2.5 Diffusion Approximation (拡散近似)

大気の深い部分\((\tau_\nu \gg 1)\)では光子の平均自由行程が温度・密度の変化するスケールに比べて非常に短いために、放射が等方的で黒体放射に近くなります。よって\(J_\nu \rightarrow B_\nu\)から

\[S_\nu = \frac{\kappa_\nu B_\nu + \sigma_\nu J_\nu}{\kappa_\nu + \sigma_\nu} \rightarrow B_\nu\]

となるので、取り扱いが非常に簡単になります。Source function \(S_\nu (t_\nu)\)を十分深い層 \(\tau_\nu \gg 1\)の周りで展開して

\[B_\nu (t_\nu) = B_\nu (\tau_\nu) + (t_\nu - \tau_\nu) \frac{dB_\nu}{d\tau_\nu} + \frac{1}{2} (t_\nu - \tau_\nu)^2 \frac{d^2 B_\nu}{d\tau_\nu^2} + \cdots \tag{2.42}\]

と書きます。これを(2.19)式に代入すると、外向き\((0\leq \mu \leq 1)\)のIntensityが

\[\begin{align} I_\nu^+ (\tau_\nu, \mu; 0\leq \mu \leq 1) &= \frac{B_\nu(\tau_\nu)}{\mu} \int_{\tau_\nu}^\infty e^{-\frac{t-\tau_\nu}{\mu}} dt + \frac{1}{\mu} \frac{dB_\nu}{d\tau_\nu} \int_{\tau_\nu}^\infty (t-\tau_\nu) e^{-\frac{t-\tau_\nu}{\mu}} dt \notag \\ & \ \ \ + \frac{1}{2\mu} \frac{d^2 B_\nu}{d\tau_\nu^2} \int_{\tau_\nu}^\infty (t-\tau_\nu)^2 e^{-\frac{t-\tau_\nu}{\mu}} + \cdots \notag \\ &= B_\nu (\tau_\nu) + \mu \frac{dB_\nu}{d\tau_\nu} + \mu^2 \frac{d^2 B_\nu}{d\tau_\nu^2} + \cdots \tag{2.43} \end{align}\]

のように表されます。また(2.20)式に代入すると内向き\((-1 \leq \mu \leq 0; \tau_\nu /\mu <0>)\)のIntensityは

\[\begin{align} I_\nu^- (\tau_\nu, \mu; -1 \leq \mu \leq 0) &= - \frac{B_\nu (\tau_\nu)}{\mu} \int_0^{\tau_\nu} e^{-\frac{t-\tau_\nu}{\mu}} dt - \frac{1}{\mu} \frac{dB_\nu}{d\tau_\nu} \int_0^{\tau_\nu} (t-\tau_\nu) e^{-\frac{t-\tau_\nu}{\mu}} dt \notag \\ & \qquad - \frac{1}{2\mu} \frac{d^2 B_\nu}{d\tau_\nu^2} \int_0^{\tau_\nu} (t-\tau_\nu)^2 e^{-\frac{t-\tau_\nu}{\mu}} dt - \cdots \notag \\ &= B_\nu (\tau_\nu) (1-e^{\tau_\nu/\mu}) + \mu \frac{dB_\nu}{d\tau_\nu} (1-e^{\tau_\nu/\mu}+\frac{\tau_\nu}{\mu} e^{\tau_\nu/\mu}) \notag \\ & \qquad + \mu^2 \frac{d^2 B_\nu}{d\tau_\nu^2} (1-e^{\tau_\nu/\mu} + \frac{\tau_\nu}{\mu} e^{\tau_\nu/\mu} - \frac{1}{2} \frac{\tau_\nu^2}{\mu^2} e^{\tau_\nu/\mu}) + \cdots \notag \\ &\underbrace{\simeq}_{e^{\tau_\nu/\mu} \sim 0} B_\nu (\tau_\nu) + \mu \frac{dB_\nu}{d\tau_\nu} + \mu^2 \frac{d^2 B_\nu}{d\tau_\nu^2} + \cdots \tag{2.44} \end{align}\]

のようになり、\(I^+\)と同じ形になることがわかります。これらから、Intensityは\(-1 \leq \mu \leq 1\)で

\[I_\nu (\tau_\nu, \mu) \simeq B_\nu (\tau_\nu) + \mu \frac{dB_\nu}{d\tau_\nu} + \mu^2 \frac{d^2 B_\nu}{d\tau_\nu^2} + \cdots \tag{2.45}\]

のようになります。この式を用いるとMean intensity \(J_\nu\)とFlux \(F_\nu\)、及び \(K_\nu\) は

\[J_\nu (\tau_\nu) = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 I_\nu (\tau_\nu, \mu) d\mu = B_\nu (\tau_\nu) + \frac{1}{3} \frac{d^2 B_\nu}{d\tau_\nu^2} + \cdots \tag{2.46}\] \[F_\nu (\tau_\nu) = 2\pi \int_{-1}^1 \mu I_\nu (\tau_\nu, \mu) d\mu = \frac{4\pi}{3} \frac{dB_\nu}{d\tau_\nu} + \cdots \tag{2.47}\] \[K_\nu (\tau_\nu) = \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \mu^2 I_\nu (\tau_\nu, \mu) d\mu = \frac{1}{3} B_\nu (\tau_\nu) + \frac{1}{5} \frac{d^2 B_\nu}{d\tau_\nu^2} + \cdots \tag{2.48}\]

のように表されます。オーダーでは\(\left\| \frac{d^n B_\nu}{d\tau_\nu^n}\right\| \simeq \frac{B_\nu}{\tau_\nu^n}\)なので、Optical depthが大きい場所(大気の深いところ)では、上の展開は急速に収束します。よって、大気の十分深い場所では

\[I_\nu (\tau_\nu, \mu) \simeq B_\nu (\tau_\nu) + \mu \frac{dB_\nu}{d\tau_\nu} \tag{2.49}\] \[J_\nu (\tau_\nu) \simeq B_\nu (\tau_\nu) \tag{2.50}\] \[F_\nu (\tau_\nu) \simeq \frac{4\pi}{3} \frac{dB_\nu}{d\tau_\nu} \underbrace{\simeq}_{(2.50)} \frac{4\pi}{3} \frac{dJ_\nu}{d\tau_\nu} \tag{2.51}\] \[K_\nu (\tau_\nu) \simeq \frac{1}{3} B_\nu (\tau_\nu) \underbrace{\simeq}_{(2.50)} \frac{1}{3} J_\nu (\tau_\nu) \tag{2.52}\]

(2.51)式より、大気の十分深いところでの輻射によるエネルギーフラックスは\(d\tau_\nu = -\rho (\kappa_\nu + \sigma_\nu) dz\)を用いると

\[F_\nu = -\frac{4\pi}{3(\kappa_\nu + \sigma_\nu) \rho} \frac{d B_\nu}{dz} = -\frac{4\pi}{3(\kappa_\nu + \sigma_\nu) \rho} \frac{d B_\nu (T)}{dT} \frac{dT}{dz} \tag{2.53}\]

のように、輻射のエネルギーがエネルギー密度の大きい層から小さい層へと拡散していくDiffusion equationの形に書くことができます。この式からわかるように、Diffusion近似ではRadiation fluxが全て局所的な物理量を使って表すことができるため、取り扱いが格段に簡単になります。
(2.53)式において、恒星の内部では温度勾配が\(\frac{dT}{dz}<0\)より、恒星では内部から表面に向かって輻射Fluxが流れます。

\(I_\nu\)に対する式の第2項が\(I_\nu\)の非等方性を表し、この項によって有限のFlux(輻射流束)が生じます。大きさの比は

\[\frac{\left| \frac{dB}{d\tau}\right|}{|B|} \simeq \frac{F}{cU} = \frac{\sigma T_{\rm{eff}}^4}{ac T^4} = \frac{1}{4} \left( \frac{T_{\rm{eff}}}{T} \right)^4 \tag{2.54}\]

であることがわかります。ここで\(\sigma\)はStefan-Boltzmann定数で、\(\sigma = ac/4\)です。恒星内部では\(T \gg T_{\rm{eff}}\)なので、そこでは輻射のエネルギーのわずかなエネルギーしか外側に向かって流れていないことがわかります。また内側から外側に移動して光球に近くなるほど、内向きの放射が少なくなり、Fluxは輻射エネルギーを光速で運ぶ場合の1/4に近づいていきます。