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等温度球に対するレーン・エムデン方程式
理想気体での等温度球の構造について考えましょう。 理想気体の状態方程式\(P = \frac{\rho}{\mu m_p} k_B T\)とポリトロープ関係\(P = K \rho^{1+\frac{1}{n}}\)を見比べてみると、これは\(n \rightarrow \infty\)に対応していることがわかります。 等温の理想気体の圧力は
\[P = (\gamma - 1) C_v T \rho \equiv K' \rho \tag{4.3.1}\]のように表せます。 これを静水圧平衡の式に使いましょう。
\[\frac{dP}{dr} = - \frac{d\psi}{dr} \rho \ \Longrightarrow \ \frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dr} = \frac{d\ln \rho}{dr} = - \frac{1}{K'} \frac{d\psi}{dr} \tag{4.3.2}\]この両辺を積分すると
\[\ln \rho = - \frac{\psi}{K'} + C\]を得ます。 \(C\)は積分定数ですが、中心での密度とポテンシャルエネルギーをそれぞれ\(\rho_c, \psi_c\)と書くと
\[C = \frac{\psi_c}{K'} + \ln \rho_c\]となります。 ここで新しい変数\(\Theta\)を導入しましょう。
\[\Theta \equiv \frac{\psi- \psi_c}{K'} \tag{4.3.3}\]これを用いると
\[\rho = \rho_c e^{-\Theta} \tag{4.3.4}\]が得られます。 \(\Theta\)の定義式(4.3.3)式から、中心では\(\Theta = 0\)です。 (4.3.1), (4.3.4)式を、静水圧平衡の式を変形したもの\(\frac{d}{dr} \left( \frac{r^2}{\rho} \frac{dP}{dr} \right) = -4\pi G r^2 \rho\)に用いると
\[\begin{align} &K' \frac{d}{dr} \left( \frac{r^2}{\rho} \frac{d\rho}{dr} \right) = 4\pi G r^2 \rho \ \Longrightarrow \ K' \frac{d}{dr} \left( \frac{r^2}{\rho_c e^{-\Theta}} \rho_c e^{-\Theta} (-1)\frac{d\Theta}{dr} \right) = - 4\pi G r^2 \rho_c e^{-\Theta} \notag \\ &\Longrightarrow \ \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{d\Theta}{dr} \right) = \frac{4\pi G r^2 \rho_c}{K'} e^{-\Theta} \tag{4.3.5} \end{align}\]のようになります。 (4.3.5)式の左辺から、無次元化された中心からの距離を
\[\Xi = \sqrt{\frac{4\pi G \rho_c}{K'}} r \tag{4.3.6}\]を定義しましょう。 すると、等温度球に対するレーン・エムデン方程式
\[\frac{1}{\Xi^2} \frac{d}{d\Xi} \left( \Xi^2 \frac{d \Theta}{d\Xi} \right) = e^{-\Theta} \tag{4.3.7}\]を得ます。
境界条件は、中心(\(\Xi = 0\))で\(\Theta=0\)、そして中心で力が働かない条件から\(\frac{d\Theta}{d\Xi} = 0\)で与えられます。 (4.3.7)式の中心付近での解は、\(\Xi = 0\)での展開より
です。
一方、中心から離れたところ\(\Xi \gg 1\)での(4.3.7)式の解を考えてみましょう。 \(\Xi \rightarrow \infty\)で\(\rho \rightarrow 0\)となるため、\(C, \alpha\)を正の定数として
の形で、その振る舞いを見てみることにしましょう。 これを(4.3.7)式に代入すると
\[C\Xi^{-\alpha} = \frac{1}{\Xi^2} \frac{d}{d\Xi} (\alpha \Xi) = \frac{\alpha}{\Xi^2}\]となります。 両辺を比較すると、\(C = \alpha = 2\)であれば、(4.3.10)式が\(\Xi \gg 1\)での(4.3.7)式の解となっていることがわかります。 これは、中心から十分離れたところで
\[\rho \propto \frac{1}{r^2}\]となることを表しています。 したがって、等温度球に境界は存在せず、\(\int_0^\infty 4\pi r^2 \rho dr\)により計算される全体の質量も無限大になります。