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電磁波の複素数表示と円偏光の偏光ベクトル
電磁波の進行方向の単位ベクトルを\(\mathbf{n}\)、そしてそれに互いに直交するように2つの偏光ベクトル\(\boldsymbol{\epsilon}_1, \boldsymbol{\epsilon}_2\)を定めます。
実部が実際の電磁波の成分を表すと約束して、電場成分を
\[\mathbf{E} = a_1 e^{-i(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \delta_1)} \boldsymbol{\epsilon}_1 + a_2 e^{-i(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \delta_2)} \boldsymbol{\epsilon}_2 = (a_1 \boldsymbol{\epsilon}_1 + a_2 e^{-i\delta} \boldsymbol{\epsilon}_2) e^{-i(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \delta_1)} \quad (\delta \equiv \delta_2 - \delta_1) \tag{1}\]のように書くことにします。 ただし\(a_1, a_2\)は実数です。
電場の振幅の2乗の計算
唐突ですが、\(\mathbf{E}\)と\(\mathbf{E}^\ast\)の内積を計算してみましょう。 (1)式より
\[\mathbf{E} \cdot \mathbf{E}^\ast = (a_1 \boldsymbol{\epsilon}_1 + a_2 e^{-i\delta} \boldsymbol{\epsilon}_2) \cdot (a_1 \boldsymbol{\epsilon}_1 + a_2 e^{i\delta} \boldsymbol{\epsilon}_2) = a_1^2 + a_2^2 \tag{2}\]となります。 さらに(1)式の実部を見てみると
\[\mathrm{Re} (\mathbf{E}) = a_1 \cos (\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \delta_1) \boldsymbol{\epsilon}_1 + a_2 \cos (\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \delta_2) \boldsymbol{\epsilon}_2 \tag{3}\]のようになります。 すると、この電磁波においてストークスパラメータ \(I\)は\(I = a_1^2 + a_2^2\)です。 よって電場の振幅の2乗が\(\mathbf{E} \cdot \mathbf{E}^\ast\)で計算できることがわかりました。
円偏光の偏光ベクトル
円偏光のとき、\(a_1 = a_2 = E_0\)です。 そして円偏光には右回り\(\delta = \pi/2\)のときと、左回り\(\delta = -\pi/2\)が存在します。 それぞれについて、電場がどのように書けるかを見てみましょう。 (1)式から、右回り円偏光の場合は
\[\begin{align} \mathbf{E} &= E_0 (\boldsymbol{\epsilon}_1 + e^{-i\pi/2} \boldsymbol{\epsilon}_2) e^{-i(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \delta_1)} = E_0 (\boldsymbol{\epsilon}_1 - i \boldsymbol{\epsilon}_2) e^{-i(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \delta_1)} \notag \\ &= \sqrt{2} E_0 e^{-i(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \delta_1)} \boldsymbol{\epsilon}_- \quad \left( \boldsymbol{\epsilon}_- \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} (\boldsymbol{\epsilon}_1 - i \boldsymbol{\epsilon}_2)\right) \tag{4} \end{align}\]のように書くことができます。 同様に左回り円偏光の場合は
\[\begin{align} \mathbf{E} &= E_0 (\boldsymbol{\epsilon}_1 + e^{i\pi/2} \boldsymbol{\epsilon}_2) e^{-i(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \delta_1)} = E_0 (\boldsymbol{\epsilon}_1 + i \boldsymbol{\epsilon}_2) e^{-i(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \delta_1)} \notag \\ &= \sqrt{2} E_0 e^{-i(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r} + \delta_1)} \boldsymbol{\epsilon}_+ \quad \left( \boldsymbol{\epsilon}_+ \equiv \frac{1}{\sqrt{2}} (\boldsymbol{\epsilon}_1 + i \boldsymbol{\epsilon}_2)\right) \tag{5} \end{align}\]のようになります。 途中で定義された\(\boldsymbol{\epsilon}_+, \boldsymbol{\epsilon}_-\)はそれぞれ、ヘリシティが正・負の円偏光を表す偏光ベクトルです。
円偏光ベクトルで成り立つ関係式
先ほど定義された\(\boldsymbol{\epsilon}_+, \boldsymbol{\epsilon}_-\)について成り立つ関係式を証明していきましょう。
\[\boldsymbol{\epsilon}_+ \cdot \boldsymbol{\epsilon}_+^\ast = \frac{1}{2} (\boldsymbol{\epsilon}_1 + i \boldsymbol{\epsilon}_2) \cdot (\boldsymbol{\epsilon}_1 - i \boldsymbol{\epsilon}_2) = \frac{1}{2} (\boldsymbol{\epsilon}_1 \cdot \boldsymbol{\epsilon}_1 - i^2 \boldsymbol{\epsilon}_2 \cdot \boldsymbol{\epsilon}_2) = 1 \tag{6}\] \[\boldsymbol{\epsilon}_- \cdot \boldsymbol{\epsilon}_-^\ast = 1 \tag{7}\] \[\boldsymbol{\epsilon}_+ \cdot \boldsymbol{\epsilon}_-^\ast = \frac{1}{2} (\boldsymbol{\epsilon}_1 + i \boldsymbol{\epsilon}_2) \cdot (\boldsymbol{\epsilon}_1 + i \boldsymbol{\epsilon}_2) = \frac{1}{2} (\boldsymbol{\epsilon}_1 \cdot \boldsymbol{\epsilon}_1 + i^2 \boldsymbol{\epsilon}_2 \cdot \boldsymbol{\epsilon}_2) = \frac{1}{2} (1-1) = 0 \tag{8}\] \[\boldsymbol{\epsilon}_- \cdot \boldsymbol{\epsilon}_+^\ast = 0 \tag{9}\] \[\mathbf{n} \times \boldsymbol{\epsilon}_+^\ast = \frac{1}{\sqrt{2}} (\mathbf{n} \times \boldsymbol{\epsilon}_1 - i \mathbf{n} \times \boldsymbol{\epsilon}_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \{ \boldsymbol{\epsilon}_2 -i (-\boldsymbol{\epsilon}_1)\} = i \boldsymbol{\epsilon}_- = i \boldsymbol{\epsilon}_+^\ast \tag{10}\] \[\mathbf{n} \times \boldsymbol{\epsilon}_-^\ast = \frac{1}{\sqrt{2}} (\mathbf{n} \times \boldsymbol{\epsilon}_1 + i \mathbf{n} \times \boldsymbol{\epsilon}_2) = \frac{1}{\sqrt{2}} \{ \boldsymbol{\epsilon}_2 + i(-\boldsymbol{\epsilon}_1)\} = -i \boldsymbol{\epsilon}_+ = -i \boldsymbol{\epsilon}_-^\ast \tag{11}\]円偏光ベクトルによる書き換え
任意の電磁波の電場成分は、直交する2つの直線偏光の重ね合わせとして(1)式のように書くことができるのでした。 これを右回り・左回り円偏光の重ね合わせとして、以下のように表現できることを証明しましょう。
\[\mathbf{E} = (E_+ \boldsymbol{\epsilon}_+ + E_- \boldsymbol{\epsilon}_-) e^{-i(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r})} \tag{12}\]天下り的ですが、(12)式に\(\boldsymbol{\epsilon}_+, \boldsymbol{\epsilon}_-\)の定義を代入すると
\[\begin{align} \mathbf{E} &= \left\{ \frac{E_+}{\sqrt{2}} (\boldsymbol{\epsilon}_1 + i \boldsymbol{\epsilon}_2) + \frac{E_-}{\sqrt{2}} (\boldsymbol{\epsilon}_1 - i \boldsymbol{\epsilon}_2) \right\} e^{-i(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r})} \notag \\ &= \left\{ \frac{1}{\sqrt{2}} (E_+ + E_-) \boldsymbol{\epsilon}_1 + \frac{i}{\sqrt{2}} (E_+ - E_-) \boldsymbol{\epsilon}_2 \right\} e^{-i\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} \tag{13} \end{align}\]この式と(1)式を比較すると
\[\begin{align} &\frac{1}{\sqrt{2}} (E_+ + E_-) = a_1 e^{-i\delta_1}, \quad \frac{1}{\sqrt{2}} (E_+ - E_-) = a_2 e^{-i\delta_2} \notag \\ &\Longrightarrow \ E_+ = \frac{1}{\sqrt{2}} (a_1 e^{-i\delta_1} - i a_2 e^{-i\delta_2}), \quad E_- = \frac{1}{\sqrt{2}} (a_1 e^{-i\delta_1} + i a_2 e^{-i\delta_2}) \tag{14} \end{align}\]のようになります。 よって(14)式のように\(E_+, E_-\)を取ることで、任意の電磁波を円偏光の重ね合わせて表現することができます。 例として、\(\boldsymbol{\epsilon}_1\)方向に直線偏光した電磁波を、右回り・左回りの2つの円偏光の重ね合わせで表現してみましょう。 \(\boldsymbol{\epsilon}_1\)方向に直線偏光した電磁波では、\(a_2=0\)より
\[\frac{1}{\sqrt{2}} (E_+ - E_-) = 0 \ \Longrightarrow \ E_+ = E_- = E_0 \tag{15}\]です。 よってこれを(12)式に代入すれば
\[\mathbf{E} = E_0 (\boldsymbol{\epsilon}_+ + \boldsymbol{\epsilon}_-) e^{-i(\omega t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r})} \tag{16}\]のようになります。 同じ振幅の右回り・左回り円偏光を同位相で重ね合わせると、下図のようにある方向の直線偏光になることを表しています。
