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ルジャンドル陪多項式
\(m\)が整数かつ\(-1 < x < 1\)のとき
\[P_n^m (z) \equiv (1-z^2)^{m/2} \frac{d^m P_n (z)}{dz^m} \tag{1}\]で定義される関数をassociated Legendre多項式と呼びます。
ルジャンドル陪多項式が満たす微分方程式
\(P_n (z)\)はLegendre多項式です。Legendre多項式はLegendreの微分方程式を満たします。
\[(1-z^2) \frac{d^2 P_n}{dz^2} - 2z \frac{d P_n}{dz} + n(n+1) P_n =0 \tag{2}\]この式の\(m\)階微分を考えます。
\[\frac{d^m}{dz^m} (zP_n) = \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left( P_n + z \frac{d P_n}{dz} \right) = \frac{d^{m-2}}{dz^{m-2}} \left( 2 \frac{d P_n}{dz} + z \frac{d^2 P_n}{dz^2} \right) = \cdots = m \frac{d^{m-1} P_n}{dz^{m-1}} + z \frac{d^m P_n}{dz^m}\] \[\begin{aligned} \frac{d^m}{dz^m} (z^2 P_n) &= \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left( 2z P_n + z^2 \frac{d P_n}{dz} \right) = \sum_{\ell = 1}^m \frac{d^{m-\ell}}{dz^{m-\ell}} \frac{d^{\ell-1} P_n}{dz^{\ell-1}} + z^2 \frac{d^m P_n}{dz^m} \\ &= \sum_{\ell=1}^m \left\{ 2(m-\ell) \frac{d^{m-2} P_n}{dz^{m-2}} + 2z \frac{d^{m-1} P_n}{dz^{m-1}}\right\} + z^2 \frac{d^m P_n}{dz^m} = m(m-1) \frac{d^{m-2} P_n}{dz^{m-2}} + 2mz \frac{d^{m-1} P_n}{dz^{m-1}} + z^2 \frac{d^m P_n}{dz^m} \end{aligned}\]の2つより、(2)式の\(m\)階微分は
\[\begin{align} &\frac{d^{m+2} P_n}{dz^{m+2}} - m(m-1) \frac{d^{m} P_n}{dz^{m}} - 2mz \frac{d^{m+1} P_n}{dz^{m+1}} - z^2 \frac{d^{m+2} P_n}{dz^{m+2}} - 2m \frac{d^{m+1} P_n}{dz^{m+1}} - 2z \frac{d^{m+2} P_n}{dz^{m+2}} + n(n+1) \frac{d^m P_n}{dz^m} \notag \\ &= (1-z^2) \frac{d^{m+2} P_n}{dz^{m+2}} - 2(m+1) z \frac{d^{m+1} P_n}{dz^{m+1}} + \{n(n+1)-m(m+1)\} \frac{d^{m} P_n}{dz^{m}} = 0 \tag{3} \end{align}\]さらに\(v = (1-z^2)^{m/2} \frac{d^m P_n}{dz^m}= (1-z^2)^{m/2} P_n^{(m)}\)とすると
\[\begin{align} &\frac{dv}{dz} = -mz (1-z^2)^{m/2-1} P_n^{(m)} + (1-z^2)^{m/2} \frac{d P_n^{(m)}}{dz} = -\frac{mz}{1-z^2} v + (1-z^2)^{m/2} \frac{d P_n^{(m)}}{dz} \notag \\ &\Longrightarrow \ (1-z^2)^{m/2} \frac{d P_n^{(m)}}{dz} = \frac{dv}{dz} + \frac{mz}{1-v^2} v \tag{4} \end{align}\]そして
\[\begin{aligned} \frac{d^2v}{dz^2} &= - \frac{m(1-z^2) -mz(-2z)}{(1-z^2)^2} v- \frac{mz}{1-z^2}\frac{dv}{dz} -\frac{mz}{1-z^2} \underbrace{(1-z^2)^{m/2} \frac{dP_n^{(m)}}{dz}}_{(4)} + (1-z^2)^{m/2} \frac{d^2 P_n^{(m)}}{dz^2} \\ &= - \frac{m+mz^2}{(1-z^2)^2} v - \frac{mz}{1-z^2} \frac{dv}{dz} - \frac{mz}{1-z^2} \left( \frac{dv}{dz} + \frac{mz}{1-v^2} v \right)+ (1-z^2)^{m/2} \frac{d^2 P_n^{(m)}}{dz^2} \\ &= - \frac{m+mz^2 (1+m)}{(1-z^2)^2} v - \frac{2mz}{1-z^2} \frac{dv}{dz} + (1-z^2)^{m/2} \frac{d^2 P_n^{(m)}}{dz^2} \end{aligned}\]から
\[(1-z^2)^{m/2} \frac{d^2 P_n^{(m)}} = \frac{d^2 v}{dz^2} + \frac{m+mz^2 (1+m)}{(1-z^2)^2} v + \frac{2mz}{1-z^2} \frac{dv}{dz}\]より、(3)式に\((1-z^2)^{m/2}\)をかければ
\[\begin{align} &(1-z^2) \frac{d^2 v}{dz^2} + \frac{m + mz^2 + m^2z^2}{1-z^2} v + 2mz \frac{dv}{dz} - 2(m+1)z \frac{dv}{dz} - \frac{2(m+1)mz^2}{1-z^2} v + \{ n(n+1)-m(m+1)\} v = 0 \notag \\ &\Longrightarrow \ (1-z^2) \frac{d^2 v}{dz^2} - 2z \frac{dv}{dz} + \left\{ n(n+1)- \frac{m^2}{1-z^2} \right\} v = 0 \tag{5} \end{align}\]よって(1)式によって定義されたassociated Legendre多項式は(5)式の微分方程式を満たします。これをassociated Legendre微分方程式と呼びます。
ルジャンドル陪多項式の直交性
次に直交性を示しましょう。
\[\int_{-1}^1 P_\ell^m P_n^m dz = \int_{-1}^1 (1-z^2)^m \frac{d^m P_\ell}{dz^m} \frac{d^m P_n}{dz^m} dz = \left[ (1-z^2)^m \frac{d^{m-1} P_\ell}{dz^{m-1}} \frac{d^m P_n}{dz^m}\right]_{-1}^1 - \int_{-1}^1 \frac{d^{m-1} P_\ell}{dz^{m-1}} \frac{d}{dz} \left\{ (1-z^2)^m \frac{d^m P_n}{dz^m}\right\} dz\]ここで(3)式を\(m \rightarrow m-1\)としたものの両辺に\((1-z^2)^{m-1}\)をかけると
\[\begin{aligned} &(1-z^2)^m \frac{d}{dz} \frac{d^m P_n}{dz^m} -2m(1-z^2)^{m-1} z \frac{d^m P_n}{dz^m} + \{ n(n+1)-m(m-1)\} (1-z^2)^{m-1} \frac{d^{m-1} P_n}{dz^{m-1}} \\ &= \frac{d}{dz} \left\{ (1-z^2)^{m} \frac{d^{m} P_n}{dz^{m}}\right\} + (n-m+1)(n+m) (1-z^2)^{m-1} \frac{d^{m-1} P_n}{dz^{m-1}} = 0 \end{aligned}\]より
\[\int_{-1}^1 P_\ell^m P_n^m dz = \{ n(n+1)-m(m-1)\} \int_{-1}^1 (1-z^2)^{m-1} \frac{d^{m-1}P_n}{dz^{m-1}} \frac{d^{m-1} P_\ell}{dz^{m-1}} dz\]\(P_n, P_\ell\)の\(m\)階微分を変形して\(m-1\)階微分に書き換えたときに、積分の前に係数\((n-m+1)(n+m)\)が出てきていることがわかります。\(P_n, P_\ell\)の\(m-1\)階微分を変形して\(m-2\)階微分の式に書き直したときには、\((n-m+2)(n+m-1)\)が係数として新たに出てくることがわかります。これを繰り返すと
\[\begin{align} \int_{-1}^1 P_\ell^m P_n^m dz &= (n-m+1)(n-m+2)(n+m)(n+m-1) \int_{-1}^1 (1-z^2)^{m-2} \frac{d^{m-2} P_n}{dz^{m-2}}\frac{d^{m-2} P_\ell}{dz^{m-2}} dz \notag \\ &= \cdots \notag \\ &= (n-m+1)(n-m+2) \cdots (n-m+(m-1)) \notag \\ &\qquad \qquad \times (n-m+m) (n+m)(n+m-1) \cdots (n+2) (n+1) \int_{-1}^1 P_n P_\ell dz \notag \\ &= (n+m) (n+m-1) \cdots (n+1) n (n-1) \cdots (n-m+2) (n-m+1) \int_{-1}^1 P_n P_\ell dz \notag \\ &= \frac{(n+m)!}{(n-m)!} \int_{-1}^1 P_n P_\ell dz \underbrace{=}_{Legendre多項式の直交性} \frac{(n+m)!}{(n-m)!} \frac{2}{2n+1} \delta_{\ell n} \tag{6} \end{align}\]となり、Legendre陪多項式の直交性が示されました。
ルジャンドル陪多項式の公式
Legendre多項式において成り立つ公式
\[P_n (-z) = (-1)^n P_n (z) \tag{7}\]より
\[P_n^m (-z) = (1-z^2)^{m/2} \frac{d^m}{d(-z)^m} P_n(-z) = (1-z^2)^{m/2} (-1)^{m+n} \frac{d^m }{dz^m} P_n(z) = (-1)^{m+n} P_n^m (z) \tag{8}\]が成り立ちます。そもそものLegendre多項式の総和表現
\[P_n (z) = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{[n/2]} \frac{(-1)^k (2n-2k)!}{k! (n-k)! (n-2k)!} z^{n-2k} \tag{9}\]から、\(P_n(z)\)は\(z^n, z^{n-2}, \cdots\)の足し合わせとわかります。よって(1)式から、Legendre陪多項式は\(n > m\)のときのみ値を持つことがわかります。これを踏まえて\(P_n^{-m}\)を考えましょう。そのために
\[\frac{d^{n+m}}{dz^{n+m}} (1-z^2)^n = \frac{d^{n+m}}{dz^{n+m}} (1-z)^n (1+z)^n = \sum_{\ell=0}^{n+m} {}_{n+m} C_\ell \left\{ \frac{d^\ell}{dz^\ell} (1-z)^n\right\} \left\{ \frac{d^{n+m-\ell}}{dz^{n+m-\ell}} (1+z)^n\right\}\]を式変形します。
\[\begin{align} \frac{d^\ell}{dz^\ell} (1-z)^n &= \frac{d^{\ell-1}}{dz^{\ell-1}} n (-1) (1-z)^{n-1} = \frac{d^{\ell-2}}{dz^{\ell-2}} n (n-1) (-1)^2 (1-z)^{n-2} = \cdots \notag \\ &= n (n-1) \cdots (n-\ell+1) (-1)^\ell (1-z)^{n-\ell} = \frac{(-1)^\ell n!}{(n-\ell)!} (1-z)^{n-\ell} \tag{10} \end{align}\]同様に
\[\frac{d^{n+m-\ell}}{dz^{n+m-\ell}} (1+z)^n = \frac{n!}{(\ell -m)!} (1+z)^{\ell -m} \tag{11}\]となります。(9)式の最初の部分は\((1-z)^n\)の\(\ell\)階の微分より、\(\ell>n\)の項は0となります。よって\(\ell < n\)のみ考えれば良いでしょう。さらに後ろの部分は\((1+z)^n\)の\(n+m-\ell\)階の微分より、\(n+m-\ell > n\)の項は0となります。よって\(\ell >m\)のみ考えれば良いとわかります。よって(9)式の和の取り方に注意して、上の2つの変形から
\[\frac{d^{n+m}}{dz^{n+m}} (1-z^2)^n = \sum_{\ell=m}^n {}_{n+m} C_\ell \frac{(-1)^\ell n!}{(n-\ell)!} (1-z)^{n-\ell} \frac{n!}{(\ell-m)!} (1+z)^{\ell-m}\]となります。わかりやすく式変形を進めるために\(p=\ell-m\)と置くと
\[\begin{align} \frac{d^{n+m}}{dz^{n+m}} (1-z^2)^n &= \sum_{p=0}^{n-m} {}_{n+m} C_{p+m} \frac{(-1)^{p+m} n!}{(n-p-m)!} (1-z)^{n-p-m} \frac{n!}{p!} (1+z)^p \notag \\ &= \sum_{p=0}^{n-m} {}_{n+m} C_{p+m} \frac{(-1)^{p+m} n!}{(n-p-m)!} \frac{(1-z)^{n-p}}{(1-z)^m} \frac{n!}{p!} \frac{(1+z)^{p+m}}{(1+z)^m} \notag \\ &= \frac{(-1)^m}{(1-z^2)^m} \frac{(n+m)!}{(n-m)!} \sum_{p=0}^{n-m} \frac{(n-m)!}{p! (n-m-p)!} \underbrace{\frac{(-1)^p n!}{(n-p)!} (1-z)^{n-p}}_{(10)} \underbrace{\frac{n!}{(m+p)!} (1+z)^{p+m}}_{(11)} \notag \\ &= \frac{(-1)^m}{(1-z^2)^m} \frac{(n+m)!}{(n-m)!} \sum_{p=0}^{n-m} {}_{n-m} C_p \left\{ \frac{d^p}{dz^p} (1-z)^n\right\} \left\{ \frac{d^{n-p-m}}{dz^{n-p-m}} (1+z)^n\right\} \notag \\ &= \frac{(-1)^m}{(1-z^2)^m} \frac{(n+m)!}{(n-m)!} \frac{d^{n-m}}{dz^{n-m}} (1-z^2)^n \notag \end{align}\]以上より
\[\frac{1}{2^n n!} (1-z^2)^{m/2} \frac{d^{n+m}}{dz^{n+m}} (1-z^2)^n = \frac{(-1)^m}{2^n n!} \frac{(n+m)!}{(n-m)!} (1-z^2)^{-m/2} \frac{d^{n-m}}{dz^{n-m}} (1-z^2)^n\]Legendre多項式のRodriguesの公式と(1)式より
\[P_n^m (z) = (-1)^m \frac{(n+m)!}{(n-m)!} P_n^{-m} (z) \tag{12}\]を得ます。
参考文献
[1] 田島, 近藤, “改訂演習工科の数学4, 複素関数”
[2] 中山, “裳華房フィジックスライブリー, 物理数学II”
[3] 福山, 小形, “基礎物理学シリーズ3, 物理数学I”