質量のない粒子の測地線方程式

\(m \rightarrow 0\)の粒子の運動方程式はどうなるのか、それを質量0の粒子の測地線方程式から導出します。

導出

質量のない粒子(例えば光子など)の4現運動量を

\[p^\mu \equiv m \frac{dx^\mu}{d\tau} = mu^\mu\]

と定義しましょう。運動量は有限なので、\(m\rightarrow 0\)で\(d\tau \rightarrow 0\)となり、\(\frac{d\tau}{m} \neq 0\)でなければなりません。
ここで\(d\lambda \equiv d\tau /m\)をアフィンパラメータと定義します。4元運動量はこのパラメータを用いて

\[p^\mu = \frac{dx^\mu}{d\lambda}\]

となります。測地線方程式より

\[m^2 \frac{du^\mu}{d\tau} = -m^2 \Gamma^\mu_{\alpha \nu} u^\alpha u^\nu\] \[(左辺) = m \frac{d}{d\tau} (m\frac{dx^\mu}{d\tau}) = \frac{dp^\mu}{d\lambda}\] \[(右辺) = -\Gamma^\mu_{\alpha \nu} p^\alpha p^\nu\]

両辺を\(p^0 = dx^0 / d\lambda = cdt/d\lambda\)で割ると

\[\frac{1}{p^0}\frac{dp^\mu}{d\lambda} = \frac{d\lambda}{cdt} \frac{dp^\mu}{d\lambda} = \frac{1}{c} \frac{dp^\mu}{dt}\]

より

\[\frac{dp^\mu}{dt} = -\frac{c}{p^0} \Gamma^\mu_{\alpha \nu} p^\alpha p^\nu\]

これが質量のない粒子の測地線方程式となります。

軌跡に沿った微分

理解を深めるために、途中の部分で以下のような変形を行います。

\[\frac{dp^\mu}{d\lambda} + p^\alpha p^\beta \Gamma^\mu_{\alpha \beta} = \frac{dx^\alpha}{d\lambda} \frac{\partial p^\mu}{\partial x^\alpha} + p^\alpha p^\beta \Gamma^\mu_{\alpha \beta} = p^\alpha (\frac{\partial p^\mu}{\partial x^\alpha} + p^\beta \Gamma^\mu_{\alpha \beta} ) = p^\alpha \nabla_\alpha p^\mu = 0\]

最後に出現した\(p^\alpha \nabla_\alpha p^\mu\)は4次元時空中で光の軌跡に沿った勾配を表しています。測地線方程式は光が地震の軌跡に沿った4元運動量の勾配が0になる経路を進むことを意味しています。

さらに変形

下付き4元運動量ベクトルを使った方程式にしておくと便利なので、それをここで導出しておきましょう。メトリックの共偏微分は0より

\[0 = p^\mu \nabla_\alpha (g^{\mu \nu} p_\nu) = g^{\mu \nu} p^\alpha \nabla_\alpha p_\nu\]

任意のメトリックテンソルについてこれが成り立つので、以下の方程式を得ます。

\[p^\mu \nabla_\mu p_\nu = p^\mu \partial_\mu p_\nu - p^\mu p_\alpha \Gamma^\alpha_{\mu \nu} = 0\]

ここで

\[p^\mu p_\alpha \Gamma^\alpha_{\mu \nu} = p^\mu p_\alpha \frac{1}{2} g^{\alpha \beta} (g_{\beta \mu, \nu} + g_{\beta \nu, \mu} - g_{\mu \nu, \beta} ) = \frac{1}{2} p^\mu p^\beta(g_{\beta \mu, \nu} + g_{\beta \nu, \mu} - g_{\mu \nu, \beta} ) = \frac{1}{2} p^\mu p^\beta g_{\beta \mu, \nu}\]

また

\[p^\mu \frac{\partial p_\nu}{\partial x^\mu} = \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{\partial p_\nu}{\partial x^\mu} = \frac{dp_\nu}{d\lambda} = \frac{dx^0}{d\lambda} \frac{dp_\nu}{dx^0} = p^0 \frac{dp_\nu}{dx^0}\]

となるので、求める方程式は以下のようになります。

\[\frac{dp_\nu}{dx^0} = \frac{1}{2p^0} p^\mu p^\beta g_{\beta \mu, \nu}\]