双曲線関数
双曲線関数は、次のように定義されます。
\[\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \tag{1}\]双曲線関数の公式
次の式を証明しましょう。
\[\cosh x = \left( \frac{1}{2} \sinh 2x \right)^{1/2} e^{-\frac{1}{2} \ln (\tanh x)}, \sinh x = \left( \frac{1}{2} \sinh 2x \right)^{1/2} e^{-\frac{1}{2} \ln (\tanh x)} \tag{2}\]まずは\(\cosh x\)に関する式の右辺を計算していきます。
\[e^{-\frac{1}{2} \ln (\tanh x)} = e^{\ln (\tanh x)^{-1/2}} = (\tanh x)^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{\tanh x}} = \sqrt{\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}} \notag\]これに\(\left( \frac{1}{2} \sinh 2x\right)^{1/2}\)をかけましょう。
\[\begin{align} \left( \frac{1}{2} \sinh 2x \right)^{1/2} e^{-\frac{1}{2} \ln (\tanh x)} &= \sqrt{\frac{e^{2x} - e^{-2x}}{4}} \sqrt{\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}} = \sqrt{\frac{(e^x + e^{-x}) (e^x - e^{-x})}{4}} \sqrt{\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}} \notag \\ &= \sqrt{\frac{(e^x + e^{-x})^2}{4}} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x \notag \end{align}\]以上から、(2)式の\(\cosh x\)に関する公式が示されました。 同様に、\(\sinh x\)の公式を導出しましょう。
\[e^{\frac{1}{2} \ln (\tanh x)} = e^{\ln (\tanh x)^{1/2}} = \sqrt{\tanh x} = \sqrt{\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}} \notag\]より
\[\begin{align} \left( \frac{1}{2} \sinh 2x \right)^{1/2} e^{\frac{1}{2} \ln (\tanh x)} &= \sqrt{\frac{e^{2x} - e^{-2x}}{4}} \sqrt{\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}} = \sqrt{\frac{(e^x + e^{-x}) (e^x - e^{-x})}{4}} \sqrt{\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}} \notag \\ &= \sqrt{\frac{(e^x - e^{-x})^2}{4}} = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x \notag \end{align}\]を得ます。 こうして(2)式の\(\sinh x\)に関する式も示すことができました。
三角関数との類似性
三角関数と似たような公式を導出しましょう。
\[\cosh^2 - \sinh^2 = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = 1 \tag{3}\] \[\cosh x + \sinh x = e^x \tag{5}\] \[\cosh x - \sinh x = e^{-x} \tag{6}\]倍角の公式と似たような公式も導出することができます。
\[\sinh (2x) = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2} = 2 \frac{(e^x - e^{-x})}{2} \frac{(e^x + e^{-x})}{2} = 2 \sinh z \cosh z \tag{7}\] \[\cosh (2x) = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - 2}{2} = 2 \cosh^2 - 1 \underbrace{=}_{(3)} 2 \sinh^2 + 1 \tag{8}\]角度の合成のような公式も導出しましょう。 \(x, y\)を実数とすると
\[\begin{align} \cosh (x+iy) &= \frac{e^{x+iy} + e^{-x-iy}}{2} = \frac{e^x e^{iy} + e^{-x} e^{-iy}}{2} = \frac{e^x (\cos y + i \sin y) + e^{-x} (\cos y - i \sin y)}{2} \notag \\ &= \frac{e^x + e^{-x}}{2} \cos y + i \frac{e^x - e^{-x}}{2} \sin y = \cosh x \cos y + i \sinh x \sin y \tag{9} \end{align}\] \[\begin{align} \sinh (x+iy) &= \frac{e^{x+iy} - e^{-x-iy}}{2} = \frac{e^x (\cos y + i \sin y) - e^{-x} (\cos y - i \sin y)}{2} \notag \\ &= \sinh x \cos y + i \cosh x \sin y \tag{10} \end{align}\]