ブラックホールシャドウ

ISCOの部分で考えたものを質量0の粒子(光子)で考えましょう。

シュバルツシルト計量

シュバルツシルト計量は以下のように与えられます。

d s^{2} = - (1 - \frac{2 G M}{c^{2} r}) c^{2} d t^{2} + (1 - \frac{2 G M}{c^{2} r})^{- 1} d r^{2} + r^{2} d θ^{2} + r^{2} \sin^{2} θ d φ^{2}

シュバルツシルト半径を $r_{g} = 2 G M / c^{2}$ と定義すると

g_{t t} = - (1 - \frac{r_{g}}{r}), g_{r r} = \frac{1}{1 - \frac{r_{g}}{r}}, g_{θ θ} = r^{2}, g_{φ φ} = r^{2} \sin^{2} θ

アフィンパラメータを用いて

p^{μ} = \frac{d x^{μ}}{d λ}

で書かれる4元運動量は

\frac{d p_{ν}}{d x^{0}} = \frac{1}{2 p^{t}} p^{μ} p^{β} g_{μ β, ν}

を満たします。
$g_{β μ}$ の依存性から $g_{β μ, t} = 0, g_{β μ, φ} = 0$ がわかるので

p_{t} = C o n s t = \frac{ϵ}{c}, p_{φ} = C o n s t = ℓ

光子の4元運動量の内積より

0 = g_{t t} p^{t} p^{t} + g_{r r} p^{r} p^{r} + g_{θ θ} p^{θ} p^{θ} + g_{φ φ} p^{φ} p^{φ}

そして

p^{t} = g^{t t} p_{t} = \frac{1}{1 - \frac{r_{g}}{r}} \frac{ϵ}{c}

p^{φ} = g^{φ φ} p_{φ} = \frac{ℓ}{r^{2} \sin^{2} θ}

です。球対称の仮定より角運動量が保存し、粒子の運動は一平面に限定できます。簡単のため、 $θ = π / 2$ の平面上での運動を考え、 $d θ = 0$ としましょう。すると上の方程式から

0 = - \frac{1}{1 - \frac{r_{g}}{r}} \frac{ϵ^{2}}{c^{2}} + \frac{1}{1 - \frac{r_{g}}{r}} {(\frac{d r}{d λ})}^{2} + \frac{ℓ^{2}}{r^{2}} ⟹ {(\frac{d r}{d λ})}^{2} = \frac{ϵ^{2}}{c^{2}} - (1 - \frac{r_{g}}{r}) \frac{ℓ^{2}}{r^{2}}

となります。

有効ポテンシャルを

Ψ_{e f f} = (1 - \frac{r_{g}}{r}) \frac{ℓ^{2}}{r^{2}}

とおくと

\frac{d Ψ_{e f f}}{d r} = - 2 \frac{ℓ^{2}}{r^{3}} + 3 \frac{ℓ^{2} r_{g}}{r^{4}} = 0

となるのは、角運動量の値によらずに

r = \frac{3}{2} r_{g}

となることがわかります。他に極値を持たず、この点で有効ポテンシャルが最大となります。

$r = 3 r_{g} / 2$ のときの有効ポテンシャルの値は

Ψ_{e f f, m a x} = \frac{4}{27} \frac{c^{2} ℓ^{2}}{r_{g}^{2}}

これよりギリギリのところでブラックホールに落ちる光子のエネルギーは

ϵ > \frac{2}{3 \sqrt{3}} \frac{ℓ c}{r_{g}}

となります。以下の図のように考えると $p = ϵ / c, ℓ = b p$ と考えることができるので、衝突パラメータ $b$ が

ブラックホールに入射する光子と衝突パラメータ

b < \frac{3 \sqrt{3}}{2} r_{g}

のとき、ブラックホールに光子は落下することになります。これがブラックホールシャドウの半径です。