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相対論的な磁気流体波動
方程式の線形化
一様磁場中の磁気流体線形波動を考えましょう。 非摂動状態はエネルギー密度\(\varepsilon_0\)、圧力\(P_0\)で静止しており、磁場は\(z\)軸方向に\(B_0\)であるとします。 ここに平面波の摂動\(\exp (-i\omega t + i \mathbf{k} \cdot \mathbf{x})\)を加えます。 波数ベクトル\(\mathbf{k}\)は\(xz\)平面内にあるとし、\(z\)軸と角度\(\theta\)を成しているとします。 すなわち
\[\mathbf{k} = (k_x, 0, k_z) = k (\sin \theta, 0, \cos \theta) \tag{1}\]とします。 1次の摂動までを考える場合
\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}} \approx 1 + \frac{1}{2} \left(\frac{v}{c}\right)^2 \approx 1 \tag{2}\]のように近似できるため、4元速度の摂動は
\[u^\mu = (c, v_{1x}, v_{1y}, v_{1z}) \tag{3}\]のようになります。 ここから、電場の摂動は
\[\mathbf{E} = - \frac{\mathbf{v}}{c} \times \mathbf{B} = \left( - \frac{v_{1y}}{c} B_0, \frac{v_{1x}}{c} B_0, 0\right) \tag{4}\]のようになり、\(xy\)成分のみを持つことになります。 基礎方程式である誘導方程式と、エネルギー運動量保存則の式を線形化しましょう。 まずは誘導方程式の線形化です。
\[\frac{\partial B_x}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial y} (\mathbf{v} \times \mathbf{B})_z - \frac{\partial}{\partial z} (\mathbf{v} \times \mathbf{B})_y = - \frac{\partial}{\partial z} \left( v_{1x} B_0\right) = - i k_z B_0 v_{1x} \ \Longrightarrow \ \omega B_{1x} = k_z B_0 v_{1x} \tag{5}\] \[\frac{\partial B_y}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial z} (\mathbf{v} \times \mathbf{B})_x - \frac{\partial}{\partial x} (\mathbf{v} \times \mathbf{B})_z = \frac{\partial}{\partial z} (-v_{1y} B_0) = - i k_z B_0 v_{1y} \ \Longrightarrow \ \omega B_{1y} = k_z B_0 v_{1y} \tag{6}\] \[\begin{align} &\frac{\partial B_z}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x} (\mathbf{v} \times \mathbf{B})_y - \frac{\partial}{\partial y} (\mathbf{v} \times \mathbf{B})_x = \frac{\partial}{\partial x} (v_{1x} B_0) - \frac{\partial}{\partial y} (-v_{1y} B_0) = i k_x B_0 v_{1x} \notag \\ &\Longrightarrow \ \omega B_{1z} = -k_x B_0 v_{1x} \tag{7} \end{align}\]このように見ると、磁場の自由度は\(B_{1x}, B_{1y}, B_{1z}\)の3つと思われますが、マクスウェル方程式の1つから
\[\nabla \cdot \mathbf{B} = i k_x B_{1x} + i k_z B_{1z} =0 \tag{8}\]を常に満たすため、磁場の自由度は2つであることに注意しましょう。 エネルギー運動量保存則の線形化のために、まずは磁場の2次の項を計算しましょう。
\[B^2 = (\mathbf{B}_0 + \mathbf{B}_1)^2 = B_0^2 + 2 \mathbf{B}_0 \cdot \mathbf{B}_1 = B_0^2 + 2 B_0 B_{1z} \tag{9}\] \[\nabla \cdot (\mathbf{B} \mathbf{B}) = \partial_j (\mathbf{B} B_j) = B_j (\partial_j \mathbf{B}) + \underbrace{\mathbf{B} (\partial_j B_j)}_{=0} = (B_0 \partial_z + B_{1j} \partial_j) (\mathbf{B}_0 + \mathbf{B}_1) = i k_z B_0 \mathbf{B}_1 \tag{10}\]そしてポインティングベクトルは、(4)式の電場がすでに1次の摂動量であることから
\[\frac{c}{4\pi} \mathbf{E} \times \mathbf{B} = \frac{B_0^2}{4\pi} \left( \begin{array}{c} -v_{1y} \\ v_{1x} \\ 0 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) = \frac{B_0^2}{4\pi} \left( \begin{array}{c} v_{1x} \\ v_{1y} \\ 0 \end{array}\right) \tag{11}\]となります。 以上より、エネルギー保存の式を線形化したものは、\(\gamma \approx 1\)と\(E^2\)は2次であることから無視して
\[\begin{align} &\frac{\partial}{\partial t} \left( \varepsilon + \frac{1}{8\pi} B^2\right) + \nabla \cdot \left\{ (\varepsilon + P) \mathbf{v} + \frac{c}{4\pi} \mathbf{E} \times \mathbf{B}\right\} \notag \\ &= \frac{\partial}{\partial t} \left( \varepsilon_0 + \varepsilon_1 + \frac{1}{8\pi} B_0^2 + \frac{1}{4\pi} B_0 B_{1z} \right) + \nabla \cdot \left\{ (\varepsilon_0 + \varepsilon_1 + P_0 + P_1) \mathbf{v}_1 + \frac{1}{4\pi} B_0^2 (v_{1x} \mathbf{e}_x + v_{1y} \mathbf{e}_y)\right\} \notag \\ &= \frac{\partial}{\partial t} \left( \varepsilon_1 + \frac{1}{4\pi} B_0 B_{1z} \right) + \nabla \cdot \left\{ (\varepsilon_0 + P_0) \mathbf{v}_1 + \frac{1}{4\pi} B_0^2 (v_{1x} \mathbf{e}_x + v_{1y} \mathbf{e}_y)\right\} \notag \\ &= -i\omega \left( \varepsilon_1 + \frac{1}{4\pi} B_0 B_{1z} \right) + ik_x (\varepsilon_0 + P_0) v_{1x} + ik_z(\varepsilon_0 + P_0) v_{1z} + \frac{B_0^2}{4\pi} ik_x v_{1x} = 0 \tag{12} \end{align}\]続いて、運動量保存の式を線形化しましょう。
\[\begin{align} &\frac{\partial}{\partial t} \left\{ (\varepsilon + P) \mathbf{v} + \frac{c}{4\pi} \mathbf{E} \times \mathbf{B}\right\} + c^2 \nabla \cdot \left\{ -\frac{1}{4\pi} \mathbf{B} \mathbf{B} + \left( P + \frac{1}{8\pi} B^2\right) \mathbf{I} \right\} \notag \\ &= \frac{\partial}{\partial t} \left\{ (\varepsilon_0 + P_0) \mathbf{v}_1 + \frac{B_0^2}{4\pi} (v_{1x} \mathbf{e}_x + v_{1y} \mathbf{e}_y)\right\} - \frac{c^2}{4\pi} \nabla \cdot (\mathbf{B} \mathbf{B}) + c^2 \nabla (P_0 + P_1) + c^2 \nabla \left( \frac{B_0^2}{8\pi} + \frac{B_0}{4\pi} B_{1z}\right) \notag \\ &= \frac{\partial}{\partial t} \left\{ (\varepsilon_0 + P_0) \mathbf{v}_1 + \frac{B_0^2}{4\pi} (v_{1x} \mathbf{e}_x + v_{1y} \mathbf{e}_y)\right\} - \frac{c^2}{4\pi} ik_z B_0 \mathbf{B}_1 + c^2 \nabla P_1 + c^2 \frac{B_0}{4\pi} \nabla B_{1z} = \mathbf{0} \tag{13} \end{align}\]各成分を見ていきます。 最初は\(x\)成分です。
\[-i\omega \left\{ (\varepsilon_0 + P_0) v_{1x} + \frac{B_0^2}{4\pi} v_{1x}\right\} - \frac{c^2}{4\pi} ik_z B_0 B_{1x} + c^2 ik_x P_1 + c^2\frac{B_0}{4\pi} ik_x B_{1z} = 0 \tag{14}\]続いて\(y\)成分です。
\[-i \omega \left\{ (\varepsilon_0 + P_0) v_{1y} + \frac{B_0^2}{4\pi} v_{1y}\right\} - \frac{c^2}{4\pi} ik_z B_0 B_{1y} = 0 \tag{15}\]最後に\(z\)成分は
\[-i\omega (\varepsilon_0 + P_0) v_{1z} - \frac{c^2}{4\pi} ik_z B_0 B_{1z} + c^2 ik_z P_1 + c^2 \frac{B_0}{4\pi} ik_z B_{1z} = -i\omega (\varepsilon_0 + P_0) v_{1z} + c^2 ik_z P_1 = 0 \tag{16}\]となります。 摂動が断熱的であるとして、音速を用いて圧力の摂動とエネルギー密度の摂動の関係を
\[c_s^2 = c^2 \frac{\partial P}{\partial \varepsilon} \ \Longrightarrow \ c_s^2 = c^2 \frac{P_1}{\varepsilon_1} \tag{17}\]のように表します。 磁場の自由度が2つ、速度の自由度が3つ、圧力(エネルギー)の自由度が1つなので、自由度は合わせて6つです。 よって与えられた波数\(\mathbf{k}\)に対し、6つの\(\omega\)が得られるはずです。 しかし、波動の正負の向きの伝播は物理的に見ると同等であるため、分散関係は\(\omega^2\)の3次式で書けると予想することができます。
アルヴェーン波
一般的な場合に入る前に、背景磁場に平行に伝播する場合と、垂直に伝播する場合を調べてみましょう。 平行伝播の場合、\(k_x = 0\)と考えることができます。 すると、線形化された方程式はそれぞれ
\[\omega B_{1x} = k_z B_0 v_{1x} \tag{18}\] \[\omega B_{1y} = k_z B_0 v_{1y} \tag{19}\] \[B_{1z} = 0 \tag{20}\] \[\omega \left( \varepsilon_1+ \frac{1}{4\pi} B_0 B_{1z} \right) - k_z (\varepsilon_0 + P_0) v_{1z} = 0 \tag{21}\] \[\omega \left( \varepsilon_0 + P_0 + \frac{B_0^2}{4\pi} \right) v_{1x} + \frac{c^2}{4\pi} k_z B_0 B_{1x} = 0 \tag{22}\] \[\omega \left( \varepsilon_0 + P_0 + \frac{B_0^2}{4\pi} \right) v_{1y} + \frac{c^2}{4\pi} k_z B_0 B_{1y} = 0 \tag{23}\] \[\omega (\varepsilon_0 + P_0) v_{1z} - c^2 k_z P_1 = 0 \tag{24}\]のようになります。 誘導方程式の\(x\)成分(18)式と、運動量保存則の\(x\)成分(22)式より
\[\begin{align} &\omega \left( \varepsilon_0 + P_0 + \frac{B_0^2}{4\pi} \right) v_{1x} + \frac{c^2}{4\pi} k_z B_0 \frac{k_z}{\omega} B_0 v_{1x} = 0 \notag \\ &\Longrightarrow \ \omega^2 = -\frac{c^2}{4\pi} \frac{1}{\varepsilon_0 + P_0 + \frac{B_0^2}{4\pi}} B_0^2 k_z^2 = - \frac{c^2 B_0^2}{4\pi (\varepsilon_0 + P_0) + B_0^2} k_z^2 \tag{25} \end{align}\]のようになります。
お、おかしい...(25)式の符号がマイナスになっている。正しくは右辺の符号がプラスです。
ここから
\[v_A = \frac{cB_0}{\sqrt{4\pi (\varepsilon_0 + P_0) + B_0^2}} \tag{26}\]のように定義でき、これをアルヴェーン速度と呼びます。 このアルヴェーン速度で伝播する波動を、アルヴェーン波と呼びます。 \(x\)成分に関する方程式のみから求まったこの波動には、\(\varepsilon_1\)が出てくる余地がありません。 すなわちこのモードは、\(\varepsilon_1 = 0\)の横波(非圧縮性の波動)と考えることができます。 このアルヴェーン速度は、磁場の大きさ\(B_0\)が大きな極限では
\[v_A \approx \frac{cB_0}{B_0} = c \tag{27}\]のように、光速度に近づきます。 ここからわかるように、磁場のエネルギーが静止質量エネルギーより大きくなるような場合には、相対論的な効果を含めた磁気流体の議論が必要です。 また非相対論的極限、すなわち\(\varepsilon_0 \approx c^2 \rho_\mathrm{nr}, \varepsilon \gg P_0, B_0^2\)ならば
\[v_A \approx \frac{cB_0}{\sqrt{4\pi c^2 \rho_\mathrm{nr}}} = \frac{B_0}{\sqrt{4\pi \rho_\mathrm{nr}}} \tag{28}\]のように、非相対論的なアルヴェーン波に一致します。
ちなみに、(20), (21)式より
さらに(17)式より
\[P_1 = \frac{c_s^2}{c^2 \omega} k_z (\varepsilon_0 + P_0) v_{1z} \tag{30}\]となります。 これを運動量保存則の\(z\)成分(24)式に用いれば
\[\omega (\varepsilon_0 + P_0) v_{1z} = c^2 k_z \frac{c_s^2}{c^2 \omega} k_z (\varepsilon_0 + P_0) v_{1z} \ \Longrightarrow \ \omega^2 = c_s^2 k_z^2 \tag{31}\]のように、音波の分散関係式を求めることができます。 これは背景磁場\(B_0\)が存在しない場合と同じであり、背景磁場の方向の運動は、磁場の影響を受けないことを意味しています。
磁気音波
続いて、背景磁場に垂直に伝播する場合を考えましょう。 このとき、\(k_z = 0\)となります。 すると、線形化された方程式はそれぞれ
\[\omega B_{1x} = 0 \tag{32}\] \[\omega B_{1y} = 0 \tag{33}\] \[\omega B_{1z} = -k_x B_0 v_{1x} \tag{34}\] \[\omega \left( \varepsilon_1 + \frac{1}{4\pi} B_0 B_{1z} \right) - k_x (\varepsilon_0 + P_0) v_{1x} - \frac{B_0^2}{4\pi} k_x v_{1x} = 0 \tag{35}\] \[\omega \left(\varepsilon_0 + P_0 + \frac{B_0^2}{4\pi} \right) v_{1x} - c^2 k_x P_1 - c^2 \frac{B_0}{4\pi} k_x B_{1z} = 0 \tag{36}\] \[\omega \left( \varepsilon_0 + P_0 + \frac{B_0^2}{4\pi} \right) v_{1y} = 0 \tag{37}\] \[\omega (\varepsilon_0 + P_0) v_{1z} = 0 \tag{38}\]のようになります。 (37), (38)式からわかるように、\(yz\)平面内の速度の摂動は独立であり、\(\omega = 0\)の非伝播性の渦モードとなります。 また(33)式から、\(y\)軸方向の磁場の摂動も\(\omega=0\)の非伝播性の磁場のシアーモードとなります。
(34), (35)式より
この式を(17)式に代入すれば
\[P_1 = \frac{c_s^2}{c^2} \varepsilon_1 = \frac{c_s^2}{c^2} \left( \varepsilon_0 + P_0 + \frac{B_0^2}{4\pi} + \frac{B_0^2}{4\pi} \right) \frac{k_x}{\omega} v_{1x} \tag{40}\]を得ます。 これを(36)式に代入すると
\[\begin{align} &\left( \varepsilon_0 + P_0 + \frac{B_0^2}{4\pi} \right) v_{1x} - c^2 \frac{k_x}{\omega} \frac{c_s^2}{c^2} \left( \varepsilon_0 + P_0 + \frac{B_0^2}{4\pi} + \frac{B_0^2}{4\pi} \right) \frac{k_x}{\omega} v_{1x} - c^2 \frac{B_0}{4\pi} \frac{k_x}{\omega} \left( - \frac{k_x}{\omega} B_0 v_{1x}\right) = 0 \notag \\ & \Longrightarrow \ \left( \varepsilon_0 + P_0 + \frac{B_0^2}{4\pi} \right) \omega^2 = c_s^2 \left( \varepsilon_0 + P_0 + \frac{B_0^2}{4\pi} + \frac{B_0^2}{4\pi} \right) k_x^2 - c^2 \frac{B_0^2}{4\pi} k_x^2 \notag \\ & \Longrightarrow \ \omega^2 = c_s^2 \left( 1 + \frac{B_0^2}{4\pi(\varepsilon_0 + P_0) + B_0^2} \right) k_x^2 - c^2 \frac{B_0^2}{4\pi (\varepsilon_0 + P_0) + B_0^2} k_x^2 \underbrace{=}_{(26)} \left( - v_A^2 + c_s^2 + \frac{c_s^2 v_A^2}{c^2} \right) k_x^2 \tag{41} \end{align}\]となります。
本当は$$v_A^2$$の符号がプラス、$$c_s^2 v_A^2 / c^2$$の符号がマイナスとなります。どこから符号が間違っているのやら...
以上より
\[\frac{\omega^2}{k_x^2} = v_A^2 + c_s^2 - \frac{c_s^2 v_A^2}{c^2} \tag{42}\]のように、磁気音波の位相速度が求まりました。 (42)式から、復元力としてガス圧と磁気圧が寄与している様子がわかります。 磁気音波の位相速度は音速とアルヴェーン速度よりも大きく、そして光速よりも小さいとわかります。
一般の斜め伝播の場合には、少し複雑です。 背景磁場と波の進行方向がなす面に垂直な\(y\)成分は、他と独立となり
を満たすアルヴェーン波となります。 群速度は大きさが\(v_A\)で、背景磁場の方向に進むことに注意しましょう。 背景磁場と進行方向がなす平面内の振動は結合しており、もはや純粋な縦波や横波ではなくなります。 詳細は省略しますが、磁場を消去し、\(\varepsilon_1, v_x, v_z\)の式から分散関係を求めると
\[\omega^4 - \left( c_s^2 + v_A^2 - \frac{c_s^2 v_A^2 \sin^2 \theta}{c^2}\right) k^2 \omega^2 + c_s^2 v_A^2k^4 \cos^2 \theta = 0 \tag{44}\]のようになります。 この解は
\[\omega^2 = \frac{k^2}{2} \left\{ c_s^2 + v_A^2 - \frac{c_s^2 v_A^2 \sin^2 \theta}{c^2} \pm \sqrt{\left( c_s^2 + v_A^2 - \frac{c_s^2 v_A^2 \sin^2 \theta}{c^2}\right)^2 - 4c_s^2 v_A^2 k^4 \cos^2 \theta}\right\} \tag{45}\]となります。 プラス符号のモードを速い磁気音波 (速進波)、マイナス符号のモードを遅い磁気音波 (遅進波)と呼びます。 縦波に近い場合には、速い磁気音波は、ガス圧の摂動と磁場の摂動の位相が揃っています。 しかし、遅い磁気音波に対しては、その位相が逆転しています。 波の進行方向の角度に対する変化の様子は、音速とアルヴェーン速度の大小関係により異なります。 音速がアルヴェーン速度より大きい場合には、平行伝播の音波が速い磁気音波のモードとなり、角度の増加とともに位相速度が増大します。 そして垂直伝播では、磁気音波に一致します。 このとき、平行伝播で\(x\)軸方向に振動するアルヴェーン波が、遅い磁気音波のモードになります。 斜め方向の伝播になると、縦波成分も混ざってくるとともに、位相速度が減少していきます。 そして垂直伝播では、非伝播性の圧力とすがのゆらぎモードと、\(z\)方向の速度の渦モードになります。 一方、アルヴェーン速度が音速よりも大きい場合、平行伝播で\(x\)軸方向に振動するアルヴェーン波が速い磁気音波のモードとなります。 これが斜め伝播になると、縦波成分が混在し、位相速度が増大していきます。 そして垂直伝播では、磁気音波に一致します。 平行伝播での音波は、斜め伝播では横波成分を混在させ、位相速度が減少していきます。 そして垂直伝播では、非伝播性の圧力と磁気圧のゆらぎのモードと、\(z\)方向の速度の渦モードとなります。
斜め方向の伝播についての式変形も、時間と体力があるときに追加する予定です。気長にお待ちください...
参考文献
[1] 高原文郎, “特殊相対論”
[2] 小嶌康史, 小出眞路, 高橋労太, “ブラックホール宇宙物理の基礎”