シュバルツシルトの外部解

星の外での時空を求めるので以下の仮定を行います。

\[P = \rho = 0\] \[\frac{dM}{dr} = 0 \ \Longrightarrow \ M = {\rm Const}\]

それでは導出を行いましょう。

導出

TOV方程式を導く途中の式より

\[\Phi' = \frac{1}{r \left(r- \frac{2GM}{c^2}\right)} \frac{GM}{c^2} = \frac{1}{2} ( \frac{1}{r-\frac{2GM}{c^2}} - \frac{1}{r}) \ \Longrightarrow \ \Phi = \frac{1}{2} \ln (1-r_g/r) + C\]

ここで\(r_g \equiv 2GM/c^2\), そして\(C\)は積分定数です。

\[\lim_{r \rightarrow \infty} \Phi = C = 0\] \[\therefore \ g_{00} = -e^{2\Phi} = -(1-r_g/r)\]

これとTOV方程式を求める途中の式とを合わせて、シュバルツシルトの外部解は

\[ds^2 = -(1-r_g / r) c^2 dt^2 + \frac{1}{1-r_g/r} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2)\]

と求まります。