共変微分

共変微分とは

あるベクトルの微分を考えたとき

\[\partial_\mu {\bf A}({\bf x}) =\partial_\mu (A^\nu ({\bf x}){\bf e}_\nu ({\bf x})) =\partial_\mu (A^\nu ({\bf x})) {\bf e}_\nu ({\bf x}) + A^\nu ({\bf x}) (\partial_\mu{\bf e}_\nu ({\bf x}))\]

微分の定義から

\[\partial_\mu A = \lim_{d{\bf x} \rightarrow {\bf 0}} \frac{A ({\bf x}+ d{\bf x}) - A({\bf x})}{d{\bf x}}\]

となります。このとき位置\({\bf x}\)の局所慣性系に移ったとき、位置\({\bf x} + d{\bf x}\)は局所慣性系ではなくなる可能性があります。逆に、位置\({\bf x} + d{\bf x}\)の局所慣性系に移ったときには、位置\({\bf x}\)は局所慣性系でなくなる可能性があります。よって、位置\({\bf x}, {\bf x}+ d{\bf x}\)のように異なる位置で変換則が異なるために、同じ物理量でも直接の比較は不可能となります。そこで上式のような微分の方法ではなく、新しい微分の仕方を定義しなければなりません。

その方法として、位置\({\bf x}\)での基底ベクトルの微分方法を

\[\partial_\mu {\bf e}_\nu ({\bf x}) = \Gamma^{\alpha}_{\mu \nu}({\bf x}) {\bf e}_\alpha ({\bf x})\]

のように表現しましょう。これは基底ベクトルの微分をその位置の基底ベクトルで展開し、その時の展開係数をクリストッフェル記号\(\Gamma\)で表したものです。

このとき\({\bf A}\)の微分は

\[\partial_\mu {\bf A} = (\partial_\mu A^\alpha + A^\nu \Gamma^\alpha_{\mu \nu}){\bf e}_\alpha\]

となります。よってこのベクトルの成分の微分

\[\nabla_\mu A^\alpha = \partial_\mu A^\alpha + A^\nu \Gamma^\alpha_{\mu \nu} \equiv A^\alpha_{;\mu}\]

を共変微分と呼び、新しい微分方法として定義します。最初の項はこれまで通りの成分の微分、そして第二項は先ほど説明した基底の微分のお釣りが付いています。

演習問題: クリストッフェル記号はテンソルか？

\[\partial_\mu {\bf e}_\nu = \Gamma^\alpha_{\mu \nu} {\bf e}_\alpha\]

を\(x'\)系に変換しましょう。

\[\begin{aligned} (左辺) &= \partial_{\mu'} {\bf e}_{\nu'} = \partial_{\mu'} \left(\frac{\partial x^\gamma}{\partial x^{\nu'}} {\bf e}_\gamma \right) = \frac{\partial^2 x^\gamma}{\partial x^{\mu'} \partial x^{\nu'}} {\bf e}_\gamma + \frac{\partial x^\gamma}{\partial x^{\nu'}} \underbrace{\frac{\partial {\bf e}_\gamma}{\partial x^{\mu'}}}_{連鎖律} \\ &= \frac{\partial^2 x^\gamma}{\partial x^{\mu'} \partial x^{\nu'}} {\bf e}_\gamma + \frac{\partial x^\gamma}{\partial x^{\nu'}} \frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial {\bf e}_\gamma}{\partial x^\beta} =\frac{\partial^2 x^\alpha}{\partial x^{\mu'} \partial x^{\nu'}} {\bf e}_\alpha + \frac{\partial x^\gamma}{\partial x^{\nu'}} \frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\mu'}} \Gamma^\alpha_{\beta \gamma} {\bf e}_\alpha \end{aligned}\] \[(右辺) = \Gamma'^\alpha_{\mu \nu}\frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\alpha'}} {\bf e}_\beta =\Gamma'^\beta_{\mu \nu}\frac{\partial x^\alpha}{\partial x^{\beta'}} {\bf e}_\alpha\]

よって\({\bf e}_\alpha\)の係数のみを比較しましょう。

\[\frac{\partial x^\alpha}{\partial x^{\beta'}} \Gamma'^\beta_{\mu\nu} = \frac{\partial^2 x^\alpha}{\partial x^{\mu'} \partial x^{\nu'}} + \frac{\partial x^\gamma}{\partial x^{\nu'}} \frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\mu'}} \Gamma^\alpha_{\beta \gamma}\]

この両辺に\(\frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^\alpha}\)をかけて整理します。

\[\underbrace{\frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^\alpha} \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\beta'}}}_{\delta^{\sigma'}_{\beta'}}\Gamma'^\beta_{\mu \nu} =\Gamma'^\sigma_{\mu \nu} =\frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^\alpha} \frac{\partial^2 x^\alpha}{\partial x^{\mu'} \partial x^{\nu'}} + \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^\alpha} \frac{\partial x^\gamma}{\partial x^{\nu'}} \frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\mu'}} \Gamma^\alpha_{\beta \gamma}\]

ご覧のように、テンソルの変換のときにはつかなかった第一項が現れます。よってクリストッフェル記号はテンソルではありません。

演習問題: 共変微分されたベクトル成分はテンソルか？

\[\begin{aligned} \nabla_\mu' A^{\sigma'} &= \partial_{\mu'} A^{\sigma'} + A^{\nu'} \Gamma'^{\sigma}_{\mu \nu} = \partial_{\mu'} \left( \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\beta}} A^{\beta} \right) + \frac{\partial x^{\nu'}}{\partial x^{\rho}} A^{\rho} \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial^2 x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'} \partial x^{\nu'}} + \frac{\partial x^{\nu'}}{\partial x^{\rho}} A^{\rho} \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial x^{\nu'}} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\mu'}} \Gamma^{\alpha}_{\beta \gamma} \\ &= \partial_{\mu'} \left( \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\beta}} A^{\beta} \right) + \frac{\partial x^{\nu'}}{\partial x^{\rho}} A^{\rho} \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial^2 x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'} \partial x^{\nu'}} + \delta_\rho^\gamma A^\rho \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\mu'}} \Gamma^\alpha_{\beta \gamma} \end{aligned}\] \[\partial_{\mu'} \left( \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\beta}} A^{\beta} \right) = \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\beta}} A^\beta \right) =\frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial A^\beta}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\beta}} + \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial^2 x^{\sigma'}}{\partial x^{\alpha} \partial x^\beta} A^\beta\] \[\frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial^2 x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'} \partial x^{\nu'}} = \frac{\partial}{\partial x^{\mu'}} \left( \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}} \right) - \frac{\partial^2 x^{\sigma'}}{\partial x^{\mu} \partial x^\alpha} \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}} = - \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial^2 x^{\sigma'}}{\partial x^{\beta} \partial x^\alpha} \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}} = - \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial^2 x^{\sigma'}}{\partial x^{\beta} \partial x^\alpha} \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}}\]

以上より

\[\begin{aligned} \nabla'_\mu A^{\sigma'} &= \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial A^{\beta}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\beta}} + \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial^2 x^{\sigma'}}{\partial x^{\alpha} \partial x^\beta} A^\beta - \frac{\partial x^{\nu'}}{\partial x^{\rho}} A^\rho \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial^2 x^{\sigma'}}{\partial x^\beta \partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\nu'}} + A^\rho \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\mu'}} \Gamma^\alpha_{\beta \rho} \\ &= \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial A^{\beta}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\beta}} + \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial^2 x^{\sigma'}}{\partial x^\beta\partial x^{\alpha}} A^\rho - A^\rho \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial^2 x^{\sigma'}}{\partial x^\beta \partial x^{\alpha}} \beta_\rho^\alpha + A^\rho \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\beta}} \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'}} \Gamma^\beta_{\alpha \rho} \\ &= \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial A^{\beta}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\beta}} + A^\rho \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\beta}} \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'}} \Gamma^\beta_{\alpha \rho} = \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\beta}} (\partial_\alpha A^\beta+ A^\rho \Gamma^\beta_{\alpha \rho}) = \frac{\partial x^{\alpha}}{\partial x^{\mu'}} \frac{\partial x^{\sigma'}}{\partial x^{\beta}} \nabla_\alpha A^\beta \end{aligned}\]

よってこれは2階のテンソルです。

スカラー量の共変微分

基底ベクトルの微分がないので

\[\nabla_\mu \phi = \partial_\mu \phi\]

反変ベクトルの共変微分

\[\nabla_\mu (B^\nu A_\nu) = A_\nu (\nabla_\mu B^\nu) + B^\nu (\nabla_\mu A_\nu) = A_\nu (\partial_\mu B^\nu + \Gamma^\nu_{\gamma \mu} B^\gamma) + B^\nu (\nabla_\mu A_\nu) = A_\nu (\partial_\mu B^\nu) + A_\gamma \Gamma^\gamma_{\nu \mu} B^\nu + B^\nu (\nabla_\nu A_\nu)\]

一方で、スカラーの共変微分より

\[\nabla_\mu (B^\nu A_\nu) = \partial_\mu (B^\nu A_\nu) = B^\nu (\partial_\mu A_\nu) + A_\nu (\partial_\mu B^\nu)\] \[\therefore \ \nabla_\mu A_\nu = \partial_\mu A_\nu - A_\gamma \Gamma^\gamma_{\nu \mu}\]