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磁気流体慣性波 (Magnetohydrodynamic inertial waves)
慣性波の導出では重力と磁場を無視し、流体も非圧縮としました。ここでは磁場の影響も考慮した場合に、どのような波動が伝播するかを考察しましょう。音波の導出部分で用いた(20)式において\(g = \mathbf{k} \cdot \mathbf{v}_1 = 0\)とすると
\[\omega^2 \mathbf{v}_1 = -2i\omega \boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{v}_1 + v_A^2 [(\mathbf{k} \cdot \hat{\mathbf{B}}_0) \{(\mathbf{k} \cdot \hat{\mathbf{B}}_0) \mathbf{v}_1 - (\mathbf{v}_1 \cdot \hat{\mathbf{B}}_0) \mathbf{k}\}]\]です。ここで\(v_A = B_0 / \sqrt{4\pi \rho_0}\)はAlfvén速度です。両辺において\(\mathbf{k}\)との外積を取ると
\[\omega^2 \mathbf{k} \times \mathbf{v}_1 = -2 i \omega \mathbf{k} \times (\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{v}_1) + \underbrace{v_A^2 (\mathbf{k} \cdot \hat{\mathbf{B}}_0)^2}_{\equiv \omega_A^2} \mathbf{k} \times \mathbf{v}_1 = -2i \omega \{ \underbrace{(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}_1)}_{=0} \boldsymbol{\Omega} - (\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\Omega}) \mathbf{v}_1\} + \omega_A^2 \mathbf{k} \times \mathbf{v}_1\]と計算できるので、整理すると
\[(\omega^2 - \omega_A^2) \mathbf{k} \times \mathbf{v}_1 = 2i \omega (\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\Omega}) \mathbf{v}_1\]この両辺の大きさを取ると\(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}_1=0\)から\(\\| \mathbf{k} \times \mathbf{v}_1\\| = k v_1\)と書けるので
\[(\omega^2 - \omega^2_A) kv_1 = \pm 2 \omega (\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\Omega}) v_1 \ \Longrightarrow \ \omega^2 \mp \omega_I \omega - \omega_A^2 = 0 \tag{1}\]ここで\(\omega_I \equiv 2 (\mathbf{k} \cdot \boldsymbol{\Omega}) / k\)は慣性波の振動数です。(1)式の2次関数を解くにあたり、\(\omega_A, \omega_I\)の大きさで場合分けします。この2つの比は、\(\mathbf{k}, \boldsymbol{\Omega}, \mathbf{B}_0\)が平行なとき
\[\frac{\omega_A}{\omega_I} = \frac{v_A k}{2k\Omega/ k} = \frac{v_A k}{2 \Omega} \tag{2}\]\(\omega_A / \omega_I \gg 1\)の場合
太陽の場合、磁場がとても強く\(\omega_A / \omega_I \gg 1\)(磁場が支配的)であることが知られています。すると(1)式の解は
\[\omega^2 = \omega_A^2 \left( 1 \pm \frac{\omega_I}{\omega_A} \frac{\omega}{\omega_A} \right) \underbrace{\simeq}_{\omega \simeq \omega_A} \omega_A^2 \left( 1\pm \frac{\omega_I}{\omega_A} \right) \tag{3}\]のようになります。これはCoriolis力によってAlfvén波のモードがわずかに2つに分裂することを意味します。
\(\omega_A / \omega_I \ll 1\)の場合
今度は銀河円盤のように\(\omega_A / \omega_I \ll 1\)(回転が支配的)の場合を考えましょう。すると(1)式の解は
\[\begin{align} \omega &= \frac{\pm \omega_I \pm \sqrt{\omega_I^2 + 4\omega_A^2}}{2} = \frac{\pm \omega_I \pm \omega_I \sqrt{1 + 4\omega_A^2/\omega_I^2}}{2} \simeq \frac{\omega_I}{2} \left\{ \pm 1 \pm \left( \frac{2\omega_A^2}{\omega_I^2} \right)\right\} \notag \\ &= \omega_I + \frac{\omega_A^2}{\omega_I}, \frac{\omega_A^2}{\omega_I} \simeq \omega_I, \frac{\omega_A}{\omega_I} \omega_A \tag{4} \end{align}\]最初の解は普通の慣性波、そして2つ目の解は磁気流体慣性波(Magnetohydrodynamic inertial wave)と呼ばれ、普通のAlfven波よりも伝播速度がかなり遅いことがわかります。
参考文献
[1] Priest, “Solar Magnetohydrodynamics”
[2] 観山正見, 野本憲一, 二間瀬敏史, “天体物理学の基礎 II”