Spherical harmonics (球面調和関数)

\[\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial Y(\theta, \varphi)}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2 Y(\theta, \varphi)}{\partial \varphi^2} + \ell (\ell+1) Y(\theta, \varphi) = 0 \tag{1}\]

の解を\(Y(\theta \varphi) = \Theta (\theta) \Phi (\varphi) = \Theta e^{im\varphi}\)のように変数分離すると

\[\frac{e^{im\varphi}}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial \Theta}{\partial \theta} \right) - \frac{\Theta}{\sin^2 \theta} m^2 e^{im\varphi} + \ell (\ell+1) \Theta e^{im\varphi} = 0 \ \Longrightarrow \ \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta \frac{\partial \Theta}{\partial \theta}\right) + \left\{ \ell (\ell+1) - \frac{m^2}{\sin^2 \theta}\right\} \Theta = 0\]

となります。ここで\(x=\cos \theta, dx= -\sin \theta d\theta = - \sqrt{1-x^2}d\theta \quad (-1 \leq x \leq 1)\)と置くと

\[\frac{d}{dx} \left\{ (1-x^2) \frac{d\Theta}{dx} \right\} + \left\{ \ell(\ell+1) - \frac{m^2}{1-x^2} \right\} \Theta = 0 \tag{2}\]

これはLegendre陪多項式が満たす微分方程式と同じ形です。よって\(\Theta (\theta) = P_\ell^m (\cos \theta)\)です。\(Y(\theta, \varphi) \propto P_\ell^m (\cos \theta) e^{im\varphi}\)の規格直交性から係数を考えると

\[\begin{align} \int_0^{2\pi} d\varphi \int_0^\pi d\theta P_\ell^m e^{im\varphi} (P_{\ell'}^{m'} e^{im'\varphi})^\ast \sin \theta &= \int_0^{2\pi} e^{i(mm')\varphi} d\varphi \int_0^\pi P_\ell^m (\cos \theta) P_{\ell'}^{m'} (\cos \theta) \sin \theta d\theta \notag \\ &\underbrace{=}_{z = \cos \theta} 2\pi \delta_{m, m'} \int_{-1}^1 P_\ell^m (z) P_{\ell'}^{m'} (z) dz = \frac{(\ell+m)!}{(\ell-m)!} \frac{4\pi}{2\ell+1} \delta_{\ell \ell'} \tag{3} \end{align}\]

よって(1)式の解を

\[Y_\ell^m (\theta, \varphi) = (-1)^m \sqrt{\frac{2\ell + 1}{4\pi} \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} P_\ell^m (\cos \theta) e^{im\varphi} \tag{4}\]

と書くことにします。これを球面調和関数と呼びます。

教科書によって(-1)^mの有無があり、定義の仕方が違います。ご注意ください。

球面調和関数の対称性

球面調和関数のパリティ変換、すなわち位置ベクトル\(\mathbf{r} \rightarrow - \mathbf{r} \quad (\theta \rightarrow \pi - \theta, \varphi \rightarrow \varphi + \pi)\)に対するこの関数の変換性を考えましょう。

\[\begin{align} Y_\ell^m (\pi-\theta, \varphi+\pi) &= (-1)^m \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi} \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \underbrace{P_\ell^m (\cos(\pi-\theta))}_{(-1)^{\ell+m} P_\ell^m(\cos \theta)} e^{im(\varphi+\pi)} \notag \\ &= (-1)^\ell (-1)^m \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi} \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} P_\ell^m (\cos \theta) e^{im \varphi} = (-1)^m Y_\ell^m (\theta, \varphi) \tag{5} \end{align}\]

球面調和関数の加法定理

\(\mathbf{x}=(\sin \theta \cos \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \theta), \mathbf{y}=(\sin \theta' \cos \varphi', \sin \theta' \sin \varphi', \cos \theta')\)のように、半径1の球面上の2点について、その内積を計算すると

\[\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \sin \theta \sin \theta' \cos(\varphi-\varphi') + \cos \theta \cos \theta' \equiv \cos \alpha \tag{6}\]

のようになります。ここでこの\(\cos \alpha\)を用いたLegendre関数\(P_\ell\)を

\[P_\ell (\cos \alpha) = \sum_{m=-\ell}^\ell b_m (\theta', \varphi') Y_\ell^m (\theta, \varphi) \tag{7}\]

のように球面調和関数で展開します。このとき係数\(b_m\)に\(\theta', \varphi'\)の依存性を押し付けます。直交性より

\[b_m (\theta', \varphi') = \int_0^\pi d\theta \int_0^{2\pi} d\varphi P_\ell (\cos \gamma) Y_\ell^m (\theta, \varphi)^\ast \sin \theta \tag{8}\]

と求めることができます。ここで\(\gamma\)は適当な角度です。同様に

\[Y_\ell^{m \ast} = \sum_{m'=-\ell}^\ell B_{mm'}Y_\ell^{m'} (\alpha, \beta) \tag{9}\]

のように\(Y_\ell^{m\ast}\)を\(Y_\ell^{m'}(\alpha, \beta)\)で展開します。\(\beta\)も適当な角度です。やはり直交性から

\[B_{mm'} = \int_{4\pi} Y_\ell^{m} (\theta, \varphi)^\ast Y_\ell^{m'}(\alpha, \beta)^\ast d\Omega_{\alpha, \beta} \tag{10}\]

と書けます。特に\(m'=0\)のとき

\[B_{m0} = \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} \int_{4\pi} Y_\ell^m (\theta, \varphi)^\ast P_\ell^0 (\cos \alpha) d\Omega_{\alpha, \beta} = \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} \int_{4\pi} Y_\ell^m (\theta, \varphi)^\ast P_\ell (\cos \alpha) d\Omega_{\alpha, \beta} \tag{11}\]

この立体角積分は\(\alpha, \beta\)で行うこととしていますが、全立体角積分なので、\(\theta, \varphi\)での全立体角の積分に変えても結果は同じでなければなりません。よって

\[B_{m0} = \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} \int_0^\pi d\theta \int_0^{2\pi} d\varphi Y_\ell^{m \ast} P_\ell (\cos \alpha) \sin \theta \underbrace{=}_{(8)} \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} b_m (\theta', \varphi') \tag{12}\]

Legendre陪関数の元の定義より

\[P_n^m(z) =(1-z^2)^{m/2} \frac{d^m P_n}{dz^m} \ \Longrightarrow \ P_n^m (1) = P_n^m(-1) = \delta_{m0} \tag{13}\]

が成り立ちます。よって

\[Y_\ell^m (0, \beta) = (-1)^m \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi} \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \delta_{m0} e^{im\varphi} \tag{14}\]

(9)式に\(\alpha=0\)を代入すると

\[Y_\ell^m(\theta, \varphi)^\ast = \sum_{m'=-\ell}^\ell B_{mm'} (-1)^{m'} \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi} \frac{(\ell-m')!}{(\ell+m')!}} \delta_{m' 0} e^{im'\varphi} = \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} B_{m0} \tag{15}\]

その定義から、\(\alpha\)は\(\mathbf{x}, \mathbf{y}\)のなす角度でした。よって\(\alpha=0\)は\(\theta=\theta', \varphi=\varphi'\)を意味します。

\[Y_\ell^m (\theta', \varphi')^\ast = \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} \underbrace{B_{m0}}_{(8)} = \frac{2\ell+1}{4\pi} b_m (\theta', \varphi') \tag{16}\]

よって

\[P_\ell (\cos \alpha) = P_\ell (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \underbrace{=}_{5} \frac{4\pi}{2\ell + 1} \sum_{m=-\ell}^\ell Y_\ell^m (\theta', \varphi')^\ast Y_\ell^m (\theta, \varphi) \tag{17}\]

これは三角関数における加法定理\(\cos (\theta - \theta') = \cos \theta' \cos \theta + \sin \theta \sin \theta'\)を一般化したものと考えることができます。

ウンゼルトの定理

(17)式において\(\mathbf{x} = \mathbf{y}\)とすると、\(P_\ell(\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}) =P_\ell(1)=1\)より

\[\sum_{m=-\ell}^\ell Y_\ell^m (\theta', \varphi')^\ast Y_\ell^m (\theta, \varphi) = \frac{2\ell+1}{4\pi} \tag{18}\]

と求まります。これをUnsoldの定理と呼びます。これは三角関数における\(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta=1\)を一般化したものと考えることができます。

参考文献

[1] 田島, 近道, “改訂演習工科の数学4 複素関数”
[2] 中山, “裳華房フィジックスライブラリー物理数学 II”
[3] 福山, 小形, “基礎物理学シリーズ3 物理数学 I”