重力波

アインシュタイン方程式から予言されるものです。最終的に、ある方向に光速\(c\)で伝搬する波動方程式を求めます。

計量テンソル

時空に摂動が加わり、計量テンソルが

\[(g_{\mu \nu}) = \left( \begin{array}{cccc} -1 && && && {\bf 0} \\ && 1+E_+ && && \\ && && 1-E+ && \\ {\bf 0} && && && 1 \end{array} \right) , \ (g^{\mu \nu}) = \left( \begin{array}{cccc} -1 && && && {\bf 0} \\ && 1 && && \\ && && 1 && \\ {\bf 0} && && && 1 \end{array} \right)\]

のように変化したとしましょう。ここで摂動は\(E_+ = \hat{E}_+ e^{i(\omega t -kz)}\)のように\(z\)方向に伝わる波動の形をしているとします。

クリストッフェル記号の計算

\[\Gamma^\mu_{\alpha \beta} = \frac{1}{2} g^{\mu \gamma} (g_{\gamma \alpha, \beta}+ g_{\gamma \beta, \alpha}- g_{\alpha \beta, \gamma})\]

より

\[\Gamma^0_{0 \beta} = \frac{1}{2} g^{00} (g_{00, \beta}+ g_{0 \beta, 0}- g_{0 \beta, 0}) = 0\] \[\Gamma^0_{1 1} = \frac{1}{2} g^{00} (g_{01,1}+ g_{0 1, 1}- g_{11, 0}) = -\frac{1}{2} g^{00} g_{11, 0} = \frac{1}{2} E_{+, 0}\] \[\Gamma^0_{11} = - \frac{1}{2} g^{00} g_{22, 0} = - \frac{1}{2} E_{+, 0}\] \[\Gamma^0_{33} = 0\] \[\Gamma^0_{ij} = 0 \ (i \neq j)\] \[\Gamma^1_{0 0} = \frac{1}{2} g^{11} (g_{10, 0}+ g_{10, 0}- g_{00, 1}) = 0\] \[\Gamma^1_{1 0} = \frac{1}{2} g^{11} (g_{11, 0}+ g_{10, 1}- g_{10, 1}) = \frac{1}{2}g^{11} g_{11, 0} = \frac{1}{2} E_{+, 0}\] \[\Gamma^1_{11} = \Gamma^1_{12} = 0\] \[\Gamma^1_{13} = \frac{1}{2} g^{11} g_{11,3} = \frac{1}{2} E_{+, 3}\] \[\Gamma^1_{20} = \Gamma^1_{22} = \Gamma^1_{23} = 0\] \[\Gamma^1_{30} = \Gamma^1_{33} = 0\] \[\Gamma^2_{00} = \Gamma^2_{10} = \Gamma^2_{30} = \Gamma^2_{11} = \Gamma^2_{12} = \Gamma^2_{13} = 0\] \[\Gamma^2_{20} = \frac{1}{2} g^{22}g_{22,0} = -\frac{1}{2} E_{+, 0}\] \[\Gamma^2_{22} = 0\] \[\Gamma^2_{23} = \frac{1}{2} g^{22} g_{22, 3} = - \frac{1}{2} E_{+, 3}\] \[\Gamma^3_{00} = \Gamma^3_{10} = \Gamma^3_{20} = \Gamma^3_{30} = \Gamma^3_{3i} = 0\] \[\Gamma^3_{11} = - \frac{1}{2} g^{33} g_{11, 3} = -\frac{1}{2} E_{+, 3}\] \[\Gamma^3_{12} = \Gamma^3_{13} = 0\] \[\Gamma^3_{22} = -\frac{1}{2} g^{33} g_{22, 3} = \frac{1}{2} E_{+, 3}\] \[\Gamma^3_{23} = \Gamma^3_{33} = 0\]

リッチテンソルの計算

以上より

\[R_{00} = \Gamma^\mu_{00, \mu} - \Gamma^\mu_{0\mu, 0} = -\frac{1}{2} E_{+,00} + \frac{1}{2} E_{+, 00} = 0\] \[R_{11} = \Gamma^\mu_{11, \mu} - \Gamma^\mu_{1\mu, 1} = \frac{1}{2} E_{+, 00} - \frac{1}{2} E_{+, 33}\] \[R_{22} = \Gamma^\mu_{22, \mu} - \Gamma^\mu_{2\mu, 2} = -\frac{1}{2} E_{+, 00} + \frac{1}{2} E_{+, 33}\] \[R_{33} = \Gamma^\mu_{33, \mu} - \Gamma^\mu_{3\mu, 3} = - \frac{1}{2} E_{+, 33} + \frac{1}{2} E_{+, 33} = 0\] \[R = g^{\mu \nu} R_{\mu \nu} = R^\mu_{\ \mu} = 0\]

アインシュタイン方程式から波動方程式の導出

これらより、アインシュタインテンソルは

\[G_{11} = R_{11} - \frac{1}{2} g_{11} R = \frac{1}{2} E_{+, 00} - \frac{1}{2} E_{+, 33}\]

今、物質は存在しない真空中を考えると、\(T^{\mu \nu} = 0\)よりアインシュタイン方程式は

\[\left( \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} -\frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) E_{+} = 0\]

これは光速度\(c\)で真空中を伝播する波を表す波動方程式です。真空中を光速度\(c\)で伝搬する時空の摂動を重力波と呼びます。

考察

重力波ではリッチスカラーは\(R=0\)となります。すなわち、重力波はスカラー曲率を伴わない、ベクトル揺らぎかテンソル揺らぎであることを示唆しています。