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標準モデル
理想気体ガス圧\(P_\mathrm{gas}\)と輻射圧\(P_\mathrm{rad}\)を考え、ガス圧と全圧の比を\(\beta \equiv P_\mathrm{gas} / P\)とします。 この\(\beta\)が恒星内部で一定であると仮定するモデルは、Eddingtonによって勢力的に研究されました。 これは恒星中で輻射によりエネルギーが運ばれる場合の粗い近似となっており、標準モデルと呼ばれています。 以下では、この標準モデルについて考えてみましょう。
全圧
ガス圧・輻射圧・全圧はそれぞれ
\[P_\mathrm{gas} = n k_B T = \frac{\rho}{ \mu m_p} k_B T \tag{1}\] \[P_\mathrm{rad} = \frac{1}{3} a T^4 \tag{2}\] \[P = P_\mathrm{gas} + P_\mathrm{rad} \tag{3}\]で与えられます。 ここで\(\mu\)は平均分子量、そして\(a\)は輻射定数です。 すると恒星内部の温度\(T\)は、\(\beta\)をパラメータとして
\[\beta = \frac{P_\mathrm{gas}}{P} = \frac{\frac{k_B}{\mu m_p} \rho T}{P} \ \Longrightarrow \ T = \beta P \frac{\mu m_p}{k_B \rho} \tag{4}\]これにより、全圧\(P\)が
\[\begin{align} &P = \beta P + \frac{1}{3} a \beta^4 P^4 \left( \frac{\mu m_p}{k_B \rho} \right)^4 \ \Longrightarrow \ 1-\beta = \frac{1}{3} a \beta^4 P^3 \left( \frac{\mu m_p}{k_B \rho} \right)^4 \notag \\ &\Longrightarrow \ P = \left\{ \left( \frac{k_B}{\mu m_p}\right)^4 \frac{3}{a} \frac{1-\beta}{\beta^3}\right\}^{1/3} \rho^{4/3} \tag{5} \end{align}\]のように求まります。
恒星の全質量
(5)式は、\(n = 3\)のポリトロープ関係
\[P = K \rho^{4/3} \tag{6}\]になっています。 (5), (6)式を比較することで
\[K = \left\{ \left( \frac{k_B}{\mu m_p}\right)^4 \frac{3}{a} \frac{1-\beta}{\beta^3}\right\}^{1/3} \tag{7}\]これにより、このガス球の全質量が
\[M = -4\pi \left\{ \frac{4K}{4\pi G}\right\}^{3/2} \xi_1^2 \left( \frac{d\theta}{d\xi} \right)_{\xi_1} = - \frac{4\pi}{(\pi G)^{3/2}} \left\{ \left( \frac{k_B}{\mu m_p}\right)^4 \frac{3}{a} \frac{1-\beta}{\beta^3}\right\}^{1/2} \xi_1^2 \left( \frac{d\theta}{d\xi}\right)_{\xi_1}\tag{8}\]\(n=3\)のときのレーン・エムデン方程式のゼロ点での値より\(- \xi_1^2 \left( \frac{d\theta}{d\xi}\right)_{\xi_1} \sim 2.0\)を代入すれば
\[M \simeq \frac{18}{\mu^2} \left( \frac{1-\beta}{\beta^4} \right)^{1/2} M_\odot \tag{9}\]のような、\(M, \mu, \beta\)の関係式を得ます。
太陽組成での\(\beta\)
ガスの組成が\(X = 0.7, Y = 0.28, Z = 0.02\)としましょう。 これは太陽組成として知られています。 すると平均分子量は
\[\frac{1}{\mu} \simeq 2 X + \frac{3}{4} Y + \frac{1}{2} Z \ \Longrightarrow \ \mu \simeq \frac{1}{2 X + \frac{3}{4} Y + \frac{1}{2} Z} \sim 0.62 \tag{10}\]のように求まります。 これを用いる前に、(9)式を整理しておきましょう。
\[M^2 = \left( \frac{18}{\mu^2}\right)^2 \frac{1-\beta}{\beta^4} \ \Longrightarrow \ \beta^4 + \left( \frac{\mu^2 M}{18} \right)^2 (\beta - 1) = 0 \tag{11}\]この式を解くことで、\(M\)に対する\(\beta\)の値を解くことができます。 数値的に解くことで以下の表の値を得ます。
| \(M \ [M_\odot]\) | \(\beta\) |
| 1 | 0.99996 |
| 10 | 0.96 |
| 100 | 0.56 |
中心部での密度と温度
\[R = \sqrt{frac{K}{\pi G} \rho_c^{-2/3}} \xi_1 \ \Longrightarrow \ \rho_c = \frac{1}{R^3} \left( \frac{K}{\pi G}\right)^{3/2} \xi_1^3 \tag{12}\]\(n=3\)の場合、\(\xi_1 \sim 6.9\)です。 さらに、(12)式に\(R = 1 R_\odot, M = 1 M_\odot\)を代入することで、太陽の場合の中心密度と温度を計算してみましょう。 すると
\[\rho_c \sim 76 \ [\mathrm{g/cm^3}], \quad T_c = \beta \underbrace{P_c}_{=K\rho_c^{4/3}} \frac{\mu m_p}{k_B \rho_c} = \beta K \frac{\mu m_p}{k_B} \rho_c^{1/3} \sim 1.2 \times 10^7 \ [\mathrm{K}] \tag{13}\]のように求まります。 ここで得られた値は、実際の太陽の値(\(\rho_c \sim 1.6 \times 10^2 \ [\mathrm{g/cm^3}], T_c \sim 1.6 \times 10^7 \ [\mathrm{K}]\))よりも少し低い値となっています。 これは、\(\beta\)を恒星内部で一様としている仮定や、そもそもポリトロープの仮定で記述できる限界を表しています。