sinc関数の2乗の積分

sinc関数の2乗の積分値を求めましょう。そのために

\[W(t) = \left\{ \begin{array}{cl} 1 &(-T/2 < t < T/2) \\ 0 & ({\rm otherwise}) \end{array} \right.\]

のようなトップハット関数のフーリエ変換を考えます。

\[{\hat W}(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} W(t) e^{i\omega t} dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-T/2}^{T/2} e^{i\omega t} dt = \frac{1}{2\pi} \frac{e^{i \omega T/2}-e^{-i \omega T/2}}{i \omega } =\frac{T}{2\pi} {\rm sinc} \left( \omega \frac{T}{2} \right)\]

ここでパーセバルの公式より

\[\int_{-\infty}^{\infty} W(t)^2 dt = 2\pi \int_{-\infty}^{\infty} \left| {\hat W} (\omega) \right|^2 d\omega =\frac{T^2}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} {\rm sinc}^2 \left( \omega \frac{T}{2} \right) d\omega \underbrace{=}_{\omega T/2=x}\frac{T}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} {\rm sinc}^2 x dx\]

一方

\[(最左辺) =\int_{-T/2}^{T/2} dt =T\]

より

\[\int_{-\infty}^{\infty} {\rm sinc}^2 x dx = \pi\]

が求まります。sinc関数の積分値と\({\rm sinc}^2\)関数の積分値が同じ\(\pi\)となる不思議。