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4.7.1 Spherical Gray Atmosphere
吸収係数と散乱係数が光の波長に依存しないGray atmosphereの仮定の下では、(4.32)式と(4.34)式は
\[\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} (r^2 F) = 4\pi \rho (\kappa + \sigma) (S-J) \underbrace{=}_{輻射平衡} 0 \tag{4.35}\] \[\frac{d}{dr} (fJ) + \frac{3f-1}{r} J = - \frac{\kappa + \sigma}{4\pi} F \tag{4.36}\]となります。(4.35)式は積分できて
\[r^2 F = {\rm Const.} = \frac{L}{4\pi} \tag{4.37}\]が得られます。大気の厚さが厚いときはFlux \(F\)ではなく、Luminosity \(L = 4\pi r^2 F\)が一定となります。
\(d\tau = - \rho (r) [\kappa(r) + \sigma(r)] dr\)より、十分遠方\(R_0\)から積分したOptical depth \(\tau (r)\)を
のように定義しましょう。十分深い場所(\(r \ll R_0, \tau \gg 1\))では、放射が等方的になるため\(f \rightarrow 1/3\)となります(Eddington近似)。このとき(4.36)式は
\[\frac{1}{3} \frac{dJ}{dr} = -\frac{\kappa + \sigma}{4\pi} \rho F \ \Longrightarrow \ \frac{dJ}{d\tau} = \frac{3}{(4\pi)^2} \frac{L}{r^2} \tag{4.39}\]となります。これを積分して
\[J (\tau) = \frac{L}{(4\pi)^2} \left( 3 \int_0^\tau \frac{d\tau'}{r^2} + C\right) \tag{4.40}\]が得られます。積分定数を得るために、適用範囲外ですが\(\tau = 0\)で\(I(\mu) = I_0, \ 0 \leq \mu \leq 1; \ I(\mu) = 0, -1 \leq \mu <0\)であると仮定しましょう。すると
\[J(0) = \frac{1}{4\pi} \int_{4\pi} I d\Omega = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 I d\mu = \frac{1}{2} \int_0^1 I_0 d\mu = \frac{1}{2} I_0\] \[F(0) = \int_{4\pi} \mu I d\Omega = 2\pi \int_0^1 \mu I_0 d\mu = \pi I_0\]より
\[J(0) = \frac{F(0)}{2\pi} = \frac{L}{8\pi^2 R_0^2} \tag{4.41}\]となります。この関係を(4.40)式に用いると\(C = \frac{2}{R_0^2}\)となるので、(4.40)式は
\[J(\tau) = \frac{L}{(4\pi R_0^2)} \left\{ 3 \int_0^\tau \left( \frac{R_0}{r}\right)^2 d\tau' + 2\right\} \tag{4.42}\]となります。\(L = 4\pi \sigma R^2 T_{\rm{eff}}^4\) (\(R\)は光球の半径)と書き、LTEを仮定しましょう。そして、\(J = B = \frac{caT^4}{4\pi} = \frac{\sigma T^4}{\pi}\)と書くと、温度の関係
\[T^4 (\tau) = \frac{3}{4} T_{\rm{eff}}^4 \left( \frac{R}{R_0}\right)^2 \left\{ \int_0^\tau \left( \frac{R_0}{r}\right)^2 + \frac{2}{3} \right\} \tag{4.43}\]が得られます。これはPlane-parallelの仮定のもとでの関係(2.66)式に対応するものです。(4.43)式を\(R_0 \rightarrow R, R/r \rightarrow 1\)とすると(2.26)式に一致します。
今度は上の場合とは逆に\(\tau \ll 1\)を考えましょう。このとき放射はほとんど外向きであると考えられるので、\(I (r, \mu)\)は\(\mu=1\)の方向にだけ値があるとすると
となります。これらを(4.36)式に代入すると
\[\frac{dJ}{dr} + \frac{2}{r} J = - \frac{\kappa + \sigma}{4\pi} \rho F \ \Longrightarrow \ \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} (r^2 J) = - \frac{\kappa + \sigma}{4\pi} \rho \frac{L}{4\pi r^2} \ \Longrightarrow \ \frac{d}{dr} (r^2 J) = - \frac{\kappa + \sigma}{(4\pi)^2} \rho L \tag{4.45}\]となります。これは積分できて
\[J(\tau) = \frac{L}{(4\pi)^2 r^2} (\tau + C) \tag{4.46}\]を得ます。(4.44)の状況のもとでは
\[F(\tau) = \int_{4\pi} \mu I d\Omega = 4\pi J(\tau)\]より
\[J(0) = \frac{L}{(4\pi)^2 R_0^2} C = \frac{F(0)}{4\pi} = \frac{1}{4\pi} \frac{L}{4\pi R_0^2} \ \Longrightarrow \ C = 1\]したがって
\[J(\tau) = \frac{L}{(4\pi)^2 r^2} (\tau + 1) \tag{4.47}\]が得られます。LTEを仮定して\(J(\tau) = B(\tau)\)とすると、\(L = 4\pi R^2 \sigma T_{\rm{eff}}^4, B(\tau) = \frac{\sigma T^4}{\pi}\)より
\[T(\tau)^4 = \frac{1}{4} T_{\rm{eff}}^4 \left( \frac{R}{r} \right)^2 (\tau + 1) \tag{4.48}\]となります。Plane-parallelの場合と異なり、この場合は\(\tau \rightarrow 0 \ (r \rightarrow R_0 \gg R)\)で\(T \rightarrow 0\)となります。