Table of contents

1. エネルギー保存
   1. フリードマン方程式の変形
   2. 非相対論的物質の場合
   3. 相対論的物質の場合
   4. ダークエネルギーの場合
   5. 真空(空間の曲率)の場合

エネルギー保存

フリードマン方程式の変形

フリードマン方程式から

$$\dot{\rho }+3\frac{\dot{a}}{a}(\rho +\frac{p}{c^2})=0$$

これがエネルギー保存になっています。この式が、非相対論的物質や相対論的物質・ダークエネルギー・空間曲率にどのような制限をつけるのでしょうか。

非相対論的物質の場合

$${\dot{\rho }}_m+3{\rho }_m\frac{\dot{a}}{a}(1+\frac{p}{{\rho }_m{c}^2})\simeq {\dot{\rho }}_m+3\frac{\dot{a}}{a}{\rho }_m=0⟹a^3{\dot{\rho }}_m+3a^2\dot{a}{\rho }_m=0$$

これより

$$a^3{\rho }_m=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}={\rho }_{m,0}$$

となります。

相対論的物質の場合

$${\dot{\rho }}_{\gamma }+3{\rho }_{\gamma }\frac{\dot{a}}{a}(1+\frac{p_{\gamma }}{{\rho }_{\gamma }{c}^2})\simeq {\dot{\rho }}_{\gamma }+4\frac{\dot{a}}{a}{\rho }_{\gamma }=0⟹a^4{\dot{\rho }}_{\gamma }+4a^3\dot{a}{\rho }_{\gamma }=0$$

これより

$$a^4{\rho }_{\gamma }=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}={\rho }_{\gamma ,0}$$

となります。特に光子の場合、光子1個のエネルギーは$h\nu$より光子数は

$$n_{\gamma }=\frac{{\rho }_{\gamma }{c}^2}{h\nu }$$

です。ドップラー効果より

$${\nu }_0=\frac{\nu }{1+z}=a\nu$$

これらを総合すると

$${\rho }_{\gamma }{c}^2{a}^4=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}=h\nu n_{\gamma }{a}^4=h{\nu }_0{n}_{\gamma }{a}^3$$

よって

$$n_{\gamma }{a}^3=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$$

となります。これは粒子数保存を示しています。また状態方程式の補遺より、${\rho }_{\gamma }\propto T^4$から

$$T^4{a}^4=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}=T_0^4{a}_0^4=T_0^4$$

です。よって光子の温度は$T=T_0(1+z)$となります。

ダークエネルギーの場合

$$\begin{array}{rl}& {\dot{\rho }}_{\mathrm{D}\mathrm{E}}+3\frac{\dot{a}}{a}{\rho }_{\mathrm{D}\mathrm{E}}(1+\frac{p_{\mathrm{D}\mathrm{E}}}{{\rho }_{\mathrm{D}\mathrm{E}}{c}^2})={\dot{\rho }}_{\mathrm{D}\mathrm{E}}+3(1+w_{\mathrm{D}\mathrm{E}})\frac{\dot{a}}{a}{\rho }_{\mathrm{D}\mathrm{E}}=0\\ & ⟹a^{3(1+w_{\mathrm{D}\mathrm{E}})}{\dot{\rho }}_{\mathrm{D}\mathrm{E}}+3(1+w_{\mathrm{D}\mathrm{E}})a^{3(1+w_{\mathrm{D}\mathrm{E}})-1}\dot{a}{\rho }_{\mathrm{D}\mathrm{E}}=0\end{array}$$

これより

$$a^{3(1+w_{\mathrm{D}\mathrm{E}})}{\rho }_{\mathrm{D}\mathrm{E}}=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}={\rho }_{\mathrm{D}\mathrm{E},0}$$

となります。

真空(空間の曲率)の場合

$${\dot{\rho }}_K+3\frac{\dot{a}}{a}{\rho }_K(1+\frac{p_K}{{\rho }_K{c}^2})={\dot{\rho }}_K+2\frac{\dot{a}}{a}{\rho }_K=0⟹a^2{\dot{\rho }}_K+2a\dot{a}{\rho }_K=0$$

これより

$$a^2{\rho }_K=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}={\rho }_{K,0}$$

となります。