Table of contents
リエナー・ブィーヒェルトポテンシャル
運動する一つの荷電粒子による電磁ポテンシャルを求めましょう。電荷\(q\)の粒子が\(\mathbf{r} = \mathbf{r}_0(t)\)の軌跡に沿って運動しているとします。このとき運動速度は\(\mathbf{u} = \dot{\mathbf{r}}_0 (t)\)となります。電荷密度・電流密度が
\[\rho_e (\mathbf{r}, t) = q \delta^3 (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0(t)), \ \mathbf{j}_e(\mathbf{r}, t) = q \mathbf{u}(t) \delta^3 (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0(t)) \tag{1}\]で与えられるとします。
以下、ローレンツゲージが選ばれているものとして計算を行います。したがって、電磁ポテンシャルを求める方程式は
\[\Box \phi = - 4\pi \rho_e \tag{2}\] \[\Box \mathbf{A} = -\frac{4\pi}{c} \mathbf{j}_e \tag{3}\]のように与えられます。
\(\phi\)の計算
ダランベレシアンとグリーン関数の議論から、\(\Box \phi (\mathbf{r}, t) = - 4\pi \rho_e(\mathbf{r}, t)\)の解は
\[\phi(\mathbf{r}, t) = 4\pi \int_{-\infty}^\infty dt'\iiint_{-\infty}^\infty d^3\mathbf{r} G( \mathbf{r} -\mathbf{r}', t-t') \rho_e (\mathbf{r}', t') \tag{4}\]遅延グリーン関数を求めた時の議論から、\(\Box G(\mathbf{r}, t) = - \delta^3 (\mathbf{r}) \delta (t)\)を満たすグリーン関数の解と\(\rho_e (\mathbf{r}, t) = q \delta^3 (\mathbf{r} - \mathbf{r}_0 (t))\)を、(2)式に代入します。
\[\begin{align} \phi &= 4\pi \int_{-\infty}^\infty dt' \iiint_{-\infty}^\infty d^3 \mathbf{r}' \frac{1}{4\pi} \frac{\delta(t-t'-\frac{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}{c})}{\left| \mathbf{r}- \mathbf{r}'\right|} q \delta^3( \mathbf{r}'- \mathbf{r}_0 (t')) \notag \\ &= q \int_{-\infty}^\infty dt' \frac{\delta(t-t'-\frac{\left| \mathbf{r}- \mathbf{r}_0(t')\right|}{c})}{\left| \mathbf{r}- \mathbf{r}_0(t') \right|} \quad (t>t') \tag{5} \end{align}\]ここで
\[f(t')=-t'+t-\frac{\left| \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 (t')\right|}{c}\]とおくと、デルタ関数の公式より
\[\phi = q \frac{1}{\left| \mathbf{r}- \mathbf{r}_0(t_\mathrm{ret})\right|} \frac{1}{\displaystyle{\left| \left. \frac{df}{dt'}\right|_{t=t_\mathrm{ret}}\right|}} \tag{6}\]となります。途中で出現した
\[t_\mathrm{ret} \equiv t-\frac{|\mathbf{r} - \mathbf{r}_0(t_\mathrm{ret})|}{c}\]は遅延時刻(retarded time)です。分母部分の計算を行いましょう。
\[\begin{align} \frac{df}{dt'} &= -1 -\frac{1}{c} \frac{d}{dt'} \left| \mathbf{r}- \mathbf{r}_0(t')\right| = -1 -\frac{1}{c} \frac{ \mathbf{r}- \mathbf{r}_0(t')}{\left| \mathbf{r}- \mathbf{r}_0(t')\right|} \cdot \left( -\frac{d \mathbf{r}_0(t')}{dt'}\right) \notag \\ &= -1 +\frac{1}{c}\frac{ \mathbf{R} (t')}{R(t')} \cdot \mathbf{u} \quad (\mathbf{R}(t') \equiv \mathbf{r}- \mathbf{r}_0(t')) \tag{7} \end{align}\]さらに\(\boldsymbol{\beta}(t) \equiv \frac{\mathbf{u}(t)}{c}, \mathbf{n}(t) \equiv \frac{ \mathbf{R}(t)}{R(t)}\)を導入すると
\[\phi =\frac{q}{R(t_\mathrm{ret}) \left|-1+ \mathbf{n} (t_\mathrm{ret})\cdot \boldsymbol{\beta} (t_\mathrm{ret})\right|} \tag{8}\]\(\mathbf{n}(t_\mathrm{ret})\cdot \boldsymbol{\beta} (t_\mathrm{ret}) < 1\)より\(\kappa(t_\mathrm{ret}) \equiv 1-\mathbf{n}(t_\mathrm{ret})\cdot \boldsymbol{\beta}(t_\mathrm{ret})\)として
\[\phi =\frac{q}{R(t_\mathrm{ret}) \left(1-\mathbf{n}(t_\mathrm{ret})\cdot \boldsymbol{\beta} (t_\mathrm{ret})\right)} =\frac{q}{R(t_\mathrm{ret})\kappa(t_\mathrm{ret})} \tag{9}\]\(\mathbf{A}\)の計算
(3)に対して同様の計算を行いましょう。
\[\begin{align} \mathbf{A}( \mathbf{r}, t) &= \frac{4\pi}{c} \int_{-\infty}^\infty dt' \iiint_{-\infty}^\infty d^3 \mathbf{r}' \frac{1}{4\pi} \frac{\delta(t-t'-\frac{| \mathbf{r}-\mathbf{r}'|}{c})}{| \mathbf{r} - \mathbf{r}'|} q \mathbf{u}(t') \delta^3( \mathbf{r}'-\mathbf{r}_0(t')) \notag \\ &= \frac{q}{c} \int_{-\infty}^\infty dt'\frac{\delta(t-t'-\frac{| \mathbf{r}- \mathbf{r}_0(t')|}{c})}{| \mathbf{r}-\mathbf{r}_0(t')|} \mathbf{u}(t') = \frac{q}{c}\frac{ \mathbf{u}(t_\mathrm{ret})}{| \mathbf{r}- \mathbf{r}_0(t_\mathrm{ret})|} \frac{1}{\left|-1+\frac{1}{c} \frac{ \mathbf{r}- \mathbf{r}_0(t_\mathrm{ret})}{| \mathbf{r}- \mathbf{r}_0(t_\mathrm{ret})|}\cdot \mathbf{u}(t_\mathrm{ret})\right|} \notag \\ &= \frac{q \mathbf{u}(t_\mathrm{ret})}{c R(t_\mathrm{ret})} \frac{1}{\left| -1+ \mathbf{n}(t_\mathrm{ret}) \cdot \boldsymbol{\beta} (t_\mathrm{ret})\right|} = \frac{q \mathbf{u}(t_\mathrm{ret})}{cR(t_\mathrm{ret}) \kappa(t_\mathrm{ret})} =\frac{q \boldsymbol{\beta} (t_\mathrm{ret})}{R(t_\mathrm{ret}) \kappa(t_\mathrm{ret})} \tag{10} \end{align}\](9), (10)式を合わせてリエナー・ヴィーヒェルトポテンシャルと呼びます。