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ヘリウムフラッシュ
質量が\(\sim 2 M_\odot\)より小さな恒星では、主系列段階後、ヘリウムからなる中心部の質量がその周りで起こる水素殻燃焼により大きくなっていきます。 それに伴い、中心の温度が上昇していきます。 ヘリウム中心核質量が\(\sim 0.5 M_odot\)のように十分に大きくなり、中心付近でヘリウム燃焼の点火が起こるほど高温(\(\sim 10^8 \mathrm{K}\))になると、中心核内の電子は縮退した状態になります。 縮退した電子ガスでは、電子縮退圧がイオン(理想気体)の分圧に比べて非常に大きいため、ガスの圧力の温度依存性が弱くなっています。 この状態でヘリウムから炭素が融合される反応が起こり、エネルギーが発生しはじめるときを考えましょう。 エネルギーが発生しガス温度が上昇しても、縮退電子ガスの圧力は温度依存性の弱さから大きくならず、そのまま高温状態が保たれ続けます。 これにより核融合反応が暴走し、フラッシュが起こります。 これをヘリウムフラッシュ (helium flash)と呼びます。 これは恒星で起こる熱的不安定性の1つです。
以下では、恒星の構造の熱的安定性を調べることで、ヘリウムフラッシュがどのような理由で起こるかを調べてみましょう。
基礎方程式とその線形化
熱的な時間スケールは自由落下時間に比べて十分長いため、静水圧平衡が十分良い近似で成り立つとします。 輻射と電子熱伝導によりエネルギーが輸送される場合の恒星の構造を記述する方程式は、以下のようになります。
\[\frac{d\ln P}{dM_r} = - \frac{GM_r}{4\pi r^4 P} \tag{8.5.1}\] \[\frac{d\ln r}{dM_r} = \frac{1}{4\pi r^3 \rho} \tag{8.5.2}\] \[\frac{d\ln T}{dM_r} = - \frac{L_r}{16 \pi^2 r^4} \frac{3\kappa}{4ac T^4} \tag{8.5.3}\] \[\frac{d\ln L_r}{dM_r} = \frac{1}{L_r} \left( \epsilon_\mathrm{n} - T \frac{\partial S}{\partial t}\right) \tag{8.5.4}\]構造の熱的安定性を調べるために、これらの式にラグランジュ的(\(M_r\)を一定とした)な摂動\(\Delta f\)を加えましょう。 ゆらぎが加わらない状態の構造が平衡状態\(\left( \frac{\partial S}{\partial t} = 0\right)\)であると仮定し、ゆらぎの量の時間依存性を
\[\Delta f \propto e^{st} \tag{8.5.5}\]のように書くことにします。 この定式化において、\(s > 0\)の場合は不安定、\(s<0\)は安定であることを意味します。
\[\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial M_r} \ln (P + \Delta P) &= \frac{\partial}{\partial M_r} \ln \left\{ P \left( 1 + \frac{\Delta P}{P}\right) \right\} = \frac{d}{d M_r} \ln P + \frac{\partial }{\partial M_r} \ln \left( 1 + \frac{\Delta P}{P}\right) \\ &\approx \frac{d}{dM_r} \ln P + \frac{d}{dM_r} \left( \frac{\Delta P}{P}\right) \end{aligned}\]途中、\(\frac{d}{dM_r} \rightarrow \frac{\partial}{\partial M_r}\)としたのは、摂動量は\(\Delta P (M_r, t)\)のように時間にも依存する量であるためです。
\[\begin{aligned} - \frac{GM_r}{4\pi (r+\Delta r)^4 (P + \Delta P)} &= - \frac{GM_r}{4\pi r^4 P} \left( 1 + \frac{\Delta r}{r}\right)^{-4} \left( 1 + \frac{\Delta P}{P}\right)^{-1} \approx - \frac{GM_r}{4\pi r^4 P} \left( 1 -4 \frac{\Delta r}{r}\right) \left( 1 - \frac{\Delta P}{P}\right) \\ &\approx - \frac{GM_r}{4\pi r^4 P} \left( 1 -4 \frac{\Delta r}{r} - \frac{\Delta P}{P}\right) \end{aligned}\]この2つより
\[\begin{align} &\frac{d}{dM_r} \ln P + \frac{\partial }{\partial M_r} \left( \frac{\Delta P}{P}\right) = - \frac{GM_r}{4\pi r^4 P} \left( 1 -4 \frac{\Delta r}{r} - \frac{\Delta P}{P}\right) \notag \\ & \underbrace{\Longrightarrow}_{(8.5.1)} \ \frac{\partial }{\partial M_r} \left( \frac{\Delta P}{P}\right) = \underbrace{\frac{GM_r}{4\pi r^4 P}}_{(8.5.1)} \left( 4 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta P}{P}\right) = - \frac{d \ln P}{dM_r} \left( 4 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta P}{P}\right) \tag{8.5.6} \end{align}\]を得ます。 次に
\[\frac{d}{dM_r} \ln (r + \Delta r ) \approx \frac{d}{dM_r} \ln r + \frac{d}{dM_r} \left( \frac{\Delta r}{r} \right)\] \[\begin{aligned} \frac{1}{4\pi (r+\Delta r)^3 (\rho + \Delta \rho)} &= \frac{1}{4\pi r^3 \rho} \left( 1 + \frac{\Delta r}{r} \right)^{-3} \left( 1 + \frac{\Delta \rho}{\rho} \right)^{-1} \approx \frac{1}{4\pi r^3 \rho} \left( 1 - 3 \frac{\Delta r}{r} \right) \left( 1 - \frac{\Delta \rho}{\rho} \right) \\ &\approx \frac{1}{4\pi r^3 \rho} \left( 1 - 3 \frac{\Delta r}{r} - \frac{\Delta \rho}{\rho}\right) \end{aligned}\]より
\[\begin{align} &\frac{d}{dM_r} \ln r + \frac{d}{dM_r} \left( \frac{\Delta r}{r} \right) = \frac{1}{4\pi r^3 \rho} \left( 1 - 3 \frac{\Delta r}{r} - \frac{\Delta \rho}{\rho}\right) \notag \\ &\underbrace{\Longrightarrow}_{(8.5.2)} \ \frac{d}{dM_r} \left( \frac{\Delta r}{r} \right) = - \underbrace{\frac{1}{4\pi r^3 \rho}}_{(8.5.2)} \left( 3 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta \rho}{\rho}\right) = - \frac{d \ln r}{dM_r} \left( 3 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta \rho}{\rho}\right) \tag{8.5.7} \end{align}\]となります。 (8.5.3)式の線形化では、吸収係数\(\kappa\)が\(\rho, T\)の関数であることを考慮しなければなりません。 そこで
\[\begin{aligned} \kappa (\rho + \Delta \rho, T + \Delta T) &\approx \kappa (\rho, T) + \left( \frac{\partial \kappa}{\partial \rho} \right)_{T} \Delta \rho + + \left( \frac{\partial \kappa}{\partial T} \right)_{\rho} \Delta T \\ &= \kappa + \frac{\kappa}{\rho} \left( \frac{\partial \ln \kappa}{\partial \ln \rho}\right)_T \Delta \rho + \frac{\kappa}{T} \left( \frac{\partial \ln \kappa}{\partial \ln T}\right)_\rho \Delta T \equiv \kappa \left( 1 + \kappa_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} + \kappa_T \frac{\Delta T}{T} \right) \end{aligned}\]のように変形しておきましょう。 すると
\[\frac{d}{dM_r} \ln (T + \Delta T) \approx \frac{d \ln T}{dM_r} + \frac{d}{dM_r} \left(\frac{\Delta T}{T} \right)\] \[\begin{aligned} - \frac{L_r + \Delta L_r}{16\pi^2 (r+\Delta r)^4} \frac{3 \kappa (\rho + \Delta \rho, T + \Delta T)}{4ac (T+\Delta T)^4} &= - \frac{L_r\left(1 + \frac{\Delta L_r}{L_r} \right)}{16 \pi^2 r^4} \left( 1 + \frac{\Delta r}{r}\right)^{-4} \frac{3\kappa \left( 1 + \kappa_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} + \kappa_T \frac{\Delta T}{T} \right)}{ 4ac T^4 } \left( 1 + \frac{\Delta T}{T} \right)^{-4} \\ &\approx -\frac{L_r}{16 \pi^2 r^4} \frac{3\kappa}{4ac T^4} \left( 1 + \frac{\Delta L_r}{L_r}\right) \left( 1 - 4\frac{\Delta r}{r} \right) \left( 1 + \kappa_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} + \kappa_T \frac{\Delta T}{T}\right) \left( 1 - 4\frac{\Delta T}{T}\right) \\ & \approx - \frac{L_r}{16 \pi^2 r^4} \frac{3\kappa}{4ac T^4} \left(1- 4\frac{\Delta r}{r} + \kappa_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} + \kappa_T \frac{\Delta T}{T} - 4 \frac{\Delta T}{T} - \frac{\Delta L_r}{L_r} \right) \end{aligned}\]より
\[\begin{align} &\frac{d \ln T}{dM_r} + \frac{d}{dM_r} \left(\frac{\Delta T}{T} \right) = - \frac{L_r}{16 \pi^2 r^4} \frac{3\kappa}{4ac T^4} \left(1- 4\frac{\Delta r}{r} + \kappa_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} + \kappa_T \frac{\Delta T}{T} - 4 \frac{\Delta T}{T} + \frac{\Delta L_r}{L_r} \right) \notag \\ &\underbrace{\Longrightarrow}_{(8.5.3)} \ \frac{d}{dM_r} \left(\frac{\Delta T}{T} \right) = \underbrace{- \frac{L_r}{16 \pi^2 r^4} \frac{3\kappa}{4ac T^4}}_{(8.5.3)} \left(- 4\frac{\Delta r}{r} + \kappa_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} + \kappa_T \frac{\Delta T}{T} - 4 \frac{\Delta T}{T} + \frac{\Delta L_r}{L_r} \right) \notag \\ & \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = \frac{d\ln T}{dM_r} \left\{ \frac{\Delta L_r}{L_r} + (\kappa_T - 4) \frac{\Delta T}{T} + \kappa_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} - 4\frac{\Delta r}{r} \right\} \tag{8.5.8} \end{align}\]と整理されます。 同様に
\[\epsilon_\mathrm{n}(\rho + \Delta \rho, T + \Delta T) \approx \epsilon_\mathrm{n} \left( 1 + \epsilon_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} + \epsilon_T \frac{\Delta T}{T} \right) \quad \left( \epsilon_\rho \equiv \left( \frac{\partial \ln \epsilon_\mathrm{n}}{\partial \ln \rho}\right)_T, \epsilon_T \equiv \left( \frac{\partial \ln \epsilon_\mathrm{n}}{\partial \ln T}\right)_\rho \right)\]のように変形しておくと
\[\frac{\partial}{\partial M_r} \ln (L_r + \Delta L_r) \approx \frac{d \ln L_r}{dM_r} + \frac{\partial}{\partial M_r} \left( \frac{\Delta L_r}{L_r}\right)\] \[\begin{aligned} &\frac{1}{L_r + \Delta L_r} \left\{ \epsilon_\mathrm{n} \left( 1 + \epsilon_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} + \epsilon_T \frac{\Delta T}{T} \right) - (T+\Delta T) \frac{\partial}{\partial t} (S+\Delta S)\right\} \\ &\approx \frac{1}{L_r} \left( 1 - \frac{\Delta L_r}{L_r}\right) \left\{ \epsilon_\mathrm{n} - T \frac{\partial S}{\partial t} + \epsilon_\mathrm{n} \left(\epsilon_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} + \epsilon_T \frac{\Delta T}{T} \right) - \Delta T \frac{\partial S}{\partial t} - T \frac{\partial \Delta S}{\partial t}\right\} \\ &\approx \frac{1}{L_r} \left( \epsilon_\mathrm{n} - T \frac{\partial S}{\partial t} \right) + \frac{1}{L_r} \left\{ \epsilon_\mathrm{n} \left(\epsilon_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} + \epsilon_T \frac{\Delta T}{T} \right) - \Delta T \frac{\partial S}{\partial t} - T \frac{\partial \Delta S}{\partial t}\right\} - \frac{\Delta L_r}{L_r^2} \left( \epsilon_\mathrm{n} - T \frac{\partial S}{\partial t} \right) \end{aligned}\]そして\(\frac{\partial S}{\partial t} = 0, \Delta S \propto e^{st}\)であることを用いれば
\[\begin{align} &\frac{d \ln L_r}{dM_r} + \frac{\partial}{\partial M_r} \left( \frac{\Delta L_r}{L_r}\right) = \frac{1}{L_r} \left( \epsilon_\mathrm{n} - T \frac{\partial S}{\partial t} \right) + \frac{1}{L_r} \left\{ \epsilon_\mathrm{n} \left(\epsilon_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} + \epsilon_T \frac{\Delta T}{T} \right) - T s \Delta S \right\} - \frac{\Delta L_r}{L_r^2} \epsilon_\mathrm{n} \notag \\ &\Longrightarrow \ \frac{\partial}{\partial M_r} \left( \frac{\Delta L_r}{L_r}\right) = \frac{\epsilon_\mathrm{n}}{L_r} \left( \epsilon_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} + \epsilon_T \frac{\Delta T}{T} - \frac{\Delta L_r}{L_r}\right) - \frac{Ts}{L_r} \Delta S \tag{8.5.9} \end{align}\]を得ます。 これらの式に状態方程式\(P(\rho, T)\)から
\[P (\rho + \Delta \rho, T + \Delta T) \approx P \left( 1 + \chi_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} + \chi_T \frac{\Delta T}{T} \right) \quad \left( \chi_\rho \equiv \left( \frac{\partial \ln P}{\partial \ln \rho}\right)_T, \chi_T \equiv \left( \frac{\partial \ln P}{\partial \ln T}\right)_\rho \right)\]のようになりますが、左辺は\(P (\rho + \Delta \rho, T + \Delta T) = P (\rho, T)+ \Delta P\)のようにも書けるため、最終的に
\[\frac{\Delta P}{P} = \chi_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} + \chi_T \frac{\Delta T}{T} \tag{8.5.10}\]となります。 そしてエネルギー保存の式から
\[T \Delta S = C_V \Delta T - \frac{P \chi_T}{\rho} \frac{\Delta \rho}{\rho} \tag{8.5.11}\]の関係がわかります。 これにより、\(\Delta r, \Delta P, \Delta \rho, \Delta T, \Delta L_r, \Delta S\)の6つの変数に対して、6つの方程式を得ることができました。
そして恒星の中心および恒星外縁での境界条件は
のように設定できます。 最後の関係は、黒体輻射の関係 \(L \propto R^2 T^4\)の一次の摂動までを考慮したものです。 これらの境界条件のもとで、上述の微分方程式は固有値を\(s\)とする固有値問題として数値的に解くことができます。 そして正の値の固有値が存在するとき、その構造は熱的に不安定であり、熱的暴走が起こります。
相同な摂動 (homologous perturbations)
ここでは解析的に扱えるように、摂動\(\Delta f\)が相同、すなわち
\[\frac{d}{dM_r} \left( \frac{\Delta f}{f}\right) = 0 \tag{8.5.12}\]としましょう。 この仮定のもとでは、(8.5.6), (8.5.7)式から
\[\frac{\Delta r}{r} = - \frac{1}{4} \frac{\Delta P}{P} = - \frac{1}{3} \frac{\Delta \rho}{\rho} \tag{8.5.13}\]となります。 これと状態式(8.5.10)を用いると
\[\frac{\Delta T}{T} = \frac{4-3 \chi_\rho}{3\chi_T} \frac{\Delta \rho}{\rho} \tag{8.5.14}\]となります。 さらに(8.5.11)式を用いれば
\[T \Delta S = C_V \Delta T - \frac{P \chi_T}{\rho} \frac{3\chi_T}{4-3\chi_\rho} \frac{\Delta T}{T} = \left( C_V - \frac{P}{\rho T} \frac{3\chi_T^2}{4-3\chi_\rho}\right) \Delta T \equiv C_\ast \Delta T \tag{8.5.15}\]という関係を得ることができます。 この関係式は、\(C_\ast\)が恒星の比熱に相当する量であることを示しています。 \(C_\ast\)の正負は、ガスが縮退しているかどうかで異なります。 輻射圧と理想気体ガス圧からなる系では、\(P_\mathrm{gas} / P = \beta\)のように書くと
\[\chi_T = 4 - 3\beta, \quad \chi_\rho = \beta, \quad e_i = \frac{3 k_B N_\mathrm{A} }{2\mu} T + \frac{a T^4}{\rho}, \quad C_V = \left( \frac{\partial e_i}{\partial T}\right)_\rho = \frac{3P_\mathrm{gas}}{2\rho T} + \frac{12 P_\mathrm{rad}}{\rho} = \frac{3P}{2\rho T} (8-7\beta)\]となります。 したがって
\[C_\ast = \frac{3P}{2\rho T} (8-7\beta) - 3 (4-3\beta) \frac{P}{\rho T} = - \frac{3 \beta P}{2\rho T} = - \frac{3k_B N_\mathrm{A}}{2\mu}\]とわかります。 これは、理想気体と輻射圧の状態方程式のもとでは、恒星が負の比熱を持つことを示しています。 この性質は、エネルギーを失うと温度が上昇するということを表し、重力収縮により温度が上昇する性質に対応します。
一方、電子が縮退したガスでは、\(\frac{4}{3} < \chi_\rho< \frac{5}{3}\)であるため、\(C_\ast > 0\)です。 これはエネルギーを得ると、温度が上昇することを表しています。
(8.5.8)式に、相同摂動の仮定と(8.5.13)式を用いると
を得ます。 また(8.5.9)式に相同摂動の仮定と(8.5.16)式を用いれば
\[\begin{align} &\frac{\epsilon_\mathrm{n}}{L_r} \left\{ \epsilon_T \frac{\Delta T}{T} + \epsilon_\rho \frac{\Delta \rho}{\rho} + (\kappa_T - 4) \frac{\Delta T}{T} + \left( \kappa_\rho + \frac{4}{3} \right) \frac{\Delta \rho}{\rho}\right\} - \frac{sT}{L_r} \Delta S = 0 \notag \\ &\Longrightarrow \ s \underbrace{T \Delta S}_{(8.5.15)} = \epsilon_\mathrm{n} \left\{ (\epsilon_T + \kappa_T - 4) \frac{\Delta T}{T} + \left(\epsilon_\rho + \kappa_\rho + \frac{4}{3} \right) \frac{\Delta \rho}{\rho}\right\} \notag \\ &\underbrace{\Longrightarrow}_{(8.5.14)} \ s C_\ast \Delta T = \epsilon_\mathrm{n} \left\{ (\epsilon_T + \kappa_T - 4) \frac{\Delta T}{T} + \left(\epsilon_\rho + \kappa_\rho + \frac{4}{3} \right) \frac{3\chi_T}{4-3\chi_\rho} \frac{\Delta T}{T} \right\} \notag \\ &\Longrightarrow \ s = \frac{\epsilon_\mathrm{n}}{C_\ast T} \left\{ \epsilon_T + \kappa_T - 4 + \frac{\chi_T (3\epsilon_\rho + 3\kappa_\rho + 4)}{4-3\chi_\rho} \right\} \tag{8.5.18} \end{align}\]と整理されます。
理想気体ガス圧と輻射圧からなる場合の状態方程式のもとでは、この式は
のようになります。 ヘリウム燃焼の温度依存性は大きく、\(\epsilon_T \sim 25\)であるのに対し、\(\kappa_T \gtrsim -4\)です。 また\(\epsilon_\rho, \kappa_\rho\)は正の値を持つ量なので、上式の\((\cdots)\)内は正の値を持ち、\(s < 0\)となることがわかります。 つまりこの状態式のもとでは、ヘリウム燃焼の存在する構造が熱的に安定であることがわかります。 \(M \gtrsim 2 M_\odot\)の恒星のヘリウム燃焼点火時では電子は縮退していないため、ヘリウム燃焼段階の構造への移行は安定に起こります。
一方、電子が縮退したガスでは\(\chi_T \rightarrow 0, \frac{4}{3} < \chi_\rho \leq \frac{5}{3}\)であるため、\(C_\ast>0\)となり
となります。 この場合、\(s>0\)となり、ヘリウム燃焼の点火時に熱的不安定となります。 そのため、電子が縮退したガスの温度が\(10^8 \mathrm{K}\)程度になりトリプルアルファ反応が起こり始めると、その反応は暴走してヘリウムフラッシュが起こります (ちなみにこの式はppチェイン(\(\epsilon_T \sim 4\))では安定であることを示しており、小質量の主系列星が安定に存在できることに対応しています。) ヘリウムフラッシュでは温度が急激に上昇し、電子の縮退が緩むことで圧力の温度依存性が回復します。 そのため、中心核が膨張して温度が下がり、理想気体に近い状態での安定なヘリウム燃焼段階に移行します。 HR図上では、ヘリウムフラッシュの起こる\(\log L / L_\odot \sim 3.5\)から\(\log L/L_\odot \sim 1.5\)程度まで明るさを減少させ、水平分枝星となります。 この明るさの減少は、中心核の膨張により水素燃焼殻の温度が低下したためと理解できます。
参考文献
[1] Kippenhahn, Weigert & Weiss, “Stellar Structure and Evolution”
[2] 野本憲一, 定金晃三, 佐藤勝彦, “恒星”