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シュバルツシルトの内部解
導出
\(r<R\)のとき\(\rho=\rho_0 ({\rm Const})\), そして\(M(r) = \frac{4\pi}{3}r^3 \rho_0 = \frac{r^3}{R^3} M\)です。TOV方程式より
\[p = \frac{f(r) - C_p}{3C_p - f(r)} \rho_0 c^2, \ f(r) = \sqrt{1-\frac{2GM}{c^2 R^3} r^2}, \ C_p = \sqrt{1-\frac{2GM}{c^2 R}}\]です。さらにTOV方程式を導出する途中で求めた式より
\[\frac{d\Phi}{dr} = \frac{1}{f(r)^2} (\frac{GM}{c^2} \frac{r}{R^3} + \frac{3G}{c^2} \frac{f(r) - C_p}{3C_p - f(r)} \frac{M}{R^3} r)\]ここで
\[\frac{df}{dr} = \frac{1}{f(r)} (-\frac{2GM}{c^2 R^3} r) \ \Longrightarrow \ \frac{GM}{c^2 R^3} r = -\frac{1}{2} f(r) \frac{df}{dr}\]より
\[\frac{d\Phi}{dr} = \frac{1}{f(r)^2} (-\frac{1}{2} f(r) \frac{df}{dr} -\frac{3}{2} f(r) \frac{df}{dr} \frac{f(r) -C_p}{3C_p -f(r)}) = \frac{\frac{d}{dr} (3C_p -f(r))}{3C_p - f(r)} = \frac{d}{dr} \ln (3C_p -f(r))\] \[\Phi = \ln (3C_p -f(r)) + C_1\]ここで\(C_1\)は積分定数です。
\[\therefore \ g_{00} = -e^{2\Phi} = -C_2 (3C_p -f(r))^2\]境界条件より\(r =R\)でシュバルツシルトの外部解に接続するので
\[-(1-\frac{2GM}{c^2 R}) = -C_2 (3C_p -C_p)^2 = -4 C_2 (1-\frac{2GM}{c^2 R}) \ \Longrightarrow \ C_2 = \frac{1}{4}\]よって
\[g_{00} = -\left( \frac{3}{2} \sqrt{1-\frac{2GM}{c^2 R}} - \frac{1}{2} \sqrt{1-\frac{2GM}{c^2 R} \frac{r^2}{R^2}} \right)^2\]となります。