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種々のローレンツ不変量
ある慣性系を\(K\)、その\(K\)系に対して\(x\)軸方向に速度\(V\)で運動する関係性を\(K'\)としましょう。 着目している粒子群は、\(K\)系および\(K'\)系で一定の運動量をもち、そのローレンツ因子はそれぞれ\(\gamma, \gamma'\)であるとします。 この粒子群が静止して見えるような座標系を\(K_\ast\)系とすると
\[d^3 \mathbf{x} = \frac{1}{\gamma} d^3 \mathbf{x}_\ast \tag{1}\] \[d^3 \mathbf{x}' = \frac{1}{\gamma'} d^3 \mathbf{x}_\ast \tag{2}\]のように、それぞれがローレンツ収縮を受けた形になります。 これらより
\[d^3 \mathbf{x}' = \frac{\gamma}{\gamma'} d^3 \mathbf{x} = \frac{mc^2 \gamma}{mc^2 \gamma'} d^3 \mathbf{x} = \frac{E}{E'} d^3 \mathbf{x} \tag{3}\]のように、3次元空間の体積要素については\(E d^3 \mathbf{x}\)がローレンツ不変量となることがわかります。
次に、運動量空間の体積要素のローレンツ変換を考えてみましょう。 運動量のローレンツ変換より
です。 ここで
\[E = \sqrt{m^2 c^4 + c^2 \mathbf{p}^2} \ \Longrightarrow \ \frac{dE}{dp_x} = \frac{1}{2} \frac{2 c^2 p_x}{\sqrt{m^2 c^4 + c^2 \mathbf{p}^2}} = \frac{c^2 p_x}{E} \tag{5}\]であることを用いると
\[dp_x' = \Gamma \left( dp_x - \frac{V}{c^2} dE\right) = \Gamma \left( dp_x - \frac{V}{c^2} \frac{c^2 p_x}{E} dp_x\right) = \Gamma \left( 1 - \frac{V p_x}{E} \right) dp_x \tag{6}\] \[dp_y' = dp_y, \quad dp_z' = dp_z \tag{7}\]のように変換則が得られます。 これらより
\[d^3 \mathbf{p}' = \Gamma \left( 1 - \frac{Vp_x}{E}\right) d^3 \mathbf{p} \tag{8}\]を得ます。 またエネルギーのローレンツ変換から
\[E' = \Gamma (E-Vp_x) \tag{9}\]であるので
\[\frac{d^3 \mathbf{p}'}{E'} = \frac{\Gamma \left( 1 - \frac{Vp_x}{E}\right) d^3 \mathbf{p}}{\Gamma (E-Vp_x)} = \frac{d^3 \mathbf{p}}{E} \tag{10}\]が得られます。 ここから、運動量空間の体積要素については\(\frac{d^3 \mathbf{p}}{E}\)がローレンツ不変量であるとわかります。 (3), (10)式から
\[d^3 \mathbf{x}' d^3 \mathbf{p}' = \frac{E}{E'} d^3 \mathbf{x} \frac{E' d^3 \mathbf{p}}{E} = d^3 \mathbf{x} d^3 \mathbf{p} \tag{11}\]のように、位相空間の体積要素\(d^3 \mathbf{x} d^3 \mathbf{p}\)がローレンツ不変となることが示されました。 この体積要素中の粒子数\(f(t, \mathbf{x}, \mathbf{p}) d^3 \mathbf{x} d^3 \mathbf{p}\)はもちろんローレンツ不変量であるので、分布関数\(f(t, \mathbf{x}, \mathbf{p})\)もローレンツ不変量となります。
光子の場合
以下では、これまでの議論が光子についても成り立つとしましょう。 ある容器に閉じ込められた光子気体を考え、光子気体の単位振動数・単位立体角あたりの数密度を\(n_\nu\)とします。 すると、光子については\(p = \frac{E}{c} = \frac{h\nu}{c}\)が成り立つため
\[d^3 \mathbf{p} = p^2 dp d\Omega = \frac{h^3 \nu^2}{c^3} d\nu d\Omega \tag{12}\]のようになります。 分布関数の定義から
\[f(t, \mathbf{x}, \mathbf{p}) = \frac{dN}{d^3 \mathbf{x} d^3 \mathbf{p}} = \frac{c^3}{h^3 \nu^2} frac{dN}{d^3 \mathbf{x} d\nu d\Omega} = \frac{c^3 n_\nu (\mathbf{x}, \Omega)}{h^3 \nu^2} \tag{13}\]を得ます。 ここで\(d\Omega = \sin \theta d\theta d\varphi\)は微小立体角です。 (13)式で分布関数がローレンツ不変であることから、\(\frac{n_\nu (\mathbf{x}, \Omega)}{\nu^2}\)もローレンツ不変であるとわかります。 光子気体の単位振動数・単位立体角あたりのエネルギー密度と輻射強度を、それぞれ\(U_\nu (\mathbf{x}, \Omega), I_\nu (\mathbf{x}, \Omega)\)は
\[U_\nu (\mathbf{x}, \Omega) = h \nu n_\nu (\mathbf{x}, \Omega), \quad I_\nu = c U_\nu (\mathbf{x}, \Omega) \tag{14}\]のように与えられるため、\(\frac{U_\nu (\mathbf{x}, \Omega)}{\nu^3}, \frac{I_\nu (\mathbf{x}, \Omega)}{\nu^3}\)もローレンツ不変量となります。
コンプトン・ゲッティング効果 (Computon-Getting effect)
参考文献
[] Rybicki & Lightman, “Radiative Processes in Astrophysics”
[] 高原文郎, “特殊相対論”