微分断面積の変換
まずは、微分散乱断面積を定義するときに現れる微小立体角\(d\Omega = \sin \theta d\theta d\varphi\)が、ローレンツ変換に対してどのように変換されるかを調べてみましょう。 この微分立体角の定義で使われている角度\((\theta, \varphi)\)は、散乱前後の粒子の運動方向とします。 すなわち、ここでは運動速度の変換則を考えることになります。 実験室系を\(O\)、実験室系の\(x\)軸に沿って速度\(v\)で運動している系を\(\bar{O}\)としましょう。 実験室系での粒子の速度の3次元成分をそれぞれ\(\mathbf{u} = (u^1, u^2, u^3)\)とすると、これを速度\(v\)で\(x\)軸方向で動く座標系に移った場合の速度は
\[\bar{u}^1 = \frac{u^1 - v}{1-vu^1}, \quad \bar{u}^2 = \frac{1}{\gamma} \frac{u^2}{1-vu^1}, \quad \bar{u}^3 = \frac{1}{\gamma} \frac{u^3}{1-vu^1} \tag{1}\]のようになります。 これを逆に解いて
\[u^1 = \frac{\bar{u}^1 + v}{1+v \bar{u}^1}, \quad u^2 = \frac{1}{\gamma} \frac{\bar{u}^2}{1+v \bar{u}^1}, \quad u^3 = \frac{1}{\gamma} \frac{\bar{u}^3}{1+v \bar{u}^1} \tag{2}\]と書くこともできます。 今、\((u^1, u^2, u^3) = (u \cos \theta, u \sin \theta \cos \varphi, u \sin \theta \sin \varphi), (\bar{u}^1, \bar{u}^2, \bar{u}^3 ) = (\bar{u} \cos \bar{\theta}, \bar{u} \sin \bar{\theta} \cos \varphi, \bar{u} \sin \bar{\theta} \sin \varphi)\)のように、\(\varphi = \bar{\varphi}\)であるとすると、独立なものは
\[\bar{u} \cos \bar{\theta} = \frac{u \cos \theta - \beta}{1-\beta u \cos \theta}, \quad \bar{u} \sin \bar{\theta} = \frac{1}{\gamma} \frac{u\sin \theta}{1-\beta u \cos \theta} \tag{3}\]もしくは
\[u \cos \theta = \frac{\bar{u}\cos \bar{\theta} + \beta}{1+\beta \bar{u} \cos \bar{\theta}}, \quad u \sin \theta = \frac{1}{\gamma} \frac{\bar{u} \sin \bar{\theta}}{1+\beta \bar{u} \cos \bar{\theta}} \tag{4}\]となります。 これらより
\[\tan \bar{\theta} = \frac{1}{\gamma} \frac{u\sin \theta}{u \cos \theta - \beta}, \quad \tan \theta = \frac{1}{\gamma} \frac{\bar{u} \sin \bar{\theta}}{\bar{u} \cos \bar{\theta} + \beta} \tag{5}\]を得ます。 \(1+\tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}\)より
\[1 + \left( \frac1\gamma \frac{\bar{u} \sin \bar{\theta}}{\bar{u} \cos \bar{\theta} + \beta }\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta} \ \Longrightarrow \ \cos \theta = \frac{\gamma \left( \cos \bar{\theta} + \frac{\beta}{\bar{u}} \right)}{\sqrt{\sin^2 \bar{\theta} + \gamma^2 \left( \cos \bar{\theta} + \frac{\beta}{\bar{u}}\right)^2}} \tag{6}\]この両辺の微小量をとると
\[\begin{aligned} - \sin \theta d\theta &= \gamma \frac{-\sin \bar{\theta} \sqrt{\sin^2 \bar{\theta} + \gamma^2 \left( \cos \bar{\theta} + \frac{\beta}{\bar{u}}\right)^2} - \left(\cos \bar{\theta} + \frac{\beta}{\bar{u}}\right) \frac{1}{2} \left\{ \sin^2 \bar{\theta} + \gamma^2 \left( \cos \bar{\theta} + \frac{\beta}{\bar{u}}\right)^2 \right\}^{-1/2} \left\{ 2\sin \bar{\theta} \cos \bar{\theta} - 2\gamma^2 \left(\cos \bar{\theta} + \frac{\beta}{\bar{u}}\right) \sin \bar{\theta} \right\}}{\sin^2 \bar{\theta} + \gamma^2 \left( \cos \bar{\theta} + \frac{\beta}{\bar{u}}\right)^2} d\bar{\theta} \\ &= \gamma \sin \bar{\theta} \frac{- \left\{ \sin^2 \bar{\theta} + \gamma^2 \left( \cos \bar{\theta} + \frac{\beta}{\bar{u}}\right) \right\} - \left( \cos \bar{\theta} + \frac{\beta}{\bar{u}}\right) \left\{\cos \bar{\theta} - \gamma^2 \left( \cos \bar{\theta} + \frac{\beta}{\bar{u}}\right)\right\}}{\left\{ \sin^2 \bar{\theta} + \gamma^2 \left( \cos \bar{\theta} + \frac{\beta}{\bar{u}}\right)^2\right\}^{3/2}} d\bar{\theta} \\ &= \gamma \sin \bar{\theta} \frac{-\sin^2 \bar{\theta} - \cos^2 \bar{\theta} - \frac{\beta}{\bar{u}} \cos \bar{\theta}}{\left\{ \sin^2 \bar{\theta} + \gamma^2 \left( \cos \bar{\theta} + \frac{\beta}{\bar{u}}\right)^2\right\}^{3/2}} d\bar{\theta} = - \frac{\gamma \left( 1 + \frac{\beta}{\bar{u}} \cos \bar{\theta}\right)}{\left\{ \sin^2 \bar{\theta} + \gamma^2 \left( \cos \bar{\theta} + \frac{\beta}{\bar{u}}\right)^2\right\}^{3/2}} \sin \bar{\theta} d\bar{\theta} \end{aligned}\]微小面積は座標系を移っても変化せず、\(d\sigma = d\bar{\sigma}\)であるとすると
\[\begin{align} &\left(\frac{d\sigma}{d\Omega} \right)_\mathrm{Lab} d\Omega = \left( \frac{d\bar{\sigma}}{d\bar{\Omega}} \right)_\bar{O} d\bar{\Omega} \notag \\ &\Longrightarrow \ \left(\frac{d\sigma}{d\Omega} \right)_\mathrm{Lab} = \left(\frac{d\bar{\sigma}}{d\bar{\Omega}} \right)_\bar{O} \frac{d\bar{\Omega}}{d\Omega} = \left(\frac{d\bar{\sigma}}{d\bar{\Omega}} \right)_\bar{O} \frac{\sin \bar{\theta} d\bar{\theta} d\varphi}{\sin \theta d\theta d\varphi} = \frac{\left\{ \sin^2 \bar{\theta} + \gamma^2 \left( \cos \bar{\theta} + \frac{\beta}{\bar{u}}\right)^2\right\}^{3/2}}{\gamma \left( 1 + \frac{\beta}{\bar{u}} \cos \bar{\theta}\right)} \left(\frac{d\bar{\sigma}}{d\bar{\Omega}} \right)_\bar{O} \tag{7} \end{align}\]光子の場合
角振動数\(\omega\)、波数ベクトル\(\mathbf{k}\)の光子の4元運動量は\(p^\alpha = \left( \frac{\hbar \omega}{c}, \hbar \mathbf{k}\right)\)で与えられます。 また真空中の場合、\(\omega = ck \ (\vert \mathbf{k} \vert = k)\)が成り立っています。 今、波数ベクトルの各成分が\((k^1, k^2, k^3) = (k \cos \theta, k \sin \theta \cos \varphi, k\sin \theta \sin \varphi)\)であるとしましょう。 光子の4元運動量について\(O\)系と\(\bar{O}\)系の間の変換則を考えると
\[\hbar \bar{\omega} = \gamma \hbar \omega - \gamma (\mathbf{v} \cdot \hbar \mathbf{k}) = \gamma \hbar \omega - \gamma \hbar v k \cos \theta \ \Longrightarrow \ \bar{\omega} = \gamma \omega (1-\beta \cos \theta) \tag{8}\]がわかります。 同様に\(\bar{O}\)系から\(O\)系への変換則を計算すれば
\[\omega = \gamma \bar{\omega} (1+\beta \cos \bar{\theta} ) \tag{9}\]のように、ドップラー則を得ることができます。 (9)式からさらに
\[\frac{1}{\gamma} \frac{\omega}{\bar{\omega}} = 1 + \beta \cos \bar{\theta} \ \underbrace{\Longrightarrow}_{(8)} \ \frac{1}{\gamma} \frac{1}{\gamma (1-\beta \cos \theta)} - 1 = \beta \cos \bar{\theta}\]この左辺を整理すると
\[(左辺) = \frac{1-\gamma^2 (1-\beta \cos \theta)}{\gamma^2 (1-\beta \cos \theta)} = \frac{1-\gamma^2 + \gamma^2 \beta \cos \theta}{\gamma^2 (1-\beta \cos \theta)} = \frac{- \beta^2 \gamma^2 + \gamma^2 \beta \cos \theta}{\gamma^2 (1-\beta \cos \theta)} = - \frac{\beta(\beta - \cos \theta)}{(1-\beta \cos \theta)}\]より
\[\cos \bar{\theta} = \frac{- \beta + \cos \theta}{1-\beta \cos \theta} \tag{10}\]を得ます。 さらに
\[\begin{align} \sin^2 \bar{\theta} &= 1-\cos^2 \bar{\theta} = 1 - \left(\frac{- \beta + \cos \theta}{1-\beta \cos \theta} \right)^2 = \frac{1-2\beta \cos \theta + \beta^2 \cos^2 \theta - \cos^2 \theta + 2\beta \cos \theta - \beta^2}{(1-\beta \cos \theta)^2} \notag \\ &= \frac{(1-\beta^2) \sin^2 \theta}{(1-\beta \cos \theta)^2} = \frac{1}{\gamma^2 (1-\beta \cos \theta)^2} \sin^2 \theta \underbrace{=}_{(8)} \left( \frac{\omega}{\bar{\omega}} \right)^2 \sin^2 \theta \ \Longrightarrow \ \sin \bar{\theta} = \frac{\omega}{\bar{\omega}} \sin \theta \tag{11} \end{align}\]のように、光行差 (aberration) の式を得ることができました。 同様に
\[\begin{align} &\frac{\bar{\omega}}{\omega} = \gamma (1-\beta \cos \theta) \ \Longrightarrow \ \beta \cos \theta = 1 - \frac{1}{\gamma} \frac{\bar{\omega}}{\omega} \underbrace{=}_{(9)} 1 - \frac{1}{\gamma^2 (1+\beta \cos \bar{\theta})} = \frac{\beta \gamma^2 (\beta + \cos \bar{\theta})}{\gamma^2 (1 + \beta \cos \bar{\theta})} \notag \\ &\Longrightarrow \ \cos \theta = \frac{\beta + \cos \bar{\theta}}{1 + \beta \cos \bar{\theta}} \tag{12} \end{align}\] \[(11) \ \Longrightarrow \ \sin \theta = \frac{\bar{\omega}}{\omega} \sin \bar{\theta} \tag{13}\]も求めることができます。 (12)式の両辺の微少量をとると
\[\begin{aligned} -\sin \theta d\theta &= \frac{-\sin \bar{\theta} (1+\beta \cos \bar{\theta}) - (\cos \bar{\theta} + \beta) (-\beta \sin \bar{\theta})}{(1 + \beta \cos \bar{\theta})^2} d \bar{\theta} \\ &= \frac{-(1+\beta \cos \bar{\theta}) + (\cos \bar{\theta} + \beta) \beta}{(1+ \beta \cos \bar{\theta})^2} \sin \bar{\theta} d\bar{\theta} = \frac{-1 + \beta^2}{(1+\beta \cos \bar{\theta})^2} \sin \bar{\theta} d\bar{\theta} \\ &= - \frac{1}{\gamma^2 (1+\beta \cos \bar{\theta})^2} \sin \bar{\theta} d\bar{\theta} \underbrace{=}_{(9)} - \left( \frac{\bar{\omega}}{\omega} \right)^2 \sin \bar{\theta} d\bar{\theta} \end{aligned}\]より
\[d\Omega = \sin \theta d\theta d\varphi = \left( \frac{\bar{\omega}}{\omega} \right)^2 \sin \bar{\theta} d\bar{\theta} d\varphi = \left( \frac{\bar{\omega}}{\omega} \right)^2 d\bar{\Omega} \tag{14}\]を得ます。 したがって、微分散乱断面積の変換が
\[\left( \frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_\mathrm{Lab} = \left( \frac{\omega}{\bar{\omega}} \right)^2 \left( \frac{d \bar{\sigma}}{d \bar{\Omega}}\right)_\bar{O}\]のように求まりました。
参考文献
[1] 高原文郎, “特殊相対論”