伝達関数

ラプラス変換を基礎として、ここでは伝達関数について勉強したことをメモしていきます。

伝達関数の定義と基礎

物理的な線形システムでは、その入力 \(x(t)\) とその結果生じる出力 \(y(t)\) との関係は、ある1つの微積分方程式で表されます。そこで、伝達関数 (transfer function) \(G(s)\) は系の入出力の関係を記述する微積分方程式を、ラプラス変換することにより与えられます。すなわち伝達関数は、出力信号のラプラス変換 \(Y(s)\) と入力信号のラプラス変換 \(X(s)\) との比

\[G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} \tag{1}\]

により定義されます。伝達関数は多くの場合、次のような有理式で表されます。

\[G(s) = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_0} \tag{2}\]

系の伝達関数がわかれば、入力信号のラプラス変換 \(X(s)\) に対する出力信号のラプラス変換 \(Y(s)\) に対する出力信号のラプラス変換が \(Y(s) = G(s) X(s)\) として求められます。よって出力信号の時間的変化 \(y(t)\) は、その逆ラプラス変換により

\[y(t) = \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \mathcal{L}^{-1} [G(s) X(s)] \tag{3}\]

のように求めることができます。
例えば、線形システムの周波数応答と同じCR回路について考えてみましょう。入力 \(x(t)\) のラプラス変換 \(X(s)\) に対しては

\[\frac{dx}{dt} = \frac{y}{RC} + \frac{dy}{dt} \ \underbrace{\Longrightarrow}_{ラプラス変換} \ s X(s) - x(0) = \frac{Y(s)}{RC} + s Y(s) - y(0) \tag{4}\]

のようになります。初期に \(x(0) = y(0) = 0\) とすれば、この系の伝達関数が

\[G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{sRC}{1+sRC} \tag{5}\]

と求まります。 (3)式を用いることで、出力 \(y(t)\) が計算できます。
特に入力信号がデルタ関数の場合、そのラプラス変換は

\[X(s) = \mathcal{L}[x(t)] = \mathcal{L}_- [\delta(t)] = 1 \tag{6}\]

です。したがって、出力のラプラス変換は

\[Y(s) = G(s) X(s) = G(s) \tag{7}\]

となります。すると、デルタ関数入力に対する出力の時間変化と伝達関数の間に

\[g(t) = \mathcal{L}^{-1} [G(s)] \ \Longrightarrow \ G(s) = \mathcal{L} [g(t)] \tag{8}\]

のような関係があるとわかります。すなわち、デルタ関数に対する応答を (例えば実験的に) 知ることができれば、そのラプラス変換により \(G(s)\) を求めることができます。

線形システムの安定性

参考文献

[] 霜田光一, 桜井捷海, “エレクトロニクスの基礎”