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固有体積要素
固有体積要素とは
局所慣性系での微小変位ベクトルを\(d\bar{\bf x}\)と書きましょう。これを用いて体積要素を表現すると\(dV = d\bar{x}^0d\bar{x}^1d\bar{x}^2d\bar{x}^3\)と書けます。これを一般座標系での微小変位ベクトル\(d{\bf x}\)で表現すると、ヤコビアンを用いて
\[dV = {\rm det} \left( \frac{\partial \bar{x}^\alpha}{\partial x^\mu}\right) dx^0 dx^1 dx^2 dx^3\]となります。局所慣性系での計量テンソルはミンコフスキーメトリックなので、一般座標系での計量テンソルは
\[g_{\mu \nu} = \frac{\partial \bar{x}^\alpha}{\partial x^\mu}\frac{\partial \bar{x}^\beta}{\partial x^\nu} \eta_{\bar{\alpha} \bar{\beta}} = \Lambda_\mu^{\ \bar{\alpha}}\eta_{\bar{\alpha} \bar{\beta}} \Lambda_{\ \nu}^\bar{\beta}\]よってこれを行列形式で書くと
\[(g_{\mu \nu}) = \Lambda^\top \eta \Lambda\]これの行列式は
\[g \equiv {\rm det} (g_{\mu \nu}) = {\rm det}(\Lambda^\top) {\rm det}(\eta) {\rm det}(\Lambda) = - {\rm det}(\Lambda)^2 \ \Longrightarrow \ {\rm det}(\Lambda) = \sqrt{-g}\]となります。よって固有体積要素は
\[dV = \sqrt{-g} d^4 x\]と書けます。
例題: 2次元デカルト座標での固有体積要素
\[{\rm det} (g_{\mu \nu}) = \left| \begin{array}{ccc} -1 & & {\bf 0}\\ & 1 &\\ {\bf 0}& & 1 \end{array} \right| = -1\] \[\therefore \ dV = 1 dx dy cdt\]例題: 2次元極座標での固有体積要素
\[{\rm det} (g_{\mu \nu}) = \left| \begin{array}{ccc} -1 & & {\bf 0}\\ & 1 &\\ {\bf 0}& & r^2 \end{array} \right| = -r^2\] \[\therefore \ dV = r dr d\theta cdt\]