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ロバートソン・ウォーカー計量
宇宙論・天体物理学・天文学でよく知られている一様等方宇宙モデルの計量です。
メトリックとクリストッフェル記号
3次元の微小線素の2乗を
\[d\ell^2 = e^{\lambda (r)} dr^2 + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2)\]とします。このとき
\[g_{rr} = e^{\lambda}, \ g_{\theta \theta} = r^2, \ g_{\varphi \varphi} = r^2 \sin^2 \theta, \ g_{ij} = 0 \ (i\neq j)\]より
\[g^{rr} = e^{-\lambda}, \ g^{\theta \theta} = r^{-2}, \ g^{\varphi \varphi} = 1/ (r^2 \sin^2 \theta), \ g^{ij} = 0 \ (i\neq j)\]です。この計量からクリストッフェル記号を計算しましょう。すると
\[\Gamma^{r}_{rr} = \frac{1}{2} \frac{d\lambda}{dr}, \ \Gamma^{r}_{\theta \theta} = -r e^{-\lambda}, \ \Gamma^{r}_{\varphi \varphi} = -r e^{-\lambda} \sin^2 \theta\] \[\Gamma^{\theta}_{r\theta} = \frac{1}{r} , \ \Gamma^{\theta}_{\theta r} = \frac{1}{r}, \ \Gamma^{\theta}_{\varphi \varphi} = -\sin \theta \cos \theta\] \[\Gamma^{\varphi}_{r\varphi} = \frac{1}{r} , \ \Gamma^{\varphi}_{\varphi r} = \frac{1}{r}, \ \Gamma^{\varphi}_{\varphi \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}, \ \Gamma^{\varphi}_{\theta \varphi} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}\]のようになります。上述のもの以外の成分は0です。
リーマンテンソルとリッチテンソル
これらから、リッチテンソルを求めるためのリーマンテンソルは
\[R^{r}_{\ rrr} = 0, \ R^{\theta}_{\ r\theta r} = \frac{1}{2r} \frac{d\lambda}{dr}, \ R^{\varphi}_{\ r\varphi r} = \frac{1}{2r} \frac{d\lambda}{dr}\] \[R^{\theta}_{\ \theta \theta \theta} = 0, \ R^{r}_{\ \theta r \theta} = \frac{1}{2} r e^{-\lambda} \frac{d\lambda}{dr}, \ R^{\varphi}_{\ \theta \varphi \theta} = -e^{-\lambda} + 1\]よってリッチテンソルは
\[R_{rr} = \frac{1}{r} \frac{d\lambda}{dr}, \ R_{\theta \theta} = 1- e^{\lambda} + \frac{1}{2} r e^{-\lambda} \frac{d\lambda}{dr}\]アインシュタイン方程式
アインシュタイン方程式より\(R_{ij} = 2Kg_{ij}\)から
\[R_{rr} = \frac{1}{r} \frac{d\lambda}{dr} = 2Ke^{\lambda} \ \Longrightarrow \ \frac{d\lambda}{dr} = 2rKe^{\lambda}\] \[R_{\theta \theta} = 1-e^{-\lambda} + \frac{1}{2} r e^{-\lambda} 2rKe^{\lambda} = 2Kr^2 \ \Longrightarrow \ e^{-\lambda} = 1-Kr^2\] \[\therefore \ d\ell^2 = \frac{dr^2}{1-Kr^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2)\]となります。
Kの意味
ここで\(\theta = \pi/2\)での半径\(r={\rm Const}\), \(\varphi = 0-2\pi\)の長さを考えてみましょう。
\[\ell = \int_0^{2\pi} ds (r={\rm Const}) = \int_0^{2\pi} r d\varphi = 2\pi r\]よって\(\theta = \pi/2\)での\(\varphi={\rm Const}\), \(0-r\)までの距離は
\[D = \int_0^r ds(\varphi = {\rm Const}) = \int_0^r \frac{dr}{\sqrt{1-Kr^2}} = \left\{ \begin{array}{lc} \sin^{-1} r & (K=1) \\ r & (K=0) \\ \sinh^{-1} r & (K=-1) \\ \end{array} \right.\]以上より
\[\ell = 2\pi r = \left\{ \begin{array}{lc} 2\pi \sin D < 2\pi D & (\mathrm{closed \ space}) \\ 2\pi D & (\mathrm{flat \ space}) \\ 2\pi \sinh D > 2\pi D & (\mathrm{open \ space}) \end{array} \right.\]のようになっていることから、\(K\)は空間の曲率を表していることがわかります。
ロバートソン・ウォーカー計量
共動座標を\(x^i\)(ただし\(i=1, 2, 3\))で、宇宙空間にいる各銀河は\(x^i = {\rm Const}(dx^i = 0)\)で動かないとします。\(t\)を固有時間\(\tau\)にとると
\[ds^2 = -c^2 d\tau^2 = g_{00} dt^2\]となるので\(g_{00} = -1\)とわかります。
そして各銀河の測地線方程式から
とわかるので
\[\Gamma^{i}_{00} =\frac{1}{2} g^{i\alpha} (2g_{\alpha 0, 0} - g_{00, \alpha}) = g^{i0} \underbrace{g_{00, 0}}_{=0} + g^{ij} g_{j0, 0} = 0\]\(g_{i0} = 0\)ならば、上の等式が成り立つことが直ちにわかります(これは時空が一様等方という要請から来るものと考えることができます。もし\(g_{i 0} \neq 0\)だと、これは座標によって時間の流れが異なるような宇宙を考えていることになり、一様等方ではない宇宙を考えることになります。ブラックホール周辺のような強い重力場の場合には\(dt dr\)などの項も考える必要が出てくるでしょう)。よって最終的に求めたかったロバートソン・ウォーカー計量は
\[ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2(t) \left( \frac{dr^2}{1-Kr^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta d\varphi^2) \right)\]となります。途中の議論からも分かる通り、これは一様等方な宇宙モデルです。