レイリーの公式

ヘルムホルツ方程式の解の性質

関数\(f(r, \theta, \varphi)\)がヘルムホルツ方程式

\[\nabla^2 f + k^2 f = 0 \tag{1}\]

を満たすとします(\(k \neq 0\))。このとき、関数\(f\)が特殊関数を用いてどのように記述されるかを見てみましょう。
3次元極座標系でのラプラシアンより

\[\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial }{\partial r} + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \tag{2}\]

ここで関数\(f\)を\(f(r, \theta, \varphi) = R(r) Y(\theta, \varphi)\)のように変数分離します。すると(1), (2)式より

\[Y \left( \frac{\partial^2 R}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial R}{\partial r} \right) + k^2 R Y + R \left\{ \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \varphi^2}\right\} = 0\]

両辺に\(r^2 / (RY)\)をかけて整理します。

\[\frac{r^2}{R} \left( \frac{\partial^2 R}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial R}{\partial r} \right) + k^2 r^2 = -\frac{1}{Y} \left\{ \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \varphi^2}\right\} \tag{3}\]

左辺は\(r\)のみの変数、右辺は\(\theta, \varphi\)のみの変数で構成されているので、これらは定数です。この定数を\(\ell (\ell+1)\)と置きましょう(詳細は適当な物理数学の教科書をご参照ください)。すると\(r\)だけから構成される左辺は

\[\frac{r^2}{R} \left( \frac{\partial^2 R}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial R}{\partial r} \right) + k^2 r^2 = \ell (\ell+1)\]

のようになります。ここで両辺に\(R / (k^2 r^2)\)をかけ、さらに\(r' = kr\)のように変数変換して式を整理すると

\[\frac{1}{r'^2} \frac{d}{dr'} \left( r'^2 \frac{d R}{dr'} \right) + \left( 1- \frac{\ell(\ell+1)}{r'^2}\right) R = 0 \tag{4}\]

のようになります。(4)式は球ベッセル関数が満たす微分方程式(10)式に一致するので\(R (kr)= j_\ell (kr)\)とわかります。そして(3)式の\(\theta, \varphi\)のみで構成される右辺の部分は球面調和関数が満たす微分方程式です。以上の議論から、ヘルムホルツ方程式(1)式の解は一般に

\[f(r, \theta, \varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell A_{\ell m} j_\ell (kr) Y_\ell^m (\theta, \varphi) \tag{5}\]

と記述されることがわかります。ここで\(A_{\ell m}\)は展開係数です。

実は球ノイマン関数も(4)式も満たすので、これも含めなくてはいけません。ですが今回は省略します。

公式の導出

\(f = e^{ikr \cos \theta}\)とすると

\[\nabla^2 e^{ikr \cos \theta} = \frac{\partial^2}{\partial r^2} e^{ikr \cos \theta} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r} e^{ikr \cos \theta} + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) e^{ikr \cos \theta} = -k^2 e^{ikr \cos \theta}\]

よりこの関数は(1)式を満たすので、これは(5)式のように記述できます。ただし\(f = e^{ikr \cos \theta}\)は\(\varphi\)に依存しないので、\(m \neq 0\)では\(A_{\ell m}=0\)でなければなりません。よって

\[e^{ikr \cos \theta} = \sum_{\ell =0}^\infty A_{\ell 0} j_\ell (kr) Y_{\ell 0}\]

\(m=0\)での球面調和関数とルジャンドル陪多項式より

\[Y_{\ell 0} = \sqrt{\frac{2\ell + 1}{4\pi}} P_{\ell}^0 (\cos \theta) = \sqrt{\frac{2\ell + 1}{4\pi}} P_{\ell} (\cos \theta)\]

より

\[e^{ikr \cos \theta} = \sum_{\ell =0}^\infty A_{\ell} j_\ell (kr) P_\ell (\cos \theta)\]

係数\(A_\ell\)を求めるために、ルジャンドル多項式の直交性(23)式を用います。

\[\begin{align} \int_{-1}^1 e^{ikr \cos \theta} P_m (\cos \theta) d \cos \theta &= \sum_{\ell=0}^\infty A_\ell j_\ell (kr) \int_{-1}^1 P_\ell (\cos \theta) P_m (\cos \theta) d \cos \theta = \sum_{\ell=0}^\infty A_\ell j_\ell (kr) \frac{2}{2\ell + 1} \delta_{\ell m} \notag\\ &= A_m j_m (kr) \frac{2}{2m+1} \tag{6} \end{align}\]

ここで球ベッセル関数の定義式より

\[j_m (kr) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{\Gamma (m + n + 3/2) n!} \left( \frac{kr}{2}\right)^{m + n}\]

ここで\(kr \rightarrow 0\)の極限を考えます。すると\(n=0\)以外の\(kr\)の高次の項を無視して

\[j_m (kr) \simeq \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{1}{\Gamma (m + 3/2)} \left( \frac{kr}{2}\right)^{m} = \frac{2^m m!}{(2m + 1)!} (kr)^m\]

と記述されます。途中半整数の階乗に関するガンマ関数の公式を用いました。　　 (6)式から係数\(A_\ell\)を求めるにあたり、(6)式において\(kr \rightarrow 0\)の極限をとった両辺に\(\frac{d^m}{d(kr)^m}\)を作用させたものを考えます。

\[(右辺) = \frac{2 A_m}{2m + 1} \frac{d^m}{d(kr)^m} \left( \lim_{kr \rightarrow 0} j_m (kr) \right) = \frac{2 A_m}{2m+1} \frac{2^m m!}{(2m+1)!} m!\] \[(左辺) = \lim_{kr \rightarrow 0} \frac{d^m}{d(kr)^m} \int_{-1}^1 e^{ikr \cos \theta} P_m (\cos \theta) d\cos \theta = \int_{-1}^1 (i \cos \theta)^m P_m (\cos \theta) d\cos \theta\]

ここでルジャンドル多項式の直行性を示す途中で導かれた式(22)式より、\(x = \cos \theta\)と置くとこれは

\[\int_{-1}^1 x^m P_m dx = \frac{2 \cdot m!}{(2m+1)!!} = \frac{2 \cdot m! 2m!!}{(2m+1)!} = \frac{2\cdot 2^m m! m!}{(2m+1)!}\]

と求まります。これらより

\[A_m = (2m+1) i^m\]

よって最終的に

\[e^{ikr \cos \theta} = \sum_{\ell=0}^\infty i^\ell (2\ell + 1) j_\ell (kr) P_\ell (\cos \theta) \tag{7}\]

という公式を得ます。これをレイリーの公式(Rayleigh’s formula)と呼びます。これは波動関数をある角運動量\(\ell\)ごとに展開する方法(部分波展開)に用いられます。

参考文献

[1] 辻川信二, “現代の宇宙論”
[2] 森口繁一, 宇田川銈久, 一松信, “数学公式III 特殊関数”