Table of contents
エネルギー運動量テンソル
完全流体のエネルギー運動量テンソルを
\[T^{\mu \nu} \equiv \left(\rho c^{2}+p\right) \frac{u^{\mu}}{c} \frac{u^{\nu}}{c}+p g^{\mu \nu} \tag{1}\]と定義します。\(\rho c^2\)はエネルギー密度、\(p\)は流体を構成するガスの圧力、\(u\)は4元速度で\(u^\mu = dx^\mu / d\tau\)です。
非相対論的極限
局所慣性系で非相対論的流体\(v/c \ll 1, p \ll \rho c^2, u^\mu \simeq (c, v^i)\)の極限を考えてみましょう。すると(1)式で定義されるテンソルは
\[\left(T^{\mu \nu}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \rho c^{2} & \rho c v_{x} & \rho c v_{y} & \rho c v_{z} \\ \rho v_{x} c & \rho v_{x}v_{x}+p & \rho v_{x} v_{y} & \rho v_{x} v_{z} \\ \rho v_{y} c & \rho v_{y} v_{x} & \rho v_{y}v_{y}+p & \rho v_{y} v_{z} \\ \rho v_{z} c & \rho v_{z} v_{x} & \rho v_{z} v_{y} & \rho v_{z} v_{z}+p \end{array}\right)\]局所慣性系より\(\nabla_\lambda = \partial_\lambda\)です。
エネルギー成分(第0成分)
\[\begin{aligned} \nabla_{\mu} T^{\mu 0} &=\partial_{0} T^{00}+\partial_{x} T^{x 0}+\partial_{y} T^{y 0}+\partial_{z} T^{* 0}=\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}\left(\rho c^{2}\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\rho v_{x} c\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\rho v_{y} c\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\rho v_{z} c\right) \\ &=c\left\{\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \mathbf{v})\right\} = 0 \end{aligned}\]運動量成分(第1-3成分)
\[\begin{aligned} \nabla_{\mu} T^{\mu x} &=\partial_{0} T^{0 x}+\partial_{x} T^{x x}+\partial_{y} T^{y x}+\partial_{z} T^{z x}=\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}\left(\rho v_{x} c\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\rho v_{x}v_x+p\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\rho v_{x} v_{y}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\rho v_{x} v_{z}\right) \\ &=\frac{\partial}{\partial t}\left(\rho v_{x}\right)+\nabla \cdot\left(\rho v_{x} \mathbf{v}+\mathbf{I} p\right)=0 \end{aligned}\]結論
以上の非相対論的極限の計算より、局所慣性系での完全流体のエネルギー(質量)・運動量保存則から、完全流体のエネルギー運動量テンソルの定義はこれで間違っておらず、また\(\nabla_\mu T^{\mu \nu} = 0\)が成立します。