磁場なしプラズマ中の電磁波

横誘電率の計算

等方的な一様プラズマ中では、波動を縦波と横波に分離できます。そのため、ラングミュア波やイオン音波では、縦波について考えてきました。そこで以降では、横波について調べてみましょう。

誘電率と縦誘電率・横誘電率との関係は

\[\varepsilon_\mathrm{T} (\mathbf{k}, \omega) = \frac{1}{2} (\mathrm{Tr} \ \varepsilon - \varepsilon_\mathrm{L}) \tag{1}\]

にあるのでした。そして誘電率と縦誘電率はそれぞれ

\[\varepsilon = \left( 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} \right) I + \sum_s \frac{4\pi q_s^2}{m_s \omega^2} \int \frac{\mathbf{v} \mathbf{v}}{\omega - \mathbf{k} \cdot \mathbf{v}} (\mathbf{k} \cdot \nabla_v f_{0, s}) d^3 \mathbf{v} \tag{2}\] \[\varepsilon_\mathrm{L} = \frac{\mathbf{k} \varepsilon \mathbf{k}}{k^2} = \left( 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} \right) + \sum_s \frac{4\pi q_s^2}{m_s \omega^2} \int \frac{\mathbf{k} \cdot \mathbf{v} \mathbf{v} \cdot \mathbf{k}}{k^2} \frac{\mathbf{k} \cdot \nabla_v f_{0, s}}{\omega - \mathbf{k} \cdot \mathbf{v}} d^3 \mathbf{v}\tag{3}\]

で与えられることから、横誘電率は

\[\begin{align} \varepsilon_\mathrm{T} &= \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} \right) + \sum_s \frac{2\pi q_s^2}{m_s \omega^2} \int \frac{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}{\omega - \mathbf{k} \cdot \mathbf{v}} (\mathbf{k} \cdot \nabla_v f_{0, s}) d^3 \mathbf{v} \notag \\ & \qquad - \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} \right) - \sum_s \frac{2\pi q_s^2}{m_s \omega^2} \frac{\mathbf{k} \cdot \mathbf{v} \mathbf{v} \cdot \mathbf{k}}{k^2} \frac{\mathbf{k} \cdot \nabla_v f_{0, s}}{\omega - \mathbf{k} \cdot \mathbf{v}} d^3 \mathbf{v} \notag \\ &= \left( 1 - \frac{\omega_p^2}{\omega^2} \right) + \sum_s \frac{4\pi q_s^2}{m_s \omega^2} \int \frac{1}{2} \left( v^2 - \frac{\mathbf{k} \cdot \mathbf{v} \mathbf{v} \cdot \mathbf{k}}{k^2} \right) \frac{\mathbf{k} \cdot \nabla_v f_{0, s}}{\omega - \mathbf{k} \cdot \mathbf{v}} d^3 \mathbf{v} \tag{4} \end{align}\]

となります。ここで、等方的なプラズマを考えているため、伝播する波の波数ベクトルを \(x\) 軸の方向にとっても問題はありません。すると \(\mathbf{k} = k (1, 0, 0)\) より

\[\mathbf{v}^2 - \frac{\mathbf{k} \cdot \mathbf{v}\mathbf{v} \cdot \mathbf{k}}{k^2} = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 - \frac{v_x^2 k^2}{k^2} = v_y^2 + v_z^2 \tag{5}\]

となります。そして電子のみからなる 1 成分プラズマを考え、分布関数 \(f_{0, e}\) にボルツマン分布関数を仮定しましょう。

\[f_{0, e} = \frac{n_0}{(\pi v_e^2)^{3/2}} e^{-\frac{v^2}{v_e^2}} \tag{6}\] \[\mathbf{k} \cdot \nabla_v f_{0, e} = k \frac{\partial}{\partial v_x} \frac{n_0}{(\pi v_e^2)^{3/2}} e^{-\frac{v^2}{v_e^2}} = \frac{n_0 k}{(\pi v_e^2)^{3/2}} \left( - \frac{2 v_x}{v_e^2}\right) e^{-\frac{v^2}{v_e^2}} \tag{7}\] \[\begin{align} \varepsilon_\mathrm{T} &= \left( 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2}\right) + \frac{4\pi e^2}{m_e \omega^2} \frac{n_0}{(\pi v_e^2)^{3/2} v_e^2} \int (v_y^2 + v_z^2) \frac{k v_x}{k v_x - \omega} e^{-\frac{v^2}{v_e^2}} d^3 \mathbf{v} \notag \\ &= \left( 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2}\right) + \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2} \frac{1}{(\pi v_e^2)^{3/2} v_e^2} \int_{-\infty}^\infty \frac{k v_x}{k v_x - \omega} e^{-\frac{v_x^2}{v_e^2}} dv_x \iint_{-\infty}^\infty (v_y^2 + v_z^2) e^{-\frac{v_y^2 + v_z^2}{v_e^2}} dv_y dv_z \tag{8} \end{align}\]

途中、電子プラズマ振動数 \(\omega_{pe} = \sqrt{\frac{4\pi e^2 n_0}{m_e}}\) を用いました。 \(v_y, v_z\) の積分部分において、\(v_y = R \cos \varphi, v_z = R \sin \varphi\) のように変数変換をすると、\(dv_y dv_z = R dR d\varphi\) のようになります。また積分範囲は \(v_y, v_z \in [-\infty, \infty]\) から \(R \in [0, \infty], \varphi \in [0, 2\pi]\) のようになります。すると

\[\begin{align} (v_y, v_z の積分) &= \int_0^\infty R^3 e^{-\frac{R^2}{v_e^2}} dR \int_0^{2\pi} d\varphi = - \pi \int_0^\infty R^2 v_e^2 \underbrace{\left( - \frac{2R}{v_e^2} e^{-\frac{R^2}{v_e^2}} \right)}_{=\frac{d}{dR} e^{-\frac{R^2}{v_e^2}}} dR \notag \\ &\underbrace{=}_{部分積分} - \pi v_e^2 \left( \left[ R^2 e^{-\frac{R^2}{v_e^2}}\right]_0^\infty - 2 \int_0^\infty R e^{-\frac{R^2}{v_e^2}} dR \right) = - \pi v_e^4 \int_0^\infty \left( - \frac{2R}{v_e^2} \right) e^{-\frac{R^2}{v_e^2}} dR \notag \\ &= - \pi v_e^4 \left[ e^{-\frac{R^2}{v_e^2}} \right]_0^\infty = \pi v_e^4 \tag{9} \end{align}\]

のように計算されます。以上より

\[\begin{align} \varepsilon_\mathrm{T} &= \left( 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2}\right) + \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2} \frac{1}{\sqrt{\pi} v_e} \int_{-\infty}^\infty \frac{k v_x}{k v_x - \omega} e^{-\frac{v_x^2}{v_e^2}} dv_x \notag \\ &= \left( 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2}\right) + \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2} \frac{1}{\sqrt{\pi} v_e} \int_{-\infty}^\infty \frac{\frac{v_x}{v_e}}{\frac{v_x}{v_e} - \frac{\omega}{k v_e}} e^{-\frac{v_x^2}{v_e^2}} dv_x \notag \\ &\underbrace{=}_{z = v_x / v_e, \zeta = \omega / k v_e} \left( 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2}\right) + \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2} \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^\infty \frac{z}{z - \zeta} e^{-z^2} dz \notag \\ &= \left( 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2}\right) + \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2} \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^\infty \left( \frac{z- \zeta}{z - \zeta} + \frac{\zeta}{z - \zeta} \right)e^{-z^2} dz \notag \\ &= \left( 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2}\right) + \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2} \{1 + \zeta Z(\zeta) \} = 1 + \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2} \zeta Z(\zeta) \tag{10} \end{align}\]

のように、プラズマ分散関数 \(Z(\zeta)\)を用いて表現することができます。

電磁波

ここで考えている波動は電磁波であるとし、波動の位相速度は電子の熱速度より十分速いとしましょう。すなわち \(\zeta = \frac{\omega}{k v_e} \gg 1\) です。するとプラズマ分散関数の \(\zeta \gg 1\) の場合の級数展開と、横波の分散関係式 \(\varepsilon_\mathrm{T} = c^2 k^2 / \omega^2\)より

\[\varepsilon_\mathrm{T} \approx 1 + \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2} \zeta \left( i \sigma \sqrt{\pi} e^{-\zeta^2} - \frac{1}{\zeta} \right) = 1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2} + i \sigma \sqrt{\pi} \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2} \zeta e^{-\zeta^2} = \frac{c^2 k^2}{\omega^2} \tag{11}\]

実部のみを考えると

\[1 - \frac{\omega_{pe}^2}{\omega^2} - \frac{c^2 k^2}{\omega^2} = 0 \ \Longrightarrow \ \omega^2 = \omega_{pe}^2 + c^2 k^2 \tag{12}\]

のように、分散関係式を得ることができます。この式は、ラングミュア波の分散関係式と良く似た形をしています。そして、\(\omega_{pe}^2\) は (変位電流を打ち消すための) 電子の伝導電流による復元力が働いていることを示しています。真空中の電磁波が、プラズマ中においては変形されることがわかります。
この分散関係式から、プラズマ中ではある臨界密度よりも低い密度のところでのみ、電磁波の伝搬が可能であることがわかります。実際、プラズマ中に入射した電磁波の角周波数 \(\omega_0\) がプラズマ振動数より大きなところで、波数 \(k\) が実数となる伝搬解が得られます。逆に \(\omega_0 < \omega_{pe}\) の角周波数では、波数 \(k\) が虚数となり、減衰長 \(c / \sqrt{\omega_{pe}^2 - \omega_0^2}\) をもつ空間的な減衰解となります。この現象を電磁波のカットオフ (cutoff) と呼びます。この臨界点では、波数が \(k \rightarrow 0\) となり、電磁場は時間的には振動しますが、空間的にはあまり変化せず、電磁場は伝搬可能領域に向けて反射されます。電磁波が \(\omega_0 < \omega_{pe}\) において減衰する距離の目安 \(c/ \omega_{pe}\) を表皮長 (skin depth) と呼びます。波の位相速度については

\[\frac{\omega}{ck} = \sqrt{1 + \frac{\omega_{pe}^2}{c^2 k^2}} \tag{13}\]

のように、カットオフにおいて位相速度が無限大となります。電磁波のカットオフは、電離層でのラジオ波の透過・反射、慣性核融合における燃料ペレットへのレーザー光の効率的な照射など、工学分野で重要なものです。

磁場なしプラズマ中の電磁波の伝搬および反射については、プラズマ運動論的な導出だけでなく、マクロな見地から導出することもできます。詳しくはこちらのページもぜひご覧ください。

カットオフの応用

電離層による電波の反射と月面電波天文台

これまでの説明から、磁場のないプラズマ中では、電磁波が反射される角周波数があることが示されました。地球大気上空には電離層が存在し、そのプラズマ周波数は 10 MHz とされています。すなわち、10 MHz 以下の電波が宇宙から飛来しても、電離層で跳ね返されてしまい、地上からは観測することができません。宇宙の腫れ上がり (再結合期) のあと、初代星が形成されるまでの間、宇宙は暗黒時代を迎えます。暗黒時代には電離光子が存在せず、宇宙は中性水素で満たされています。そのため、暗黒時代の構造形成を調べたければ、中性水素から出る放射である 21 cm 線を観測しなければなりません。 21 cm 線は 1420 MHz の周波数ですが、宇宙膨張に伴う赤方偏移により、周波数がさらに下がります。よってこれを地球上から観測するのは、電離層による電波の反射やその他のノイズにより、困難です。そこで考えられているのが、電離層のない月面に電波望遠鏡を建設しようという試みです。アメリカが主導となっている Lunar Surface Electromagnetics Experiment (LuSEE) - Night などが計画されいます。

金属の光沢

金属中の伝導電子をプラズマのようにモデル化したものを、ドルーデ模型 (Drude model) と呼びます。一般的な金属の場合、金属のプラズマ周波数は紫外線領域になることが知られています。鉄などの金属の表面で可視光が反射され、光沢を帯びて見えるのは、電磁波のカットオフによる反射によるものです。

大気圏突入時の通信遮断

宇宙船が大気圏に再突入すると、周囲の空気が圧縮され、高温・高密度のプラズマが発生します。そのプラズマ周波数が通信電波の周波数を超えることで、通信電波のカットオフが起こり、この間は交信ができません。

参考文献

[1] Bale et al., 2023, “LuSEE ‘Night’: The Lunar Surface Electromagnetics Experiment”
[2] 田中基彦, 西川恭治, “高温プラズマの物理学”
[3] Chen, 内田岱二郎(訳), “プラズマ物理入門”
[4] 観山正見, 野本憲一, 二間瀬敏史, “天体物理学の基礎 II”