Table of contents

1. エルミート多項式 (Hermite polynomial)
   1. 級数表現
   2. 微分表現
   3. 多項式の直交性
   4. 漸化式
   5. エルミート多項式の具体的な形
2. 参考文献

エルミート多項式 (Hermite polynomial)

級数表現

母関数展開

$$\begin{array}{}\text{(1)}& e^{2z\omega -{\omega }^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n(z)}{n!}{\omega }^n\end{array}$$

のように定義される$H_n(z)$をエルミート多項式と呼びます。 この式の左辺は

$$\begin{array}{}\text{(2)}& e^{2z\omega -{\omega }^2}=e^{2z\omega }{e}^{-{\omega }^2}=\left(\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2z\omega {)}^{\ell }}{\ell !}\right)\left(\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-{\omega }^2{)}^m}{m!}\right)=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^m(2z{)}^{\ell }}{\ell !m!}{\omega }^{\ell +2m}\end{array}$$

のようにも計算されます。 ここで$\ell +2m=n(\ell =n-2m)$とおくことで、${\omega }^n$の形で整理を行いましょう。

$$\begin{array}{}\text{(3)}& e^{2z\omega -{\omega }^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=0}^{[n/2]}\frac{(-1{)}^m(2z{)}^{n-2m}}{(n-2m)!m!}{\omega }^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=0}^{[n/2]}\frac{(-1{)}^{m}n!(2z{)}^{n-2m}}{(n-2m)!m!}\frac{{\omega }^n}{n!}\end{array}$$

これを(1)式と比較すると

$$\begin{array}{}\text{(4)}& H_n(z)=\sum _{m=0}^{[n/2]}\frac{(-1{)}^{m}n!(2z{)}^{n-2m}}{(n-2m)!m!}\end{array}$$

のような級数表現を得ます。

微分表現

(1)式の左辺において、$z$を固定して$\omega$に関してテイラー展開を行います。 すると${\omega }^n/n!$の係数は

$$\begin{array}{rl}{H}_n(z)& ={\left[\frac{d^n}{d{\omega }^n}{e}^{2z\omega -{\omega }^2}\right]}_{\omega =0}=e^{z^2}{\left[\frac{d^n}{d{\omega }^n}{e}^{-(\omega -z{)}^2}\right]}_{\omega =0}\underset{u=\omega -z}{\underbrace{=}}{e}^{z^2}{\left[\frac{d^n}{d{u}^n}{e}^{-u^2}\right]}_{u=-z}=e^{z^2}\frac{d^n}{d(-z{)}^n}{e}^{-z^2}\\ \text{(5)}& & =(-1{)}^n{e}^{z^2}\frac{d^n}{d{z}^n}{e}^{-z^2}\end{array}$$

となり、微分系での表現も得ることができました。

多項式の直交性

直交性を考えるために、まずは以下の積分を計算しましょう。

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{2z\omega -{\omega }^2}{e}^{2zt-t^2}{e}^{-z^2}dz={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-(z-\omega -t{)}^2}{e}^{2t\omega }dz\underset{\mathrm{ガ}\mathrm{ウ}\mathrm{ス}\mathrm{積}\mathrm{分}}{\underbrace{=}}\sqrt{\pi }{e}^{2t\omega }=\sqrt{\pi }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2t\omega {)}^n}{n!}\end{array}$$

ここで、(1)式より

$$\begin{array}{}\text{(7)}& e^{2z\omega -{\omega }^2}{e}^{2zt-t^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n{H}_m}{n!m!}{\omega }^n{t}^m\end{array}$$

が得られることから、これを(6)式に代入します。

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\omega }^n{t}^m}{n!m!}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{H}_n{H}_m{e}^{-z^2}dz=\sqrt{\pi }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^n{\omega }^n{t}^n}{n!}=\sqrt{\pi }\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^n{\omega }^n{t}^m}{n!m!}m!{\delta }_{nm}\end{array}$$

両辺の$\omega ,t$のベキの係数を比較することで

$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{H}_n{H}_m{e}^{-z^2}dz=2^{n}n!\sqrt{\pi }{\delta }_{nm}\end{array}$$

という直交性が導かれます。

漸化式

エルミート多項式が満たす漸化式をいくつか証明しましょう。 (1)式の両辺を$z$微分したものより

$$\begin{array}{}\text{(10)}& 2\omega e^{2z\omega -{\omega }^2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n^{\prime }}{n!}{\omega }^n\end{array}$$

この左辺は

$$\begin{array}{}\text{(11)}& 2\omega e^{2z\omega -{\omega }^2}=2\omega \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n}{n!}{\omega }^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2H_n}{n!}{\omega }^{n+1}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2H_{n-1}}{(n-1)!}{\omega }^n\end{array}$$

のように変形されるので、${\omega }^n$の係数比較から

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \frac{H_n^{\prime }}{n!}=\frac{2H_{n-1}}{(n-1)!}⟹H_n^{\prime }=2n{H}_{n-1}(n\ge 1)\end{array}$$

を得ます。 さらに(1)式の両辺を$\omega$微分すると

$$\begin{array}{}\text{(13)}& 2(z-\omega )e^{2z\omega -{\omega }^2}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n}{(n-1)!}{\omega }^{n-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_{n+1}}{n!}{\omega }^n\end{array}$$

この最左辺は

$$\begin{array}{}\text{(14)}& 2(z-\omega )e^{2z\omega -{\omega }^2}=2z\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n}{n!}{\omega }^n-2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n}{n!}{\omega }^{n+1}=2z\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_n}{n!}{\omega }^n-2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_{n-1}}{(n-1)!}{\omega }^n\end{array}$$

のように変形されるので、${\omega }^n$の係数比較から

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \frac{H_{n+1}}{n!}=\frac{2z{H}_n}{n!}-\frac{2H_{n-1}}{(n-1)!}⟹H_{n+1}=2z{H}_n-2n{H}_{n-1}(n\ge 1)\end{array}$$

となります。
(5)式の両辺を$z$微分すると

$$\begin{array}{rl}{H}_n^{\prime }& =(-1{)}^{n}2z{e}^{z^2}\frac{d^n}{d{z}^n}{e}^{-z^2}+(-1{)}^2(-1{)}^n{e}^{z^2}\frac{d^{n+1}}{d{z}^{n+1}}{e}^{-z^2}\\ \text{(16)}& & =2z(-1{)}^n{e}^{z^2}\frac{d^n}{d{z}^n}{e}^{-z^2}-(-1{)}^{n+1}{e}^{z^2}\frac{d^{n+1}}{d{z}^{n+1}}{e}^{-z^2}=2z{H}_n-H_{n+1}\end{array}$$

となります。 さらに両辺を$z$微分すれば

$$\begin{array}{}\text{(17)}& H_n^{″}=2H_n+2z{H}_n^{\prime }-H_{n+1}^{\prime }\end{array}$$

を得ます。 そして(12)式より$H_{n+1}^{\prime }=2(n+1)H_n$を用いると

$$\begin{array}{}\text{(18)}& H_n^{″}=2H_n+2z{H}_n^{\prime }-2(n+1)H_n=2z{H}_n^{\prime }-2n{H}_n⟹H_n^{″}-2z{H}_n^{\prime }+2n{H}_n=0\end{array}$$

を導くことができます。 これをエルミートの微分方程式と呼びます。

エルミート多項式の具体的な形

以下に、いくつかのエルミート多項式の具体的な形を示します。

$$\begin{array}{rl}& H_0(z)=1,H_1(z)=2z,H_2(z)=4z^2-2,H_3(z)=8z^3-12z,\\ \text{(19)}& & H_4(z)=16z^4-48z^2+12,H_5(z)=32z^5-160z^3+120z\end{array}$$

また、いくつかのエルミート多項式を可視化したものを示します。

さらにより馴染みのあるものとして、量子力学の1次元調和振動子の固有関数を可視化してみました。 調和振動子ポテンシャル中における粒子の波動関数は、以下のように書けます。

$$\begin{array}{}\text{(20)}& {\varphi }_n(\xi )=\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!\sqrt{\pi }}}{H}_n(\xi )e^{-{\xi }^2/2}\end{array}$$

規格化定数は、先程の直交性(9)式から求めることができます。

この描画に用いたJuliaスクリプトを以下に示します。

using SpecialPolynomials
using Plots
gr()

# set z-coordinate
len_z = 200
min_z = -5.0
max_z = 5.0
array_z = range(min_z, max_z, length=len_z)
# set empty plot
plt = plot()
for n in 0:4
    # make Hermite polynomial basis for specific n
    h = Basis(Hermite, n)
    # compute wavefunction of 1-d harmonic oscillator
    psi = 1.0 / sqrt(sqrt(pi)*2^n*factorial(n)) .* h.(array_z) .* exp.(-array_z.^2 / 2)
    # make string for plot label
    index = "n = " * string(n)
    # compute Hermite polynomial and make plots
    plot!(plt, array_z, psi, linewidth=3, xlims=(min_z, max_z), ylims=(-1.0, 1.0), xlabel="z", label=index)
end
# save plot figure
savefig("hermite_02.png")

参考文献

[1] 田島, 近藤, “改訂演習工科の数学4, 複素関数”
[2] 中山, “裳華房フィジックスライブリー, 物理数学II”
[3] 福山, 小形, “基礎物理学シリーズ3, 物理数学I”
[4] 猪木慶治, 川合光, “量子力学 I”