Table of contents

1. ルジャンドル陪多項式
   1. ルジャンドル陪多項式が満たす微分方程式
   2. ルジャンドル陪多項式の直交性
   3. ルジャンドル陪多項式の公式
2. 参考文献

ルジャンドル陪多項式

$m$が整数かつ$-1<x<1$のとき

$$\begin{array}{}\text{(1)}& P_n^m(z)\equiv (1-z^2{)}^{m/2}\frac{d^m{P}_n(z)}{d{z}^m}\end{array}$$

で定義される関数をassociated Legendre多項式と呼びます。

ルジャンドル陪多項式が満たす微分方程式

$P_n(z)$はLegendre多項式です。Legendre多項式はLegendreの微分方程式を満たします。

$$\begin{array}{}\text{(2)}& (1-z^2)\frac{d^2{P}_n}{d{z}^2}-2z\frac{d{P}_n}{dz}+n(n+1)P_n=0\end{array}$$

この式の$m$階微分を考えます。

$$\frac{d^m}{d{z}^m}(z{P}_n)=\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}(P_n+z\frac{d{P}_n}{dz})=\frac{d^{m-2}}{d{z}^{m-2}}(2\frac{d{P}_n}{dz}+z\frac{d^2{P}_n}{d{z}^2})=\cdots =m\frac{d^{m-1}{P}_n}{d{z}^{m-1}}+z\frac{d^m{P}_n}{d{z}^m}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{d^m}{d{z}^m}(z^2{P}_n)& =\frac{d^{m-1}}{d{z}^{m-1}}(2z{P}_n+z^2\frac{d{P}_n}{dz})=\sum _{\ell =1}^m\frac{d^{m-\ell }}{d{z}^{m-\ell }}\frac{d^{\ell -1}{P}_n}{d{z}^{\ell -1}}+z^2\frac{d^m{P}_n}{d{z}^m}\\ & =\sum _{\ell =1}^m\{2(m-\ell )\frac{d^{m-2}{P}_n}{d{z}^{m-2}}+2z\frac{d^{m-1}{P}_n}{d{z}^{m-1}}\}+z^2\frac{d^m{P}_n}{d{z}^m}=m(m-1)\frac{d^{m-2}{P}_n}{d{z}^{m-2}}+2mz\frac{d^{m-1}{P}_n}{d{z}^{m-1}}+z^2\frac{d^m{P}_n}{d{z}^m}\end{array}$$

の2つより、(2)式の$m$階微分は

$$\begin{array}{rl}& \frac{d^{m+2}{P}_n}{d{z}^{m+2}}-m(m-1)\frac{d^m{P}_n}{d{z}^m}-2mz\frac{d^{m+1}{P}_n}{d{z}^{m+1}}-z^2\frac{d^{m+2}{P}_n}{d{z}^{m+2}}-2m\frac{d^{m+1}{P}_n}{d{z}^{m+1}}-2z\frac{d^{m+2}{P}_n}{d{z}^{m+2}}+n(n+1)\frac{d^m{P}_n}{d{z}^m}\\ \text{(3)}& & =(1-z^2)\frac{d^{m+2}{P}_n}{d{z}^{m+2}}-2(m+1)z\frac{d^{m+1}{P}_n}{d{z}^{m+1}}+\{n(n+1)-m(m+1)\}\frac{d^m{P}_n}{d{z}^m}=0\end{array}$$

さらに$v=(1-z^2{)}^{m/2}\frac{d^m{P}_n}{d{z}^m}=(1-z^2{)}^{m/2}{P}_n^{(m)}$とすると

$$\begin{array}{rl}& \frac{dv}{dz}=-mz(1-z^2{)}^{m/2-1}{P}_n^{(m)}+(1-z^2{)}^{m/2}\frac{d{P}_n^{(m)}}{dz}=-\frac{mz}{1-z^2}v+(1-z^2{)}^{m/2}\frac{d{P}_n^{(m)}}{dz}\\ \text{(4)}& & ⟹(1-z^2{)}^{m/2}\frac{d{P}_n^{(m)}}{dz}=\frac{dv}{dz}+\frac{mz}{1-v^2}v\end{array}$$

そして

$$\begin{array}{rl}\frac{d^{2}v}{d{z}^2}& =-\frac{m(1-z^2)-mz(-2z)}{(1-z^2{)}^2}v-\frac{mz}{1-z^2}\frac{dv}{dz}-\frac{mz}{1-z^2}\underset{(4)}{\underbrace{(1-z^2{)}^{m/2}\frac{d{P}_n^{(m)}}{dz}}}+(1-z^2{)}^{m/2}\frac{d^2{P}_n^{(m)}}{d{z}^2}\\ & =-\frac{m+m{z}^2}{(1-z^2{)}^2}v-\frac{mz}{1-z^2}\frac{dv}{dz}-\frac{mz}{1-z^2}(\frac{dv}{dz}+\frac{mz}{1-v^2}v)+(1-z^2{)}^{m/2}\frac{d^2{P}_n^{(m)}}{d{z}^2}\\ & =-\frac{m+m{z}^2(1+m)}{(1-z^2{)}^2}v-\frac{2mz}{1-z^2}\frac{dv}{dz}+(1-z^2{)}^{m/2}\frac{d^2{P}_n^{(m)}}{d{z}^2}\end{array}$$

から

$$(1-z^2{)}^{m/2}\frac{d^2{P}_n^{(m)}}{=}\frac{d^{2}v}{d{z}^2}+\frac{m+m{z}^2(1+m)}{(1-z^2{)}^2}v+\frac{2mz}{1-z^2}\frac{dv}{dz}$$

より、(3)式に$(1-z^2{)}^{m/2}$をかければ

$$\begin{array}{rl}& (1-z^2)\frac{d^{2}v}{d{z}^2}+\frac{m+m{z}^2+m^2{z}^2}{1-z^2}v+2mz\frac{dv}{dz}-2(m+1)z\frac{dv}{dz}-\frac{2(m+1)m{z}^2}{1-z^2}v+\{n(n+1)-m(m+1)\}v=0\\ \text{(5)}& & ⟹(1-z^2)\frac{d^{2}v}{d{z}^2}-2z\frac{dv}{dz}+\{n(n+1)-\frac{m^2}{1-z^2}\}v=0\end{array}$$

よって(1)式によって定義されたassociated Legendre多項式は(5)式の微分方程式を満たします。これをassociated Legendre微分方程式と呼びます。

ルジャンドル陪多項式の直交性

次に直交性を示しましょう。

$${\int }_{-1}^1{P}_{\ell }^m{P}_n^{m}dz={\int }_{-1}^1(1-z^2{)}^m\frac{d^m{P}_{\ell }}{d{z}^m}\frac{d^m{P}_n}{d{z}^m}dz={[(1-z^2{)}^m\frac{d^{m-1}{P}_{\ell }}{d{z}^{m-1}}\frac{d^m{P}_n}{d{z}^m}]}_{-1}^1-{\int }_{-1}^1\frac{d^{m-1}{P}_{\ell }}{d{z}^{m-1}}\frac{d}{dz}\{(1-z^2{)}^m\frac{d^m{P}_n}{d{z}^m}\}dz$$

ここで(3)式を$m\to m-1$としたものの両辺に$(1-z^2{)}^{m-1}$をかけると

$$\begin{array}{rl}& (1-z^2{)}^m\frac{d}{dz}\frac{d^m{P}_n}{d{z}^m}-2m(1-z^2{)}^{m-1}z\frac{d^m{P}_n}{d{z}^m}+\{n(n+1)-m(m-1)\}(1-z^2{)}^{m-1}\frac{d^{m-1}{P}_n}{d{z}^{m-1}}\\ & =\frac{d}{dz}\{(1-z^2{)}^m\frac{d^m{P}_n}{d{z}^m}\}+(n-m+1)(n+m)(1-z^2{)}^{m-1}\frac{d^{m-1}{P}_n}{d{z}^{m-1}}=0\end{array}$$

より

$${\int }_{-1}^1{P}_{\ell }^m{P}_n^{m}dz=\{n(n+1)-m(m-1)\}{\int }_{-1}^1(1-z^2{)}^{m-1}\frac{d^{m-1}{P}_n}{d{z}^{m-1}}\frac{d^{m-1}{P}_{\ell }}{d{z}^{m-1}}dz$$

$P_n,P_{\ell }$の$m$階微分を変形して$m-1$階微分に書き換えたときに、積分の前に係数$(n-m+1)(n+m)$が出てきていることがわかります。$P_n,P_{\ell }$の$m-1$階微分を変形して$m-2$階微分の式に書き直したときには、$(n-m+2)(n+m-1)$が係数として新たに出てくることがわかります。これを繰り返すと

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-1}^1{P}_{\ell }^m{P}_n^{m}dz& =(n-m+1)(n-m+2)(n+m)(n+m-1){\int }_{-1}^1(1-z^2{)}^{m-2}\frac{d^{m-2}{P}_n}{d{z}^{m-2}}\frac{d^{m-2}{P}_{\ell }}{d{z}^{m-2}}dz\\ & =\cdots \\ & =(n-m+1)(n-m+2)\cdots (n-m+(m-1))\\ & \times (n-m+m)(n+m)(n+m-1)\cdots (n+2)(n+1){\int }_{-1}^1{P}_n{P}_{\ell }dz\\ & =(n+m)(n+m-1)\cdots (n+1)n(n-1)\cdots (n-m+2)(n-m+1){\int }_{-1}^1{P}_n{P}_{\ell }dz\\ \text{(6)}& & =\frac{(n+m)!}{(n-m)!}{\int }_{-1}^1{P}_n{P}_{\ell }dz\underset{Legendre\mathrm{多}\mathrm{項}\mathrm{式}\mathrm{の}\mathrm{直}\mathrm{交}\mathrm{性}}{\underbrace{=}}\frac{(n+m)!}{(n-m)!}\frac{2}{2n+1}{\delta }_{\ell n}\end{array}$$

となり、Legendre陪多項式の直交性が示されました。

ルジャンドル陪多項式の公式

Legendre多項式において成り立つ公式

$$\begin{array}{}\text{(7)}& P_n(-z)=(-1{)}^n{P}_n(z)\end{array}$$

より

$$\begin{array}{}\text{(8)}& P_n^m(-z)=(1-z^2{)}^{m/2}\frac{d^m}{d(-z{)}^m}{P}_n(-z)=(1-z^2{)}^{m/2}(-1{)}^{m+n}\frac{d^m}{d{z}^m}{P}_n(z)=(-1{)}^{m+n}{P}_n^m(z)\end{array}$$

が成り立ちます。そもそものLegendre多項式の総和表現

$$\begin{array}{}\text{(9)}& P_n(z)=\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^{[n/2]}\frac{(-1{)}^k(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!}{z}^{n-2k}\end{array}$$

から、$P_n(z)$は$z^n,z^{n-2},\cdots$の足し合わせとわかります。よって(1)式から、Legendre陪多項式は$n>m$のときのみ値を持つことがわかります。これを踏まえて$P_n^{-m}$を考えましょう。そのために

$$\frac{d^{n+m}}{d{z}^{n+m}}(1-z^2{)}^n=\frac{d^{n+m}}{d{z}^{n+m}}(1-z{)}^n(1+z{)}^n=\sum _{\ell =0}^{n+m}{}_{n+m}{C}_{\ell }\{\frac{d^{\ell }}{d{z}^{\ell }}(1-z{)}^n\}\{\frac{d^{n+m-\ell }}{d{z}^{n+m-\ell }}(1+z{)}^n\}$$

を式変形します。

$$\begin{array}{rl}\frac{d^{\ell }}{d{z}^{\ell }}(1-z{)}^n& =\frac{d^{\ell -1}}{d{z}^{\ell -1}}n(-1)(1-z{)}^{n-1}=\frac{d^{\ell -2}}{d{z}^{\ell -2}}n(n-1)(-1{)}^2(1-z{)}^{n-2}=\cdots \\ \text{(10)}& & =n(n-1)\cdots (n-\ell +1)(-1{)}^{\ell }(1-z{)}^{n-\ell }=\frac{(-1{)}^{\ell }n!}{(n-\ell )!}(1-z{)}^{n-\ell }\end{array}$$

同様に

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{d^{n+m-\ell }}{d{z}^{n+m-\ell }}(1+z{)}^n=\frac{n!}{(\ell -m)!}(1+z{)}^{\ell -m}\end{array}$$

となります。(9)式の最初の部分は$(1-z{)}^n$の$\ell$階の微分より、$\ell >n$の項は0となります。よって$\ell <n$のみ考えれば良いでしょう。さらに後ろの部分は$(1+z{)}^n$の$n+m-\ell$階の微分より、$n+m-\ell >n$の項は0となります。よって$\ell >m$のみ考えれば良いとわかります。よって(9)式の和の取り方に注意して、上の2つの変形から

$$\frac{d^{n+m}}{d{z}^{n+m}}(1-z^2{)}^n=\sum _{\ell =m}^n{}_{n+m}{C}_{\ell }\frac{(-1{)}^{\ell }n!}{(n-\ell )!}(1-z{)}^{n-\ell }\frac{n!}{(\ell -m)!}(1+z{)}^{\ell -m}$$

となります。わかりやすく式変形を進めるために$p=\ell -m$と置くと

$$\begin{array}{rl}\frac{d^{n+m}}{d{z}^{n+m}}(1-z^2{)}^n& =\sum _{p=0}^{n-m}{}_{n+m}{C}_{p+m}\frac{(-1{)}^{p+m}n!}{(n-p-m)!}(1-z{)}^{n-p-m}\frac{n!}{p!}(1+z{)}^p\\ & =\sum _{p=0}^{n-m}{}_{n+m}{C}_{p+m}\frac{(-1{)}^{p+m}n!}{(n-p-m)!}\frac{(1-z{)}^{n-p}}{(1-z{)}^m}\frac{n!}{p!}\frac{(1+z{)}^{p+m}}{(1+z{)}^m}\\ & =\frac{(-1{)}^m}{(1-z^2{)}^m}\frac{(n+m)!}{(n-m)!}\sum _{p=0}^{n-m}\frac{(n-m)!}{p!(n-m-p)!}\underset{(10)}{\underbrace{\frac{(-1{)}^{p}n!}{(n-p)!}(1-z{)}^{n-p}}}\underset{(11)}{\underbrace{\frac{n!}{(m+p)!}(1+z{)}^{p+m}}}\\ & =\frac{(-1{)}^m}{(1-z^2{)}^m}\frac{(n+m)!}{(n-m)!}\sum _{p=0}^{n-m}{}_{n-m}{C}_p\{\frac{d^p}{d{z}^p}(1-z{)}^n\}\{\frac{d^{n-p-m}}{d{z}^{n-p-m}}(1+z{)}^n\}\\ & =\frac{(-1{)}^m}{(1-z^2{)}^m}\frac{(n+m)!}{(n-m)!}\frac{d^{n-m}}{d{z}^{n-m}}(1-z^2{)}^n\end{array}$$

以上より

$$\frac{1}{2^{n}n!}(1-z^2{)}^{m/2}\frac{d^{n+m}}{d{z}^{n+m}}(1-z^2{)}^n=\frac{(-1{)}^m}{2^{n}n!}\frac{(n+m)!}{(n-m)!}(1-z^2{)}^{-m/2}\frac{d^{n-m}}{d{z}^{n-m}}(1-z^2{)}^n$$

Legendre多項式のRodriguesの公式と(1)式より

$$\begin{array}{}\text{(12)}& P_n^m(z)=(-1{)}^m\frac{(n+m)!}{(n-m)!}{P}_n^{-m}(z)\end{array}$$

を得ます。

参考文献

[1] 田島, 近藤, “改訂演習工科の数学4, 複素関数”
[2] 中山, “裳華房フィジックスライブリー, 物理数学II”
[3] 福山, 小形, “基礎物理学シリーズ3, 物理数学I”