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フリードマン方程式を解く
ここではフリードマン方程式を変形し、それぞれの物質が優勢のときに、スケール因子がどのように時間発展していくかを解いてみましょう。
フリードマン方程式を変形
フリードマン方程式より
\[\begin{aligned} \frac{\dot{a}^2}{a^2} = H^2 &= H_0^2 \underbrace{\frac{8\pi G}{3H_0^2}}_{1/\rho_{\rm cr, 0}} (\rho_m + \rho_r + \rho_{\rm DE}) -\frac{Kc^2}{a^2} \\ &= H_0^2 (\Omega_{m, 0} (1+z)^3 + \Omega_{r, 0} (1+z)^4 + \Omega_{\rm DE, 0} (1+z)^{3(1+w_{\rm DE})} + \Omega_{K, 0} (1+z)^2) \end{aligned}\]ここで\(\Omega_{K, 0} = -Kc^2/H_0^2\)としました。これを一般の場合に解くことは困難なので、4つのパターンにわけてときます。
曲率優勢の場合
ここでは\(\Omega_{m, 0} = \Omega_{r, 0} = \Omega_{\rm DE, 0} = 0\)とします。
\[\dot{a}^2 = H_0^2 \Omega_{K, 0} \ \Longrightarrow \ a = \sqrt{\Omega_{K, 0}} H_0 t = H_0 t\]ここで現在のことを考えてみましょう。\(a_0 = H_0 t_0 = 1\)より\(t_0 = 1/ H_0\)となります。これはハッブルの法則
\[v = H_0 \ell \ \Longrightarrow \ t_0 = \ell/v = 1/H_0 \sim 10^{10} \ [{\rm yr} \ h^{-1}]\]を表していることがわかります。
物質優勢の場合
\[\dot{a}^2 = \frac{H_0^2 \Omega_{m, 0}}{a} \ \Longrightarrow \ \dot{a} = H_0 \sqrt{\Omega_{m, 0}} a^{-1/2} \ \Longrightarrow \ a^{1/2} da = H_0 \sqrt{\Omega_{m, 0}} dt \ \Longrightarrow \ a = \left( \frac{3}{2} H_0 \sqrt{\Omega_{m,0}} H_0 t\right)^{2/3}\]ここで先ほどと同様に現在のことを考えます。すると
\[a_0 = \left(\frac{3}{2} H_0 \sqrt{\Omega_{m,0}} t_0 \right)^{3/2} = 1 \ \Longrightarrow \ t_0 = \frac{2}{3} \frac{1}{H_0 \sqrt{\Omega_{m,0}}}\]となります。
放射優勢の場合
\[\dot{a}^2 = H_0^2 \Omega_{r, 0} a^{-2} \ \Longrightarrow \ a da = \sqrt{\Omega_{r,0}} H_0 dt \ \Longrightarrow \ a = \sqrt{2\Omega_{r,0}^{1/2}H_0 t}\]ダークエネルギー優勢の場合
\(w_{\rm DE, 0} = w_{\Lambda, 0} = -1\)として
\[\dot{a}^2 = H_0^2 \Omega_{\rm DM, 0} a^2 \ \Longrightarrow \ a = e^{\sqrt{\Omega_{\rm DM, 0}} H_0 (t-t_0)}\]になります。特にスケール因子\(a(t)\)が指数関数で表現される宇宙をド・ジッター宇宙(de Sitter Universe)と呼びます。