Table of contents

1. フリードマン方程式
   1. アインシュタイン方程式
   2. クリストッフェル記号
   3. リッチテンソル
   4. フリードマン方程式
   5. 物理的意味

フリードマン方程式

スケール因子$a$の満たす方程式を導出しましょう。

アインシュタイン方程式

アインシュタイン方程式より

$$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$$

ここで$g_{\mu \nu }$はロバートソン・ウォーカー計量より

$$(g_{\mu \nu })=\left(\begin{array}{cccc}-c^2& & & \mathbf{0}\\ & \frac{a^2}{1-K{r}^2}& & \\ & & a^2{r}^2& \\ \mathbf{0}& & & a^2{r}^2{\sin }^2\theta \end{array}\right)$$

です。右辺に現れた$T_{\mu \nu }$は完全流体のエネルギー運動量テンソルです。今は静止流体$\mathbf{v}=\mathbf{0}$を考えましょう。

$$T_{\mu \nu }=(\rho c^2+p)\frac{u^{\mu }}{c}\frac{u^{\nu }}{c}+p{g}_{\mu \nu }$$

$\$u^{\mu }=(c,\mathbf{0}),u_{\mu }=(-c,\mathbf{0})$より、これの縮約を考えると

$$T_{\mu }^{\mu }=(\rho c^2+p)\underset{=-1}{\underbrace{\frac{u^{\mu }}{c}\frac{u_{\mu }}{c}}}+p\underset{=4}{\underbrace{g_{\mu }^{\mu }}}=-\rho c^2+3p$$

同様にアインシュタイン方程式の縮約を考えましょう。

$$R_{\mu }^{\mu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu }^{\mu }=-R=\frac{8\pi G}{c^4}(-\rho c^2+3p)$$ $$\therefore R_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}(T_{\mu \nu }-\frac{1}{2}(-\rho c^2+3p)g_{\mu \nu })$$

この式の$R_{00},R_{rr}$成分を考えていきます。

クリストッフェル記号

$${\mathrm{\Gamma }}_{r0}^r=\frac{a_{,0}}{a},{\mathrm{\Gamma }}_{\theta 0}^{\theta }=\frac{a_{,0}}{a},{\mathrm{\Gamma }}_{\phi 0}^{\phi }=\frac{a_{,0}}{a},{\mathrm{\Gamma }}_{rr}^0=\frac{a{a}_{,0}}{1-K{r}^2},{\mathrm{\Gamma }}_{rr}^r=\frac{Kr}{1-K{r}^2},{\mathrm{\Gamma }}_{\theta r}^{\theta }=\frac{1}{r},{\mathrm{\Gamma }}_{\phi r}^{\phi }=\frac{1}{r}$$

それ以外の成分は0です。

リッチテンソル

$$R_{00}={\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\alpha }-{\partial }_0{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha 0}^{\alpha }+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \sigma }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{00}^{\sigma }-{\mathrm{\Gamma }}_{0\sigma }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha 0}^{\sigma }$$

より

$$R_{00}=-\frac{\partial }{\partial t}\left(3\frac{\dot{a}}{a}\right)-3{\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=-\frac{3}{c^2}\frac{\ddot{a}}{a}$$ $$R_{rr}={\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{rr}^{\alpha }-{\partial }_r{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha r}^{\alpha }+{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha \sigma }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{rr}^{\sigma }-{\mathrm{\Gamma }}_{r\sigma }^{\alpha }{\mathrm{\Gamma }}_{\alpha r}^{\sigma }$$

より

$$R_{rr}=\frac{1}{1-K{r}^2}\frac{1}{c^2}(a\ddot{a}+2{\dot{a}}^2+2K{c}^2)$$

フリードマン方程式

$00$成分より

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}(\rho +\frac{3p}{c^2})\end{array}$$

$rr$成分より

$$\frac{1}{1-K{r}^2}\frac{a^2}{c^2}(\frac{\ddot{a}}{a}+2\frac{{\dot{a}}^2}{a^2}+\frac{2K{c}^2}{a^2})=\frac{8\pi G}{c^4}\frac{a^2}{1-K{r}^2}(\frac{1}{2}\rho c^2-\frac{1}{2}p)⟹\frac{\ddot{a}}{a}+\frac{2{\dot{a}}^2}{a^2}=-\frac{2K}{a^2}+\frac{8\pi G}{c^2}(\frac{1}{2}\rho c^2-\frac{1}{2}p)$$

(1)を用いて

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2\equiv H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{K{c}^2}{a^2}\end{array}$$

この(1), (2)をフリードマン方程式と呼びます。

物理的意味

それぞれの方程式の物理的意味を考えましょう。

$$(2)⟹-\frac{K{c}^2}{2}=\underset{\mathrm{運}\mathrm{動}\mathrm{エ}\mathrm{ネ}\mathrm{ル}\mathrm{ギ}\mathrm{ー}}{\underbrace{\frac{1}{2}{\dot{a}}^2}}\underset{\mathrm{重}\mathrm{力}\mathrm{ポ}\mathrm{テ}\mathrm{ン}\mathrm{シ}\mathrm{ャ}\mathrm{ル}\mathrm{エ}\mathrm{ネ}\mathrm{ル}\mathrm{ギ}\mathrm{ー}}{\underbrace{-\frac{G}{a}\frac{4\pi }{3}{a}^3\rho }}$$

と変形できるので、これは宇宙の運動エネルギー保存と考えることもできます。
さらに(2)式の両辺を微分すると

$$\frac{2\dot{a}\ddot{a}}{a^2}-\frac{2{\dot{a}}^3}{a^3}=\frac{8\pi G}{3}\dot{\rho }+\frac{2K{c}^2}{a^3}\dot{a}$$

これを変形して

$$\dot{\rho }=\frac{3}{8\pi G}(2\frac{\dot{a}}{a}\frac{\ddot{a}}{a}-2\frac{{\dot{a}}^2}{a^2}\frac{\dot{a}}{a}-2\frac{K{c}^2}{a^3}\dot{a})$$

これはさらに以下のように整理されます。

$$\dot{\rho }=-3\frac{\dot{a}}{a}(\rho +\frac{p}{c^2})⟹\frac{d}{dt}(c^2\rho a^3)=-p\frac{d{a}^3}{dt}$$

これは断熱変化を仮定したときの熱力学第一法則、すなわち内部エネルギー保存則を表しています。