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球ベッセル、球ノイマン関数の公式導出
球ベッセル関数と球ノイマン関数
0以上の整数\(n\)に対して、球ベッセル関数\(j_n\)と球ノイマン関数\(y_n\)を半整数次のベッセル関数を用いて以下のように定義します。
\[j_n (z) = \sqrt{\frac{\pi}{2z}} J_{n+1/2} (z) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{\Gamma(n+k+3/2) k!} \left(\frac{z}{2}\right)^{n+k} = (-1)^n z^n \left(\frac{1}{z} \frac{d}{dz} \right)^n \frac{\sin z}{z}\] \[y_n (z) = (-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2z}} J_{-n-1/2} (z) = (-1)^{n+1} \frac{\sqrt{\pi}}{2} \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(-1)^\ell}{\Gamma(-n+\ell+1/2) \ell!} \left(\frac{z}{2}\right)^{-n+\ell-1} = (-1)^{n+1} z^n \left(\frac{1}{z} \frac{d}{dz} \right)^n \frac{\cos z}{z}\]球ハンケル関数
上述の2つの函数を用いて、第1, 2種ハンケル関数\(h_n^{(1)}, h_n^{(2)}\)をそれぞれ
\[h_n^{(1)} \equiv j_n + i y_n\] \[h_n^{(2)} \equiv j_n - i y_n\]と定義します。定義式より
\[h_n^{(1)} = (-1)^n z^n \left( \frac{1}{z} \frac{d}{dz} \right)^n (\frac{\sin z}{z} - i\frac{\cos z}{z}) = (-1)^{n+1} i z^n \left( \frac{1}{z} \frac{d}{dz} \right)^n \frac{e^{iz}}{z}\] \[h_n^{(2)} = (-1)^n z^n \left( \frac{1}{z} \frac{d}{dz} \right)^n (\frac{\sin z}{z} + i\frac{\cos z}{z}) = (-1)^{n} i z^n \left( \frac{1}{z} \frac{d}{dz} \right)^n \frac{e^{-iz}}{z}\]と書けます。これをさらに\(z^2\)微分を用いて整理しましょう。
\[\ell = z^2 \ \Longrightarrow \ d\ell = 2zdz \ \Longrightarrow \ \frac{d}{d\ell} = \frac{d}{dz^2} = \frac{1}{2z} \frac{d}{dz} \ \Longrightarrow \ \left(\frac{1}{z} \frac{d}{dz} \right)^n = 2^n \left(\frac{d}{dz^2} \right)^n\]より
\[h_n^{(1)} = i(-1)^{n+1} (2z)^n \left( \frac{d}{dz^2}\right)^n \frac{e^{iz}}{z}\] \[h_n^{(2)} = i(-1)^{n} (2z)^n \left( \frac{d}{dz^2}\right)^n \frac{e^{-iz}}{z}\]球ハンケル関数が満たす漸化式
簡単のため、微分演算子\(\hat{a} \equiv d/dz^2\)を定義ます。
\[[z^2, \hat{a}] f(z^2) = z^2 \hat{a} f(z^2) -\hat{a} (z^2 f(z^2)) = z^2 \hat{a} f(z^2) - f(z^2) -z^2 \hat{a} f(z^2) = -f(z^2)\]より、この演算子は交換関係
\[z^2 \hat{a} - \hat{a} z^2 = -1\]を満たします。また任意の演算子において
\[[A, BC] = ABC-BCA = (ABC-BAC) + (BAC- BCA) = [A, B]C + B[A, C]\]が成立するので
\[\begin{align} [z^2, \hat{a}^{n+1}] &= [z^2, \hat{a}\hat{a}^n] = [z^2, \hat{a}] \hat{a}^n + \hat{a}[z^2, \hat{a}^n] = -\hat{a}^n + \hat{a}[z^2, \hat{a}\hat{a}^{n-1}] = -\hat{a}^n + \hat{a}([z^2, \hat{a}]\hat{a}^{n-1}+ \hat{a} [z^2, \hat{a}^{n-1}]) \notag \\ &= -2\hat{a}^n + \hat{a}^2 [z^2, \hat{a}^{n-1}] = \cdots = -n \hat{a}^n + \hat{a}^n [z^2, \hat{a}] = (-n+1) \hat{a}^n \tag{1} \end{align}\] \[\therefore \ z^2 \hat{a}^{n+1} = \hat{a}^{n+1} z^2 - (n+1) \hat{a}^n\]よって
\[\begin{align} zh_{n+1}^{(1)} &= zi (-1)^{n+1} (2z)^{n+1} \hat{a}^{n+1} (e^{iz}/z) = 2i (-1)^{n+1} (2z)^{n} \underbrace{z^2\hat{a}^{n+1}}_{(1)} (e^{iz}/z) = 2i (-1)^{n+1} (2z)^{n} (\hat{a}^{n+1} z^2 - (n+1)\hat{a}^n) (e^{iz}/z) \notag \\ &= 2(n+1)h_n^{(1)} + 2i(-1)^n (2z)^n \hat{a}^{n+1} (ze^{iz}) \tag{2} \end{align}\] \[\begin{align} zh_{n+1}^{(2)} &= zi (-1)^{n} (2z)^{n+1} \hat{a}^{n+1} (e^{-iz}/z) = 2i (-1)^{n} (2z)^{n} \underbrace{z^2\hat{a}^{n+1}}_{(1)} (e^{-iz}/z) = 2i (-1)^{n} (2z)^{n} (\hat{a}^{n+1} z^2 - (n+1)\hat{a}^n) (e^{-iz}/z) \notag \\ &= 2(n+1)h_n^{(2)} + 2i(-1)^n (2z)^n \hat{a}^{n+1} (ze^{-iz}) \tag{3} \end{align}\]となります。ここで\(\hat{a} = d/dz^2 = d/d\ell\)とすると
\[\hat{a}^2 (ze^{iz}) = \hat{a}^2 (\ell^{1/2} e^{i\ell^{1/2}}) = \hat{a} (\frac{1}{2} \ell^{-1/2} e^{i\ell^{1/2}} + \frac{1}{2} i e^{i\ell^{1/2}}) = \hat{a} \frac{1}{2} \ell^{-1/2} e^{i\ell^{1/2}} + \frac{1}{2} i \hat{a} e^{i\ell^{1/2}} = \frac{1}{2} \hat{a} (e^{iz}/z) - \frac{1}{4} (e^{iz}/z)\] \[\hat{a}^2 (ze^{-iz}) = \hat{a}^2 (\ell^{1/2} e^{-i\ell^{1/2}}) = \hat{a} (\frac{1}{2} \ell^{-1/2} e^{-i\ell^{1/2}} - \frac{1}{2} i e^{i\ell^{1/2}}) = \hat{a} \frac{1}{2} \ell^{-1/2} e^{-i\ell^{1/2}} - \frac{1}{2} i \hat{a} e^{-i\ell^{1/2}} = \frac{1}{2} \hat{a} (e^{-iz}/z) - \frac{1}{4} (e^{-iz}/z)\]のように計算できます。これらを用いて(2), (3)をさらに整理していきます。
\[\begin{aligned} zh_{n+1}^{(1)} &= 2(n+1)h_n^{(1)} + 2i(-1)^n (2z)^n \hat{a}^{n-1} \hat{a}^2 (ze^{iz}) = 2(n+1)h_n^{(1)} + 2i(-1)^n (2z)^n \hat{a}^{n-1} (\frac{1}{2} \hat{a} (e^{iz}/z) - \frac{1}{4} (e^{iz}/z)) \\ &= 2(n+1)h_n^{(1)} - i (-1)^{n+1} (2z)^n \hat{a}^n (e^{iz}/z) - zi (-1)^n (2z)^{n-1} \hat{a}^{n-1} (e^{iz}/z) =(2n+1) h_n^{(1)} - zh_{n-1}^{(1)} \end{aligned}\] \[\therefore \ \frac{2n+1}{z} h_{n}^{(1)} = h_{n+1}^{(1)} + h_{n-1}^{(1)}\] \[\begin{aligned} zh_{n+1}^{(2)} &= 2(n+1)h_n^{(2)} + 2i(-1)^{n} (2z)^n \hat{a}^{n-1} \hat{a}^2 (ze^{-iz}) = 2(n+1)h_n^{(2)} + 2i(-1)^{n} (2z)^n \hat{a}^{n-1} (\frac{1}{2} \hat{a} (e^{-iz}/z) - \frac{1}{4} (e^{-iz}/z)) \\ &= 2(n+1)h_n^{(2)} - i (-1)^{n} (2z)^n \hat{a}^n (e^{-iz}/z) - (-1)^2 zi (-1)^{n} (2z)^{n-1} \hat{a}^{n-1} (e^{-iz}/z) =(2n+1) h_n^{(2)} - zh_{n-1}^{(2)} \end{aligned}\] \[\therefore \ \frac{2n+1}{z} h_{n}^{(2)} = h_{n+1}^{(2)} + h_{n-1}^{(2)}\]のような漸化式を満たします。
さらに\(h_n^{(1)}, h_n^{(2)}\)を微分したものを考えましょう。
\[\frac{d h_n^{(1)}}{dz} = 2ni (-1)^{n+1} (2z)^{n-1} \hat{a}^n (e^{iz}/z) + i(-1)^{n+1} (2z)^n \frac{d}{dz} (\hat{a}^n (e^{iz}/z))\]ここで\(\ell = z^2 \rightarrow \hat{a} = \frac{d}{d\ell} = (2z)^{-1} d/dz\)より
\[\frac{dh_n^{(1)}}{dz} = 2ni (-1)^{n+1} (2z)^{n-1} \hat{a}^n (e^{iz}/z) + i(-1)^{n+1} (2z)^{n+1} \hat{a}^{n+1} (e^{iz}/z) = \frac{n}{z} h_n^{(1)} - h_{n+1}^{(1)} \tag{4}\]同様に
\[\frac{dh_n^{(2)}}{dz} = 2ni (-1)^{n} (2z)^{n-1} \hat{a}^n (e^{-iz}/z) + i(-1)^{n} (2z)^{n+1} \hat{a}^{n+1} (e^{-iz}/z) = \frac{n}{z} h_n^{(2)} - h_{n+1}^{(2)}\]これらを用いて、以下の漸化式を得ることができます。
\[\frac{dh_n^{(1)}}{dz} = \frac{n}{z} h_n^{(1)} - \frac{1}{z} ((2n+1) h_n^{(1)} - zh_{n-1}^{(1)}) = - \frac{n+1}{z} h_n^{(1)} + h_{n-1}^{(1)} \tag{5}\] \[\frac{dh_n^{(2)}}{dz} = \frac{n}{z} h_n^{(2)} - \frac{1}{z} ((2n+1)h_n^{(2)}-z h_{n-1}^{(2)}) = -\frac{n+1}{z} h_n^{(2)} + h_{n-1}^{(2)} \tag{6}\] \[\frac{dh_n^{(1)}}{dz} = \frac{n}{2n+1} (h_{n+1}^{(1)} + h_{n-1}^{(1)}) - h_{n+1}^{(1)} = - \frac{n+1}{2n+1} h_{n+1}^{(1)} + \frac{n}{2n+1} h_{n-1}^{(1)} \tag{7}\] \[\frac{d h_n^{(2)}}{dz} = \frac{n}{2n+1} (h_{n+1}^{(2)} + h_{n-1}^{(2)}) - h_{n+1}^{(2)} = - \frac{n+1}{2n+1} h_{n+1}^{(2)} + \frac{n}{2n+1} h_{n-1}^{(2)} \tag{8}\]球ハンケル関数の満たす微分方程式
さらに\(z \times\) (4)式より
\[z\frac{d h_n^{(1)}}{dz} = n h_n^{(1)} - z h_{n+1}^{(1)} \]この両辺を\(z\)で微分すると
\[\begin{align} &\frac{d h_n^{(1)}}{dz} + z \frac{d^2 h_n^{(1)}}{dz^2} = n \frac{d h_n^{(1)}}{dz} - h_{n+1}^{(1)} - z \underbrace{\frac{d h_{n+1}^{(1)}}{dz}}_{(5)} = n \frac{d h_n^{(1)}}{dz} - h_{n+1}^{(1)} - z (-\frac{n+2}{z} h_{n+1}^{(1)} + h_{n}^{(1)}) \notag \\ &= n \frac{d h_n^{(1)}}{dz} + (n+1) \underbrace{h_{n+1}^{(1)}}_{(4)} - z h_{n}^{(1)} \notag \\ &\Longrightarrow \ \frac{d h_n^{(1)}}{dz} + z \frac{d^2 h_n^{(1)}}{dz^2} = n \frac{d h_n^{(1)}}{dz} + (n+1) (\frac{n}{z} h_n^{(1)} - \frac{d h_n^{(1)}}{dz}) - z h_n^{(1)} = -\frac{d h_n^{(1)}}{dz} + \frac{n (n+1)}{z} h_n^{(1)} - z h_n^{(1)} \notag \\ &\Longrightarrow \ \frac{2}{z} \frac{d h_n^{(1)}}{dz} + \frac{d^2 h_n^{(1)}}{dz^2} = \frac{n(n+1)}{z^2} h_n^{(1)} - h_n^{(1)} \tag{9} \end{align}\] \[\therefore \ \frac{1}{z^2} \frac{d}{dz} \left( z^2 \frac{dh_n^{(1)}}{dz}\right) + \left( 1- \frac{n(n+1)}{z^2}\right) h_n^{(1)} = 0\]これが球ハンケル関数が満たす微分方程式です。
球ベッセル関数と球ノイマン関数が満たす微分方程式
球ハンケル関数の定義より、球ベッセル関数・球ノイマン関数は球ハンケル関数の重ね合わせで表現されます。よってこれまで示した漸化式と微分方程式は球ベッセル関数・球ノイマン関数も満たします。よって
\[\frac{d^2 j_n}{dz^2} + \frac{2}{z} \frac{d j_n}{dz} + (1-\frac{n(n+1)}{z^2}) j_n = 0 \tag{10}\] \[\frac{d^2 y_n}{dz^2} + \frac{2}{z} \frac{d y_n}{dz} + (1-\frac{n(n+1)}{z^2}) y_n = 0 \tag{11}\]をそれぞれ満たします。
公式の導出
\[z y_n \times (10) = z y_n \frac{d^2 j_n}{dz^2} + 2 y_n \frac{d j_n}{dz} + z( 1- \frac{n(n+1)}{z^2}) y_n j_n = 0\] \[z j_n \times (11) = z j_n \frac{d^2 y_n}{dz^2} + 2 j_n \frac{d y_n}{dz} + z( 1- \frac{n(n+1)}{z^2}) j_n y_n = 0\]これら2式の辺々を引き算すると
\[z(y_n \frac{d^2 j_n}{dz^2} - j_n \frac{d^2 y_n}{dz^2}) + 2 (y_n \frac{d j_n}{dz} - j_n \frac{d y_n}{dz}) = 0 \ \Longrightarrow \ \frac{d}{dz} (z^2 (j_n \frac{dy_n}{dz} - y_n \frac{dj_n}{dz})) = 0\] \[\therefore \ j_n \frac{dy_n}{dz} - y_n \frac{dj_n}{dz} = \frac{C}{z^2}\]ここで\(C\)は積分定数です。この定数を\(j_n, y_n\)の定義式から実際に計算していきます。
\[\frac{d j_n}{dz} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k (n+k)}{\Gamma(n+k+3/2) k!} \frac{z^{n+k-1}}{2^{n+k}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2z} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k (n+k)}{\Gamma(n+k+3/2) k!} \frac{z^{n+k}}{2^{n+k}}\] \[\frac{d y_n}{dz} = (-1)^{n+1} \frac{\sqrt{\pi}}{2} \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(-1)^\ell (-n+\ell -1)}{\Gamma(-n+\ell+1/2) \ell!} \frac{z^{-n+\ell-2}}{2^{-n+\ell-1}} = (-1)^{n+1} \frac{\sqrt{\pi}}{z^2} \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(-1)^\ell (-n+\ell -1)}{\Gamma(-n+\ell+1/2) \ell!} \frac{z^{-n+\ell}}{2^{-n+\ell}}\]より
\[j_n \frac{dy_n}{dz} = \frac{(-1)^{n+1} \pi}{2z^2} \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(-1)^{k+\ell} (-n+\ell-1)}{\Gamma(n+k+3/2) \Gamma(-n+ \ell +1/2) k! \ell!} \frac{z^{k+\ell}}{2^{k+\ell}}\]\(k, \ell\)の2重の総和のために計算は煩雑になると思われますが、興味があるのは\(z^{-2}\)の係数のみです。\(z^{-2}\)はすべに式の先頭に出てきているので、総和の部分は\(k=\ell=0\)のみを考えれば良いことがわかります。
\[\begin{aligned} (j_n \frac{dy_n}{dz}のz^{-2}の項) &= \frac{(-1)^{n+1} \pi}{2z^2} \frac{-n-1}{\Gamma(n+3/2) \Gamma(-n+1/2)} = \frac{(-1)^{n+1} \pi}{2z^2} \frac{-n-1}{(n+1/2)\Gamma(n+1/2) \Gamma(-n+1/2)} \\ &= \frac{(-1)^{n+1} \pi}{2z^2} \frac{-n-1}{(n+1/2)(-1)^n \pi} = \frac{n+1}{2n+1}\frac{1}{z^2} \end{aligned}\]同様に
\[y_n \frac{dj_n}{dz} = \frac{(-1)^{n+1} \pi}{2z^2} \sum_{k=0}^\infty \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(-1)^{k+\ell} (n+k)}{\Gamma(n+k+3/2) \Gamma(-n+ \ell +1/2) k! \ell!} \frac{z^{k+\ell}}{2^{k+\ell}}\]より
\[\begin{aligned} (y_n \frac{dj_n}{dz}のz^{-2}の項) &= \frac{(-1)^{n+1} \pi}{2z^2} \frac{n}{\Gamma(n+3/2) \Gamma(-n+1/2)} = \frac{(-1)^{n+1} \pi}{2z^2} \frac{n}{(n+1/2)\Gamma(n+1/2) \Gamma(-n+1/2)} \\ &= \frac{(-1)^{n+1} \pi}{2z^2} \frac{n}{(n+1/2)(-1)^n \pi} = - \frac{n}{2n+1}\frac{1}{z^2} \end{aligned}\]途中、ガンマ関数の公式を用いました。以上より
\[j_n \frac{dy_n}{dz} - y_n \frac{dj_n}{dz} = \frac{1}{z^2}\]が成り立ちます。