Table of contents
4元角運動量と4元速度の直交性 （工事中…）
ここではレンズ・チュリング歳差運動の計算で出現した、4元角運動量\(S^\mu\)と4元速度\(U^\mu\)の直交性
\[U_\mu S^\mu = 0 \tag{1}\]を証明していきます。
座標変換とその計量
実験室系での粒子の座標を\(x^\hat{\mu}\)のようにハットをつけて表し、慣性系での粒子の座標を\(x^\mu\)のように書きます。 初期に実験室系で\(x^\hat{i}=0\)に\(v^\hat{i}=0\)で静止している粒子について考えましょう。 そして実験室系において、この粒子は一定の加速度\(a^\hat{i}\)で加速度運動し、さらに角速度\(\Omega^\hat{j}\)で回転を始めたとします。 すると慣性系と実験室系の間の変換は
\[x^i = x^\hat{i} + \frac{1}{2} a^\hat{i} \hat{t}^2 + \epsilon^\hat{i}_{\ \ \hat{j} \hat{k}} \Omega^\hat{j} x^\hat{k} \hat{t} \tag{2}\]ここで\(c \hat{t} = x^{\hat{0}}\)より
\[x^i = x^\hat{i} + \frac{1}{2} a^\hat{i} \frac{(x^\hat{0})^2}{c^2} + \epsilon^\hat{i}_{\ \ \hat{j} \hat{k}} \Omega^\hat{j} x^\hat{k} \frac{x^\hat{0}}{c} \tag{3}\]のように書き直すことができます。 \(\hat{t}\)秒後にこの粒子は\(v^\hat{j} = a^\hat{j} \hat{t} = a^\hat{j} x^\hat{0} / c\)で運動するので、ローレンツ変換より
\[ct = (c\hat{t} + \beta_\hat{j} x^\hat{j}) \gamma \underbrace{\simeq}_{\gamma \sim 1} c\hat{t} \left( 1 + \frac{v_\hat{j} x^\hat{j}}{c^2\hat{t}}\right) = x^\hat{0} \left( 1 + \frac{a_\hat{j} x^\hat{j}}{c^2}\right) \tag{4}\]の関係にあるとわかります。 途中、この粒子の運動は非相対論的であるとして\(\gamma \sim 1\)のように近似しました。 これらから
\[dx^i = dx^\hat{i} + \frac{a^\hat{i} x^\hat{0} dx^\hat{0}}{c^2} + \epsilon^\hat{i}_{\ \ \hat{j} \hat{k}} \Omega^\hat{j} x^\hat{k} \frac{dx^\hat{0}}{c} \tag{5}\] \[dx^0 = dx^\hat{0} \left( 1 + \frac{a_\hat{j} x^\hat{j}}{c^2}\right) \tag{6}\]を得ます。 よって、慣性系での線素は
\[\begin{align} ds^2 &= -c^2 dt^2 + \delta_{ij} dx^i dx^j \notag \\ &= - (dx^\hat{0})^2 \left( 1 + \frac{a_\hat{j} x^\hat{j}}{c^2}\right)^2 + \delta_{ij} \left(dx^\hat{i} + \frac{a^\hat{i} x^\hat{0} dx^\hat{0}}{c^2} + \epsilon^\hat{i}_{\ \ \hat{a} \hat{b}} \Omega^\hat{a} x^\hat{b} \frac{dx^\hat{0}}{c}\right) \left(dx^\hat{j} + \frac{a^\hat{j} x^\hat{0} dx^\hat{0}}{c^2} + \epsilon^\hat{j}_{\ \ \hat{c} \hat{d}} \Omega^\hat{c} x^\hat{d} \frac{dx^\hat{0}}{c}\right) \notag \\ &\simeq - (dx^\hat{0})^2 \left( 1 + \frac{2 a_\hat{j} x^\hat{j}}{c^2}\right) + (dx^\hat{i})^2 + 2 dx_\hat{i} \epsilon^\hat{i}_{\ \ \hat{a}\hat{b}} \Omega^\hat{a} x^\hat{b} \frac{dx^\hat{0}}{c} \notag \\ &= - \left( 1 + \frac{2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{x}}{c^2} \right) (dx^\hat{0})^2 + (dx^\hat{i})^2 + 2 (\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{x}) \cdot \frac{dx^\hat{0} d\mathbf{x}}{c} \tag{7} \end{align}\]以上から、実験室系での計量は
\[g_{00} = -1 - \frac{2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{x}}{c^2}, \quad g_{0i} = \frac{(\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{x})_i}{c}, \quad g_{ij} = \delta_{ij} \tag{8}\]クリストッフェル記号の計算と輸送の法則
ベクトルについての公式を導出するために、以下では世界線に沿った基底ベクトルの微分
\[\nabla_U \mathbf{e}_\alpha = \nabla_\hat{0} \mathbf{e}_\alpha = \Gamma^\mu_{0\alpha} \mathbf{e}_\mu \tag{9}\]を考えます。 よってクリストッフェル記号を計算しましょう。 ここで、加速度や角速度は一定で時間に依存しないことに注意しましょう。 さらにこれらの量は非相対論的であるとして、先程の計量は
\[g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu} \quad (\vert h_{\mu \nu} \vert \ll 1) \tag{9}\]のように書かれ、さらにクリストッフェル記号は
\[\Gamma^\mu_{\alpha 0} \simeq \frac{1}{2} \eta^{\mu \nu} (\partial_\alpha h_{0\nu} + \partial_0 h_{\nu \alpha} - \partial_\nu h_{\alpha 0}) \tag{10}\]のように計算されることから
\[\Gamma^0_{00} = 0, \quad \Gamma^j_{00} = \frac{a^j}{c^2}, \quad \Gamma^0_{j0} = \frac{a_j}{c^2}, \quad \Gamma^i_{j0} = \frac{1}{2} \left\{ \frac{\partial}{\partial x_j} \frac{(\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{x})_i}{c} - \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{(\boldsymbol{\Omega} \times \mathbf{x})_j}{c} \right\} \tag{11}\]と求まります。 よって
\[\nabla_U \frac{U}{c} \equiv \nabla_U \mathbf{e}_0 = \Gamma^\mu_{00} \mathbf{e}_\mu = \frac{\mathbf{a}}{c^2} \tag{12}\] \[\nabla_U \mathbf{e}_j = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_j}{c^2} \frac{U}{c} + \boldsymbol{\epsilon} (\mathbf{U}, \boldsymbol{\Omega}, \mathbf{e}_j) \tag{13}\]を得ます。 (13)式を、一般的な「輸送の法則」(general “law of transport”)と呼びます。
フェルミ・ウォーカー輸送と自転角運動量ベクトルの直交性
先程は\(\mathbf{e}_j\)を用いました。 しかし以降では\(\mathbf{e}_j\)を、レンズ・チュリング歳差運動で考えた惑星の自転角運動量ベクトル\(S^\mu\)に置き換えましょう。 さらに惑星の慣性系で考えると、\(\boldsymbol{\Omega} = \mathbf{0}\)より
\[\nabla_U S^\mu = \frac{U^\mu}{c^3} (a_\nu S^\nu) \tag{14}\]となります。 これをフェルミ・ウォーカー輸送(Fermi-Walker transport)と呼びます。 以下の式を計算しましょう。
\[\nabla_U (S^\nu U_\nu) = U_\nu \underbrace{(\nabla_U S^\nu)}_{(14)} + S^\nu \underbrace{(\nabla_U U_\nu)}_{(12)} = \frac{\overbrace{U_\nu U^\nu}^{=-c^2}}{c^3} (a_\alpha S^\alpha) + S^\nu \frac{a_\nu}{c} = 0 \tag{25}\]この計算から、初期に\(S^\nu U_\nu = 0\)ならば、世界線に沿って常に\(S^\nu U_\nu = 0\)であることがわかります。
参考文献
[1] Thorne & Blandford, “Modern Classical Physics: Optics, Fluids, Plasmas, Elasticity, Relativity, and Statistical Physics”
[2] Hartle, “Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity”