\(\Gamma\)関数
ガンマ関数は1729に数学者レオンハルト・オイラーが、階乗の一般化のために導入したと言われています。このページではその公式や性質を見ていきましょう。
定義
\[\Gamma (x) = \int_0^\infty e^{-t} t^{x-1} dt\]諸公式
\[\Gamma(x) = [-e^{-t} t^{x-1} ]_0^\infty -\int_0^\infty (-1) e^{-t} (x-1) t^{x-2} dt = (x-1) \Gamma(x-1)\]特に\(x=n\)(正の整数)のとき
\[\begin{aligned} \Gamma(n) &= (n-1) \Gamma(n-1) = (n-1) (n-2) \Gamma(n-2) = \cdots = (n-1) (n-2) \cdots 2 \cdot 1 \cdot \Gamma(1) \\ &= (n-1) ! \int_0^\infty e^{-t} dt = (n-1) ! \end{aligned}\]次に\(x \rightarrow 1-x\)と置き換えると
\[\begin{aligned} \Gamma(1-x) &= \int_0^\infty e^{-t} t^{1-x-1} dt = \int_0^\infty e^{-t} t^{-x} dt = [ -e^{-t} t^{-x} ]_0^\infty - \int_0^\infty(-1) e^{-t} (-x) t^{-x-1} dt \\ &= -x \int_0^\infty e^{-t} t^{-x-1} dt = -x \Gamma (-x) \end{aligned}\]が成り立ちます。
半整数の階乗
\[\Gamma (1/2) = \int_0^\infty e^{-t} t^{-1/2} dt \underbrace{=}_{t=s^2} \int_0^\infty e^{-s^2} s^{-1} 2s ds = 2 \int_0^\infty e^{-s^2} ds \underbrace{=}_{ガウス積分} \sqrt{\pi}\]このようにして1/2の階乗を求めることができます。
\[\begin{aligned} \Gamma (n+1/2) &= \int_0^\infty t^{n+1/2-1} e^{-t} dt = \left[ -t^{n-1/2} e^{-t} \right]^\infty_0 - \int_0^\infty (n-1/2) t^{n-3/2} (-e^{-t}) dt \\ &= (n-1/2) \int_0^\infty t^{n-1/2-1} e^{-t} dt = (n-1/2) \Gamma (n-1/2) = (n-1/2) (n-3/2) \Gamma (n-3/2) \\ &= \cdots = (n-1/2) (n-3/2) \cdots \frac{3}{2} \frac{1}{2} \Gamma(1/2) = \frac{(2n-1)(2n-3) \cdots 3 \cdots 1}{2^n} \sqrt{\pi} = \frac{(2n)!}{2^n 2^n n!} \sqrt{\pi} \end{aligned}\]よって
\[\Gamma (n+1/2) = \frac{(2n)!}{2^{2n} n!} \sqrt{\pi}\]が成立します。さらに
\[\Gamma (-1/2) = \int_0^\infty t^{-3/2} e^{-t} dt = \left[ -2 t^{-1/2} e^{-t} \right]^\infty_0 - \int_0^\infty (-2) t^{-1/2} (-e^{-t}) dt = -2 \underbrace{\int_0^\infty t^{1/2-1} e^{-t} dt}_{=\Gamma (1/2)} = -2\sqrt{\pi}\]と計算できるので
\[\begin{aligned} \Gamma (1/2-n) &= \Gamma(-(n-1/2)) = \frac{-1}{n-1/2} \Gamma(1-(n-1/2)) = \frac{-2}{2n-1} \Gamma(3/2-n) = \frac{-2}{2n-1} \frac{-2}{2n-3} \Gamma(5/2-n) \\ &= \cdots = \frac{(-1)^n 2^n}{(2n-1)(2n-3) \cdots 3\cdot 1} \Gamma(1/2) = \frac{(-1)^n 2^{2n} n!}{(2n)!} \sqrt{\pi} \end{aligned}\]とも計算できます。
ガウスの公式
\(0<x<1\)においてガンマ関数\(\Gamma (x)\)に対して成り立つ公式を導出しましょう。この照明では、\(n>2\)とします。\(a=n+x > 3\)となる実数において
\[f(a) = \frac{\ln \Gamma (a) - \ln \Gamma (n)}{a-n}\]は単調増加関数です(実際に証明しても良いですが、適当なスクリプトなどで図示して見ても良いでしょう)。すると以下の不等式が成り立ちます。
\[\frac{\ln \Gamma (n-1) - \ln \Gamma (n)}{(n-1) - n} \leq \frac{\ln \Gamma (n+x) - \ln \Gamma (n)}{(n+x) - n} \leq \frac{\ln \Gamma (n+1) - \ln \Gamma (n)}{(n+1) - n}\]この不等式と\(\Gamma (n) = (n-1)!\)より
\[\ln (n-1) \leq \frac{\ln \frac{\Gamma (n+x)}{(n-1)!}}{x} \leq \ln n \ \Longrightarrow \ \ln (n-1)^x \leq \ln \frac{\Gamma (n+x)}{(n-1)!} \leq \ln n^x\]となります。両辺のlogを外すことで
\[(n-1)^x (n-1)! \leq \Gamma (n+x) \leq n^x (n-1)!\]を得ます。ここでガンマ関数の公式から\(\Gamma(n+x) = (n+x-1) (n+x-2) \cdots (x+1) x \Gamma (x)\)より
\[\frac{(n-1)^x (n-1)!}{(n+x-1) (n+x-2) \cdots (x+1) x} \leq \Gamma (x) \leq \frac{n^x (n-1)!}{(n+x-1) (n+x-2) \cdots (x+1) x}\]となります。左右の辺において、\(n \rightarrow n+1\)のように置換すれば
\[\frac{n^x n!}{(n+x) (n+x-1) \cdots (x+1) x} \leq \Gamma (x) \leq \frac{(n+1)^x n!}{(n+x) (n+x-1) \cdots (x+1) x}\]です。ここで最右辺において\((n+1)^x = \left(\frac{n+1}{n} \right)^x n^x\)という変形をします。最左辺と最右辺において\(n \rightarrow \infty\)の極限をとると
\[\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^x n!}{(n+x) (n+x-1) \cdots (x+1) x} \leq \Gamma (x) \leq \lim_{n \rightarrow \infty} \underbrace{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^x}_{\rightarrow 1} \frac{n^x n!}{(n+x) (n+x-1) \cdots (x+1) x}\]はさみうちの原理から
\[\Gamma (x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^x n!}{(n+x) (n+x-1) \cdots (x+1) x} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^x n!}{\prod_{k=0}^n (x+k)}\]となります。これをガンマ関数におけるガウスの公式と呼びます。
補遺: ガウス積分
\[2 \int_0^\infty e^{-s^2} ds \underbrace{=}_{偶関数} \int_{-\infty}^\infty e^{-s^2} ds = \left( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2} dy \right)^{1/2} = \left( \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dy e^{-(x^2+y^2)} \right)^{1/2}\]ここで\(x=r\cos \theta, y=r\sin \theta\)と置換すると
\[\int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dy e^{-(x^2+y^2)} = \int_0^\infty dr \int_0^{2\pi} d\theta r e^{-r^2} = 2\pi \left[ -\frac{e^{-r^2}}{2} \right]_0^\infty = \pi\] \[\therefore \ \int_0^\infty e^{-s^2} ds = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\]が導出できます。