Table of contents

1. ${\sin }^n,{\cos }^n$の積分公式
   1. nが偶数のとき
   2. nが奇数のとき
2. 参考文献

${\sin }^n,{\cos }^n$の積分公式

nが偶数のとき

$$I_n={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx$$

を求めましょう。ただし$I_0=\pi /2,I_1=1$です。

$$\begin{array}{rl}{I}_n& ={\int }_0^{\pi /2}\cos x{\cos }^{n-1}xdx=[\sin x{\cos }^{n-1}x{]}_0^{\pi /2}+(n-1){\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{2}x{\cos }^{n-2}xdx\\ & =(n-1){\int }_0^{\pi /2}(1-{\cos }^{2}x){\cos }^{n-2}xdx=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n⟹I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}\end{array}$$

$n$が偶数のとき

$$\begin{array}{}\text{(1)}& I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{1}{2}{I}_0=\frac{\pi }{2}\frac{(n-1)!!}{n!!}\end{array}$$

です。

nが奇数のとき

$$I_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^n\theta d\theta$$

を求めましょう。$I_0=\pi /2,I_1=1$です。

$$\begin{array}{rl}{I}_n& ={\int }_0^{\pi /2}\sin \theta {\sin }^{n-1}\theta d\theta =[-\cos \theta {\sin }^{n-1}{]}_0^{\pi /2}+(n-1){\int }_0^{\pi /2}{\cos }^2\theta {\sin }^{n-2}\theta d\theta \\ & =(n-1){\int }_0^{\pi /2}({\sin }^{n-2}\theta -{\sin }^n\theta )d\theta =(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n⟹I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}\end{array}$$

$n$が奇数のとき

$$\begin{array}{}\text{(2)}& I_n=\frac{n-1}{n}\frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{4}{5}\frac{2}{3}{I}_1=\frac{(n-1)!!}{n!!}\end{array}$$

のようになります。

参考文献

[1] 高校数学の美しい物語, sinのn乗, cosのn乗の積分公式