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フリードマン方程式
スケール因子\(a\)の満たす方程式を導出しましょう。
アインシュタイン方程式
\[R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu \nu}\]ここで\(g_{\mu \nu}\)はロバートソン・ウォーカー計量より
\[(g_{\mu \nu}) = \left( \begin{array}{cccc} -c^2 & & & \mathbf{0} \\ & \frac{a^2}{1-Kr^2}& & \\ & & a^2 r^2 & \\ \mathbf{0} & & & a^2 r^2 \sin^2 \theta \end{array} \right)\]です。右辺に現れた\(T_{\mu \nu}\)は完全流体のエネルギー運動量テンソルです。今は静止流体\(\mathbf{v}=\mathbf{0}\)を考えましょう。
\[T_{\mu \nu} = (\rho c^2 + p)\frac{u^\mu}{c} \frac{u^\nu}{c} + p g_{\mu \nu}\]\($u^\mu = (c, \mathbf{0}), u_\mu = (-c, \mathbf{0})\)より、これの縮約を考えると
\[T^\mu_{\ \mu} = (\rho c^2 + p) \underbrace{\frac{u^\mu}{c} \frac{u_\mu}{c}}_{=-1} + p\underbrace{g^\mu_{\ \mu}}_{=4} = -\rho c^2 + 3p\]同様にアインシュタイン方程式の縮約を考えましょう。
\[R^\mu_{\ \mu} - \frac{1}{2} R g^{\mu}_{\ \mu} = -R = \frac{8\pi G}{c^4} (-\rho c^2 + 3p)\] \[\therefore \ R_{\mu \nu} = \frac{8\pi G}{c^4} (T_{\mu \nu} -\frac{1}{2} (-\rho c^2 + 3p) g_{\mu \nu})\]この式の\(R_{00}, R_{rr}\)成分を考えていきます。
クリストッフェル記号
\[\Gamma^r_{r0} = \frac{a_{, 0}}{a}, \ \Gamma^\theta_{\theta 0} = \frac{a_{, 0}}{a}, \ \Gamma^\varphi_{\varphi 0} = \frac{a_{, 0}}{a}, \ \Gamma^0_{rr} = \frac{a a_{, 0}}{1-Kr^2}, \ \Gamma^r_{rr} = \frac{Kr}{1-Kr^2}, \ \Gamma^\theta_{\theta r} = \frac{1}{r}, \ \Gamma^\varphi_{\varphi r} = \frac{1}{r}\]それ以外の成分は0です。
リッチテンソル
\[R_{00} = \partial_\alpha \Gamma^\alpha_{00} - \partial_0 \Gamma^\alpha_{\alpha 0} + \Gamma^\alpha_{\alpha \sigma} \Gamma^\sigma_{00} - \Gamma^\alpha_{0\sigma} \Gamma^\sigma_{\alpha 0}\]より
\[R_{00} = -\frac{\partial }{\partial t} \left( 3 \frac{\dot{a}}{a} \right) -3 \left( \frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = -\frac{3}{c^2} \frac{\ddot{a}}{a}\] \[R_{rr} = \partial_\alpha \Gamma^\alpha_{rr} - \partial_r \Gamma^\alpha_{\alpha r} + \Gamma^\alpha_{\alpha \sigma} \Gamma^\sigma_{rr} - \Gamma^\alpha_{r\sigma} \Gamma^\sigma_{\alpha r}\]より
\[R_{rr} = \frac{1}{1-Kr^2} \frac{1}{c^2} (a\ddot{a} + 2 \dot{a}^2 + 2Kc^2)\]フリードマン方程式
\(00\)成分より
\[\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3} (\rho + \frac{3p}{c^2}) \tag{1}\]\(rr\)成分より
\[\frac{1}{1-Kr^2} \frac{a^2}{c^2} (\frac{\ddot{a}}{a} + 2 \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{2Kc^2}{a^2}) = \frac{8\pi G}{c^4} \frac{a^2}{1-Kr^2} (\frac{1}{2}\rho c^2 -\frac{1}{2} p) \ \Longrightarrow \ \frac{\ddot{a}}{a} + \frac{2\dot{a}^2}{a^2} = -\frac{2K}{a^2} + \frac{8\pi G}{c^2} (\frac{1}{2} \rho c^2 - \frac{1}{2} p)\](1)を用いて
\[\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 \equiv H^2 = \frac{8\pi G}{3} \rho - \frac{Kc^2}{a^2} \tag{2}\]この(1), (2)をフリードマン方程式と呼びます。
物理的意味
それぞれの方程式の物理的意味を考えましょう。
\[(2) \ \Longrightarrow \ - \frac{Kc^2}{2} = \underbrace{\frac{1}{2} \dot{a}^2}_{運動エネルギー} \underbrace{- \frac{G}{a} \frac{4\pi}{3} a^3 \rho}_{重力ポテンシャルエネルギー}\]と変形できるので、これは宇宙の運動エネルギー保存と考えることもできます。
さらに(2)式の両辺を微分すると
これを変形して
\[\dot{\rho} = \frac{3}{8\pi G} (2\frac{\dot{a}}{a} \frac{\ddot{a}}{a} -2 \frac{\dot{a}^2}{a^2} \frac{\dot{a}}{a} -2\frac{Kc^2}{a^3} \dot{a})\]これはさらに以下のように整理されます。
\[\dot{\rho} = -3\frac{\dot{a}}{a} (\rho + \frac{p}{c^2}) \ \Longrightarrow \ \frac{d}{dt} (c^2 \rho a^3) = -p\frac{d a^3}{dt}\]これは断熱変化を仮定したときの熱力学第一法則、すなわち内部エネルギー保存則を表しています。