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\(\sin^n, \cos^n\)の積分公式
nが偶数のとき
\[I_n = \int_0^{\pi/2} \cos^n x dx\]を求めましょう。ただし\(I_0 = \pi/2, I_1 = 1\)です。
\[\begin{aligned} I_n &= \int_0^{\pi/2} \cos x \cos^{n-1} x dx = [\sin x \cos^{n-1} x]_0^{\pi/2} + (n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^2 x \cos^{n-2} x dx \\ &= (n-1) \int_0^{\pi/2} (1-\cos^2 x) \cos^{n-2} x dx = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n \ \Longrightarrow \ I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2} \end{aligned}\]\(n\)が偶数のとき
\[I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2} = \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} I_0 = \frac{\pi}{2} \frac{(n-1)!!}{n!!} \tag{1}\]です。
nが奇数のとき
\[I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^{n} \theta d\theta\]を求めましょう。\(I_0 = \pi/2, I_1 = 1\)です。
\[\begin{aligned} I_n &= \int_0^{\pi/2} \sin \theta \sin^{n-1} \theta d\theta = [-\cos \theta \sin^{n-1}]_0^{\pi/2} + (n-1) \int_0^{\pi/2} \cos^2 \theta \sin^{n-2} \theta d\theta \\ &= (n-1) \int_0^{\pi/2} (\sin^{n-2} \theta - \sin^n \theta) d\theta = (n-1) I_{n-2} - (n-1) I_n \ \Longrightarrow \ I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2} \end{aligned}\]\(n\)が奇数のとき
\[I_n = \frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{4}{5} \frac{2}{3} I_1 = \frac{(n-1)!!}{n!!} \tag{2}\]のようになります。
参考文献
[1] 高校数学の美しい物語, sinのn乗, cosのn乗の積分公式