Table of contents

1. 2.4 Schwarzschild-Milne Equations
2. Appendix: Exponential Integral
   1. 漸化式
   2. 近似式
   3. グラフ図示

2.4 Schwarzschild-Milne Equations

Mean intensity $J_{\nu }$の定義式(2.12)に深さ無限大のPlane-parallel atmosphereに対するformal solution (2.19), (2.20)式を用いると

$$\begin{array}{}\text{(2.36)}& J_{\nu }({\tau }_{\nu })=\frac{1}{2}\{{\int }_0^{1}d\mu {\int }_{{\tau }_{\nu }}^{\mathrm{\infty }}{S}_{\nu }(t)e^{-\frac{t-{\tau }_{\nu }}{\mu }}\frac{dt}{\mu }+{\int }_{-1}^{0}d\mu {\int }_0^{{\tau }_{\nu }}{S}_{\nu }(t)e^{-\frac{t-{\tau }_{\nu }}{-\mu }}\frac{dt}{-\mu }\}\end{array}$$

のように表されます。$\mu ,t$の積分順序を交換し、$w=\pm 1/\mu$という変数変換を行うと

$$\begin{array}{rl}{J}_{\nu }({\tau }_{\nu })& =\frac{1}{2}\{{\int }_{{\tau }_{\nu }}^{\mathrm{\infty }}dt{S}_{\nu }(t){\int }_1^{\mathrm{\infty }}{e}^{-w(t-{\tau }_{\nu })\frac{dw}{w}}+{\int }_0^{{\tau }_{\nu }}{S}_{\nu }(t){\int }_1^{\mathrm{\infty }}{e}^{-w({\tau }_{\nu }-t)}\frac{dw}{w}\}\\ \text{(2.37)}& & =\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}dt{S}_{\nu }(t){\int }_1^{\mathrm{\infty }}{e}^{-w|t-{\tau }_{\nu }|}{w}^{-1}dw\end{array}$$

のように変形されます。$w$についての積分の部分は、第1 Exponential integralと呼ばれる積分です。その一般形は

$$\begin{array}{}\text{(2.38)}& E_n(x)\equiv {\int }_1^{\mathrm{\infty }}{t}^{-n}{e}^{-xt}dt=x^{n-1}{\int }_x^{\mathrm{\infty }}{t}^{-n}{e}^{-t}dt\end{array}$$

のように表されます。$E_1$を用いると、(2.37)式は

$$\begin{array}{}\text{(2.39)}& J_{\nu }({\tau }_{\nu })=\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{S}_{\nu }(t)E_1(|t-{\tau }_{\nu }|)dt\end{array}$$

のように表現されます。この式はK. Schwarzschild によって最初に導出されました。Source function $S_{\nu }$に(2.14)式を用いると、上式は

$$J_{\nu }({\tau }_{\nu })-\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_{\nu }}{{\kappa }_{\nu }+{\sigma }_{\nu }}{J}_{\nu }(t)E_1(|t-{\tau }_{\nu }|)dt=\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\kappa }_{\nu }}{{\kappa }_{\nu }+{\sigma }_{\nu }}{B}_{\nu }(t)E_1(|t-{\tau }_{\nu }|)dt$$

のように表されます。これは散乱${\sigma }_{\nu }$が無視できないときは、$J_{\nu }({\tau }_{\nu })$を得るためには積分方程式を解く必要があることを示しています。

同様にして$F_{\nu }({\tau }_{\nu }),K_{\nu }({\tau }_{\nu })$を求めてみましょう。

$$\begin{array}{rl}{F}_{\nu }({\tau }_{\nu })& ={\int }_{4\pi }\mu I_{\nu }(\theta ,{\tau }_{\nu })d\mathrm{\Omega }=2\pi ({\int }_0^1\mu I^{+}d\mu +{\int }_{-1}^0\mu I^{-}d\mu )\\ & =2\pi \{{\int }_0^{1}d\mu \mu {\int }_{{\tau }_{\nu }}^{\mathrm{\infty }}dt\frac{S_{\nu }(t)}{\mu }{e}^{-\frac{t-{\tau }_{\nu }}{\mu }}+{\int }_{-1}^{0}d\mu \mu {\int }_0^{{\tau }_{\nu }}dt\frac{S_{\nu }(t)}{-\mu }{e}^{-\frac{{\tau }_{\nu }-t}{-\mu }}\}\\ & =2\pi \{{\int }_{{\tau }_{\nu }}^{\mathrm{\infty }}dt{S}_{\nu }(t){\int }_0^{1}d\mu e^{-\frac{t-{\tau }_{\nu }}{\mu }}+{\int }_0^{{\tau }_{\nu }}dt{S}_{\nu }(t){\int }_{-1}^{0}d\mu e^{-\frac{{\tau }_{\nu }-t}{-\mu }}(-1)\}\end{array}$$

$w=1/\mu$とおくと$d\mu =-dw/w^2$より

$${\int }_0^{1}d\mu e^{-\frac{t-{\tau }_{\nu }}{\mu }}={\int }_{\mathrm{\infty }}^{1}dw(-\frac{1}{w^2})e^{-(t-{\tau }_{\nu })w}={\int }_1^{\mathrm{\infty }}dw\frac{e^{-(t-{\tau }_{\nu })w}}{w^2}$$

同様に$w=-1/\mu$とおくと$d\mu =dw/w^2$より

$${\int }_{-1}^{0}d\mu e^{-\frac{{\tau }_{\nu }-t}{-\mu }}(-1)={\int }_1^{\mathrm{\infty }}dw\frac{1}{w^2}{e}^{-({\tau }_{\nu }-t)w}(-1)$$

第1 Exponential integral (2.38)を用いると

$$\begin{array}{}\text{(2.40)}& F_{\nu }({\tau }_{\nu })=2\pi \{{\int }_{{\tau }_{\nu }}^{\mathrm{\infty }}dt{S}_{\nu }(t)E_2(t-{\tau }_{\nu })-{\int }_0^{{\tau }_{\nu }}dt{S}_{\nu }(t)E_2({\tau }_{\nu }-t)\}\end{array}$$

同じようにして、$K_{\nu }({\tau }_{\nu })$を求めてみましょう。

$$\begin{array}{rl}{K}_{\nu }({\tau }_{\nu })& =\frac{1}{4\pi }{\int }_{4\pi }{\mu }^2{I}_{\nu }(\theta ,{\tau }_{\nu })d\mathrm{\Omega }=\frac{1}{2}({\int }_0^{1}d\mu {\mu }^2{I}_{\nu }^{+}+{\int }_{-1}^{0}d\mu {\mu }^2{I}_{\nu }^{-})\\ & =\frac{1}{2}\{{\int }_0^{1}d\mu {\mu }^2{\int }_{{\tau }_{\nu }}^{\mathrm{\infty }}dt\frac{S_{\nu }(t)}{\mu }{e}^{-\frac{t-{\tau }_{\nu }}{\mu }}+{\int }_{-1}^{0}d\mu {\mu }^2{\int }_0^{{\tau }_{\nu }}dt\frac{S_{\nu }(t)}{-\mu }{e}^{-\frac{{\tau }_{\nu }-t}{-\mu }}\}\\ & =\frac{1}{2}\{{\int }_{{\tau }_{\nu }}^{\mathrm{\infty }}dt{S}_{\nu }(t){\int }_0^{1}d\mu \mu e^{-\frac{t-{\tau }_{\nu }}{\mu }}+{\int }_0^{{\tau }_{\nu }}dt{S}_{\nu }(t){\int }_{-1}^{0}d\mu \mu e^{-\frac{{\tau }_{\nu }-t}{-\mu }}(-1)\}\end{array}$$

$F_{\nu }({\tau }_{\nu })$を求めるときと同様に$w=\pm 1/\mu$の変数変換を施して

$$K_{\nu }({\tau }_{\nu })=\frac{1}{2}\{{\int }_{{\tau }_{\nu }}^{\mathrm{\infty }}dt{S}_{\nu }(t){\int }_1^{\mathrm{\infty }}dw\frac{e^{-(t-{\tau }_{\nu })w}}{w^3}+{\int }_0^{{\tau }_{\nu }}dt{S}_{\nu }(t){\int }_1^{\mathrm{\infty }}dw\frac{e^{-({\tau }_{\nu }-t)w}}{w^3}\}$$

ここで

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}dt{S}_{\nu }(t)e^{-|t-{\tau }_{\nu }|w}={\int }_0^{{\tau }_{\nu }}dt{S}_{\nu }(t)e^{-({\tau }_{\nu }-t)w}+{\int }_{{\tau }_{\nu }}^{\mathrm{\infty }}dt{S}_{\nu }(t)e^{-(t-{\tau }_{\nu })w}$$

より

$$\begin{array}{}\text{(2.41)}& K_{\nu }({\tau }_{\nu })=\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}dt{S}_{\nu }(t){\int }_1^{\mathrm{\infty }}dw\frac{e^{-|t-{\tau }_{\nu }|w}}{w^3}=\frac{1}{2}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}dt{S}_{\nu }(t)E_3(|t-{\tau }_{\nu }|)\end{array}$$

(2.40), (2.41)式はMilneによって導出されました。

Appendix: Exponential Integral

漸化式

Exponential Integralが満たす漸化式を導出しましょう。

$$\begin{array}{}\text{(A.1)}& \frac{d{E}_n}{dx}={\int }_1^{\mathrm{\infty }}dt{t}^{-n}\frac{d}{dx}(e^{-xt})={\int }_1^{\mathrm{\infty }}dt{t}^{-n}(-t)e^{-xt}=-{\int }_1^{\mathrm{\infty }}dt{t}^{-(n-1)}{e}^{-xt}=-E_{n-1}(x)\end{array}$$

$n>1$のとき

$$\begin{array}{rl}{E}_n(x)& ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}dt{t}^{-n}{e}^{-xt}={\left[\frac{1}{-n+1}{t}^{-n+1}{e}^{-xt}\right]}_1^{\mathrm{\infty }}-{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{-n+1}{t}^{-n+1}(-x)e^{-xt}\\ \text{(A.2)}& & =-\left(\frac{1}{-n+1}{e}^{-x}\right)-\frac{x}{n-1}{\int }_1^{\mathrm{\infty }}dt{t}^{-(n-1)}{e}^{-xt}=\frac{1}{n-1}(e^{-x}-x{E}_{n-1}(x))\end{array}$$

近似式

(A.2)式より

$$n{E}_{n+1}(x)=e^{-x}-x{E}_n(x)⟹E_n(x)=\frac{e^{-x}}{x}-\frac{n}{x}{E}_{n+1}(x)=\frac{e^{-x}}{x}-\frac{n}{x}[\frac{e^{-x}}{x}-\frac{n+1}{x}{E}_{n+2}]=\cdots$$

よって、$x\gg 1$のとき

$$\begin{array}{}\text{(A.3)}& E_n(x)\simeq \frac{e^{-x}}{x}\end{array}$$

となります。

グラフ図示

以下に Exponential Integral を図示したものと、それを計算するPythonスクリプトを示します。

#!/usr/bin/env python3 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.special as sc

if __name__ == '__main__':
    # set variables
    ix = 100
    xmin = 0.0
    xmax = 3.0
    nmin = 1
    nmax = 5
    # set x coordinate
    x = np.linspace(xmin, xmax, ix)
    # main loop of plotting Laguerre polynomial
    for n in range(nmin, nmax):
        ei = sc.expn(n, x)
        string = "n={}".format(n)
        plt.plot(x, ei, label=string)
        plt.legend()
    # make plot window
    plt.show()