{h\nu/(k_B T)} -1} \\ &= \frac{1}{3} \underbrace{4\pi \int_{0}^\infty d\nu \frac{\frac{2h\nu^3}{c^3} }{e^{h\nu/(k_B T)} -1}}_{\rho_\gamma c^2} = \frac{1}{3} \rho_\gamma c^2 \end{aligned}\]よって\(w_\gamma = \frac{1}{3}\)です。
補遺: 光子のエネルギー密度
1辺\(L\)の立方体の中に光子が閉じ込められていることを考えます。光子が存在しているということは\(L\)で周期境界条件を満たしていると考えることができるので
\[e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{x}} = e^{ik_x x+ ik_y y + ik_z z}\] \[\left\{\begin{array}{l} k_{x} L=2 \pi n_{x}\left(n_{x}=0,\pm 1,\pm 2, \cdots\right) \\ k_{y} L=2 \pi n_{y} \\ k_{z} L=2 \pi n_{z} \end{array}\right.\]と書けます。よって状態数は
\[dn_x dn_y dn_z = \frac{dk_x}{2\pi / L}\frac{dk_y}{2\pi / L}\frac{dk_z}{2\pi / L} = \frac{L^3}{(2\pi)^3} dk_x dk_y dk_z\]よって状態密度は
\[\frac{d^3 n}{L^3} = \frac{d^3 \mathbf{k}}{(2\pi)^3} = \frac{1}{(2\pi)^3} k^2 \sin \theta_k dk d\theta_k d\varphi \underbrace{=}_{k = 2\pi \nu /c} \frac{\nu^2}{c^3} d\nu d\Omega\]途中、\(\mathbf{k}\)空間での極座標積分を考えて変形を行いました。統計力学の知識より、占有率は\(e^{-\epsilon / (k_B T)}\)、光子はボーズ粒子より、カノニカル分布の分配関数は
\[Z = \sum_{n=0}^\infty e^{-n h\nu / (k_B T)} \underbrace{=}_{無限等比級数の和} \frac{1}{1-e^{-h\nu / (k_B T)}}\]\(x = h \nu / (k_B T)\)と置換して、エネルギー\(\epsilon = n h\nu\)の光子の平均個数を導出しましょう。
\[f_\gamma (\nu) = \sum_{n=0}^\infty n \frac{e^{-nx}}{Z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{Z} \left( -\frac{de^{-nx}}{dx}\right) = -\frac{1}{Z} \frac{dZ}{dx} = \frac{1}{e^x -1}\]よってエネルギー密度\(\rho_\gamma c^2\)は、(光子1個のエネルギー)\(\times\)(平均個数)\(\times\)状態密度\(\times\)独立モード数2を積分したものです。
\[\rho_\gamma c^2 = \int_0^\infty d\nu \int_0^{4\pi} \frac{2\nu^2}{c^3} \frac{h\nu}{e^{h\nu/(k_B T)} - 1} d\nu d\Omega\]となります。ついでにさらに計算を行うと
\[\rho_\gamma c^2 = \frac{8\pi}{c^3} \frac{k_B^4 T^4}{h^3} \underbrace{\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1} dx}_{= 6\zeta (4) = \pi^4 / 15} = \frac{8\pi^5 k_B^4}{15 c^3 h^3} T^4\]補遺: 光子数密度
\[n = \int_0^\infty d\nu \int_0^{4\pi} d\Omega \frac{1}{e^{h\nu / (k_B T)}-1} \frac{2\nu^2}{c^3} = \frac{8\pi}{c^3} \frac{k_B^3 T^3}{h^3} \underbrace{\int_0^\infty \frac{x^2}{e^x - 1} dx}_{= 2\zeta (3) \sim 2.4}\]CMB(宇宙マイクロ波背景放射)は現在の宇宙で\(T\simeq 2.725\)Kより、\(n_{\gamma, 0} \sim 412 {\rm cm}^{-3}\)となります。
相対論的物質(ニュートリノ)の場合
統計力学の知識より、占有率は\(e^{-\epsilon / (k_B T)}\)、ニュートリノはフェルミオンより、カノニカル分布分配関数は
\[Z = \sum_{n=0}^1 e^{-nh\nu/(k_B T)} = 1+ e^{-h\nu / (k_B T)}\]ここでニュートリノは質量0を仮定します。この仮定により光子と同様の計算で平均個数・状態密度を求めることができます。
\[f_{\rm FD} (\nu) = \frac{1}{Z} e^{-h\nu/ (k_B T)} = \frac{1}{1+e^{h\nu / (k_B T)}}\]よってエネルギー密度\(\rho_\gamma c^2\)は、(ニュートリノ1個のエネルギー)\(\times\)(平均個数)\(\times\)状態密度\(\times\)独立モード数1を積分したものです。
\[\rho_\nu c^2 = \int_0^\infty d\nu \int_0^{4\pi} d\Omega \frac{h\nu }{e^{h\nu / k_B T}+ 1} \frac{2\nu^2}{c^3} = \frac{8\pi}{c^3} \frac{k_B^4 T^4}{h^3} \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x+1} dx\] \[\frac{1}{e^{2x}-1} = \frac{1}{(e^x+1)(e^x - 1)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{e^x - 1} - \frac{1}{e^x + 1}) \ \Longrightarrow \ \frac{1}{e^x + 1} = \frac{1}{e^x - 1} - \frac{2}{e^{2x} - 1}\]より
\[\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x+1} dx = \int_0^\infty (\frac{x^3}{e^x - 1} - \frac{2x^3}{e^{2x} - 1}) dx = \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx - \frac{1}{8} \int_0^\infty \frac{X^3}{e^X - 1} dX = \frac{7}{8} \int_0^\infty \frac{x^3}{e^x - 1} dx\]これらより
\[p_\nu = \frac{1}{3} \rho_\nu c^2, \ \rho_\nu c^2 = \frac{7}{8} \rho_\gamma c^2\]よって\(w_\nu = \frac{1}{3}\)です。
ちなみに
です。
宇宙膨張を加速させるもの(ダークエネルギー)の場合
フリードマン方程式より
\[\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3} (\rho_{\rm DE} + \frac{3p_{\rm DE}}{c^2}) = -\frac{4\pi G}{3} \rho_{\rm DE} (1+3w_{\rm DE})\]加速膨張では\(\ddot{a} > 0\)より\(w_{\rm DE} < -\frac{1}{3}\)となります。
空間(真空)の場合
空間は宇宙に膨張も収縮ももたらさないとすると、フリードマン方程式より
\[1+3w_K = 0 \ \Longrightarrow \ w_K = -\frac{1}{3}\]です。