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慣性波 (inertial waves)
直感的な導出
線形化された流体の運動方程式から、回転によって生じるコリオリ力の項のみを考えてみましょう。
\[\frac{\partial \mathbf{v}_1}{\partial t} = - 2 \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{v}_1 \tag{1}\]さらに角速度ベクトルは\(z\)成分しか持たないとします。すなわち\(\boldsymbol{\Omega} = \Omega \mathbf{e}_z\)と考えると
\[\frac{\partial v_{1x}}{\partial t} = 2 \Omega v_{1y}, \quad \frac{\partial v_{1y}}{\partial t} = -2 \Omega v_{1x} \tag{2}\]となり、この連立微分方程式の解は
\[v_{1x} = A \cos (kz-2\Omega t), \quad v_{1y} = A \sin (kz - 2\Omega t) \tag{3}\]のような波動解とわかります。これを慣性波(inertial waves)と呼びます。この波動を生み出す復元力はコリオリ力であり、コリオリ力は流体要素に\(xy\)平面内を円運動させるような加速度を生み出します。結果として、回転軸と平行に角速度\(2\Omega\)の波動が伝播していきます。
定量的な導出
以降では定量的な導出を行いましょう。簡単のため音波の導出の時に示した(20)式において重力と磁場を無視して\(g = 0, \mathbf{B}_0 =\mathbf{0}\)とし、さらに非圧縮(\(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}_1 = 0\)、すなわち横波)を仮定すると
\[\omega^2 \mathbf{v}_1 = - 2i \omega \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{v}_1 \tag{4}\]となります。この式の両辺を\(\mathbf{k}\)との外積をとり、式変形を行います。
\[\omega^2 \mathbf{k} \times \mathbf{v}_1 = -2i \omega \mathbf{k} \times (\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{v}_1) = -2i \omega \{ \underbrace{(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}_1)}_{=0} \boldsymbol{\Omega} - (\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\Omega}) \mathbf{v}_1\} = 2i\omega (\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\Omega}) \mathbf{v}_1 \tag{5}\]この両辺の大きさを計算することでベクトル量からスカラー量への変換を行い、\(\omega\)の式にします。このとき\(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}_1=0\)より\(\\|\mathbf{k} \times \mathbf{v}_1 \\| = k v_1\)と簡単に書くことができるので
\[\{\omega^2 (\mathbf{k} \times \mathbf{v}_1)\} \{\omega^2 (\mathbf{k} \times \mathbf{v}_1)\}^\ast = \{2i\omega (\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\Omega}) \mathbf{v}_1\} \{2i\omega (\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\Omega}) \mathbf{v}_1\}^\ast \ \Longrightarrow \ \omega^4 k^2 v_1^2 = 4\omega^2 (\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\Omega})^2 v_1^2\]よって
\[\omega = \pm \frac{2(\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\Omega})}{k} \tag{6}\]伝播方向\(\mathbf{k}\)と系の回転軸(角速度ベクトル\(\boldsymbol{\Omega}\))の成す角を\(\theta_\Omega\)と書くと、(6)式より
\[\omega = \pm 2 \Omega \cos \theta_\Omega \ \Longrightarrow \ v_p = \pm \frac{2\Omega \cos \theta_\Omega}{k} \tag{7}\]とわかります。また群速度は(6)式より
\[\begin{align} \mathbf{v}_g &= \frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}} = \pm 2 \frac{\partial}{\partial k_i} \frac{k_j \Omega_j}{(k_m k_m)^{1/2}} \mathbf{e}_i = \pm 2 \frac{\delta_{ij} \Omega_j (k_m k_m)^{1/2} - \frac{1}{2} (k_m k_m)^{-1/2} 2 k_m \delta_{im} k_j \Omega_j}{k_m k_m} \mathbf{e}_i \notag \\ &= \pm 2 \frac{k^2 \boldsymbol{\Omega} - (\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\Omega}) \mathbf{k}}{k^3} = \pm \frac{\mathbf{k} \times (2 \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{k})}{k^3} \tag{8} \end{align}\]よってその大きさは
\[v_g = \frac{2\Omega \sin \theta_\Omega}{k} \tag{9}\](6), (8)式より
\[\sqrt{v_p^2 + v_g^2} = \frac{2\Omega}{k} \tag{10}\]のように整理すると\(\theta_\Omega\)nに依存しない形が出てきます。これは\(\mathbf{v}_p \perp \mathbf{v}_g\)を意味しており、内部重力波と同様に、そのエネルギーは波数ベクトルとは垂直な方向に伝播していくとわかります。
慣性波のヘリシティ
\(\mathbf{v}_1\)が従う(4)式の形から、\(\mathbf{v}_1\)は波動の伝播に従って円運動を行います。よって慣性波は円偏波です。この波動の渦度ベクトル\(\nabla \times \mathbf{v}_1\)と\(\mathbf{v}_1\)との内積を計算すると
\[\mathbf{v}_1 \cdot (\nabla \times \mathbf{v}_1) = \mathbf{v}_1 \cdot (i \mathbf{k} \times \mathbf{v}_1) \underbrace{=}_{(5)} - \mathbf{v}_1 \cdot \frac{2 (\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\Omega})}{\omega} \mathbf{v}_1 \underbrace{=}_{(6)} \mp k v_z^2 \tag{11}\]のようになります。よって渦度ベクトルは\(\mathbf{v}_1\)と平行か反平行であることがわかります。これはヘリシティとして知られる量です。
参考文献
[1] Priest, “Solar Magnetohydrodynamics”
[2] 観山正見, 野本憲一, 二間瀬敏史, “天体物理学の基礎 II”