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伝達関数
ラプラス変換を基礎として、ここでは伝達関数について勉強したことをメモしていきます。
伝達関数の定義と基礎
物理的な線形システムでは、その入力 \(x(t)\) とその結果生じる出力 \(y(t)\) との関係は、ある1つの微積分方程式で表されます。 そこで、伝達関数 (transfer function) \(G(s)\) は系の入出力の関係を記述する微積分方程式を、ラプラス変換することにより与えられます。 すなわち伝達関数は、出力信号のラプラス変換 \(Y(s)\) と入力信号のラプラス変換 \(X(s)\) との比
\[G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} \tag{1}\]により定義されます。 伝達関数は多くの場合、次のような有理式で表されます。
\[G(s) = \frac{b_m s^m + b_{m-1} s^{m-1} + \cdots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_0} \tag{2}\]系の伝達関数がわかれば、入力信号のラプラス変換 \(X(s)\) に対する出力信号のラプラス変換 \(Y(s)\) に対する出力信号のラプラス変換 が \(Y(s) = G(s) X(s)\) として求められます。 よって出力信号の時間的変化 \(y(t)\) は、その逆ラプラス変換により
\[y(t) = \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \mathcal{L}^{-1} [G(s) X(s)] \tag{3}\]のように求めることができます。
例えば、線形システムの周波数応答と同じCR回路について考えてみましょう。 入力 \(x(t)\) のラプラス変換 \(X(s)\) に対しては
のようになります。 初期に \(x(0) = y(0) = 0\) とすれば、この系の伝達関数が
\[G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{sRC}{1+sRC} \tag{5}\]と求まります。 (3)式を用いることで、出力 \(y(t)\) が計算できます。
特に入力信号がデルタ関数の場合、そのラプラス変換は
です。 したがって、出力のラプラス変換は
\[Y(s) = G(s) X(s) = G(s) \tag{7}\]となります。 すると、デルタ関数入力に対する出力の時間変化と伝達関数の間に
\[g(t) = \mathcal{L}^{-1} [G(s)] \ \Longrightarrow \ G(s) = \mathcal{L} [g(t)] \tag{8}\]のような関係があるとわかります。 すなわち、デルタ関数に対する応答を (例えば実験的に) 知ることができれば、そのラプラス変換により \(G(s)\) を求めることができます。
線形システムの安定性
伝達関数 \(G(s)\) が(2)式のような形で表されるとき、\(G(s)\) の極 (pole) を \(s_i \ (i = 1, 2, \dots, n)\) としましょう。 この系のパルス応答 \(g(t)\) は、\(t>0\) で
\[g(t) = \sum_{i=1}^n \mathrm{Res}_i e^{s_i t} \tag{9}\]で与えられます。 ただし \(\mathrm{Res}_i\) は、極 \(s_i\) の留数 (residue) を表します。
一般に、(2)式の極 \(s_i\) が \(\ell\) 重の多重極のときには、\(s_i = s_{i+1} = \cdots = s_{i+\ell-1}\) のように書くと、(2)式は
のように表すことができます。 1重の極の留数 \(\mathrm{Res}_i\) は
\[\mathrm{Res}_i = [(s-s_i) G(s)]_{s=s_i} \tag{11}\]のように与えられます。 そして \(\ell\) 重の極では
\[\mathrm{Res}_i = \frac{1}{(\ell-1)!} \frac{d^{\ell-1}}{ds^{\ell-1}} [(s-s_i)^\ell G(s)]_{s=s_i} \tag{12}\]となります。
このようにして、ある系のパルス応答 \(g(t)\) が(9)式で表されるため、その右辺が時間的にどのように変化するかを調べることで、系の安定性を判定することができます。 極 \(s_i\) の実部を \(\sigma_i\)、そして虚部を \(\omega_i\) とすれば、(9)式の右辺は
のようになります。 \(\sigma_i > 0\) ならば発散し、\(\sigma_i = 0\) ならば定常的な振動、\(\sigma_i < 0\) ならば安定な応答を示します。 極の位置と応答波形の関係を、次図に示します。
そこで、ある線形システムの伝達関数の全ての極 \(s_i\) の実部が負 (\(u=1, 2, \dots, n\) で \(\sigma_i < 0\)) のときのみ、パルス入力に対する応答が減衰し、安定となります。
これは電子回路の解析や設計をするのに、極めて重要な関数です。 例えば、安定な増幅器にフィードバックをつけて発振器にする場合を考えましょう。 これは \(G(s)\) の実部が負だった極 \(s_i\) の中の1つが正となるように、フィードバックで \(G(s)\) を変えることに相当します。 また不安定な増幅器では極の実部が正であるため、これに適当なフィードバックをつけて \(G(s)\) を変化させ、その極の実部が負になるようにすることで、増幅器を安定化させることができます。
周波数応答
周波数応答については線形システムの応答部分でも触れましたが、ここではラプラス変換の見地から周波数応答について述べることにしましょう。 ある線形システムに \(t=0\) から \(x(t) = e^{i\omega t}\) の入力を加えたとします。 \(e^{i\omega t}\) のラプラス変換より
\[X(s) = \frac{1}{s-i\omega} \tag{14}\]です。 この系の伝達関数を \(G(s)\) とすると、出力は
\[Y(s) = G(s) X(x) = \frac{G(s)}{s-i\omega} \ \Longrightarrow \ y(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{G(s)}{s-i\omega}\right] \tag{15}\]のように与えられます。 \(X(s)\) の極が \(s = i\omega\) にあるので、(9)式より
\[y(t) = \sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{Res}_i}{s_i - i\omega} e^{s_i t} + G(i\omega) e^{i\omega t} \tag{16}\]となります。
安定なシステムでは、前述のように \(\mathrm{Re}(s_i)<0\) であるから、時間が経つに連れて第一項はゼロになります。 すなわち、定常状態で入力周波数 \(\omega\) に対する出力は \(G(i\omega)\) となります。 したがって、ラプラス変換の伝達関数 \(G(s)\) で \(s = i\omega\) とおいたものが、正弦波入力に対する周波数応答を与え、フーリエ変換の周波数応答関数と同等になります。
具体例: CR回路とRC回路
実際、周波数応答の部分と同様にCR回路を考えてみましょう。 入力電圧を \(V_\mathrm{in} = x(t)\)、出力電圧を \(V_\mathrm{out} = y(t)\) とすると、この回路の入出力を関係づける微分方程式は
\[\frac{dx}{dt} = \frac{y}{RC} + \frac{dy}{dt} \tag{17}\]のようになるのでした。 両辺をラプラス変換すると
\[s X(s) - x(0) = \frac{Y(s)}{RC} + s Y(s) - y(0) \tag{18}\]初期条件として \(x(0) = y(0) = 0\) とすると
\[Y(s) = \frac{s RC}{1 + s RC} X(s) \ \Longrightarrow \ G(s) = \frac{s RC}{1 + s RC} \tag{19}\]のようになり、\(s = i\omega\) を代入すれば、フーリエ変換により求めた周波数応答と同じものを得ることができます。 (19)式の極は \(s = -\frac{1}{RC}\) です。 先ほど線形システムの安定性の部分で議論したように、極の実部が負であることから、これは安定なシステムであることがわかります。
線形システムの応答部分で少し触れたように、CとRを入れ替えた次の回路はローパスフィルターとなります。 この伝達関数を求めてみましょう。
この回路においても、先ほどのように微分方程式を立てます。 キルヒホッフの電圧則より
\[V_\mathrm{in} - RI - V_\mathrm{out} = 0 \tag{20}\]コンデンサー部分では
\[V_\mathrm{out} = \frac{1}{C} \int I dt \ \Longrightarrow \ I = C \frac{dV_\mathrm{out}}{dt} \tag{21}\]より、\(V_\mathrm{in} = x(t), V_\mathrm{out} = y(t)\) とすれば
\[x(t) = RC \frac{dy}{dt} + y(t) \tag{22}\]となります。 これをラプラス変換し、先ほどと同様に初期条件として \(x(0) = y(0) = 0\) とすれば
\[X(s) = RC (s Y(s) - y(0)) + Y(s) \ \Longrightarrow \ Y(s) = \frac{1}{1 + s RC} X(s) \tag{23}\]のように、伝達関数が \(G(s) = \frac{1}{1 + s RC}\) と求まります。 したがって、この場合に \(\vert G(i\omega) \vert\) と \(\mathrm{arg} [G(i\omega)]\) を描画したボーデ図は、次のようになります。
低周波領域では減衰がなく、また位相の遅れもないことがわかります。
具体例2: 極を2つ持つ回路
次のような回路について考えてみましょう。
キルヒホッフの電圧則より
\[V_\mathrm{in} - L \frac{dI}{dt} - V_\mathrm{out} = 0 \tag{24}\]並列接続より
\[V_\mathrm{out} = RI_1 = \frac{1}{C} \int I_2 dt \tag{25}\]であり、電流は
\[I = I_1 + I_2 \tag{26}\]を満たします。 以上より
\[\begin{align} V_\mathrm{in} - L \frac{d}{dt} (I_1 + I_2) - V_\mathrm{out} &= V_\mathrm{in} - L \frac{d}{dt} \left( \frac{V_\mathrm{out}}{R} + C \frac{dV_\mathrm{out}}{dt} \right) - V_\mathrm{out} \notag \\ &= V_\mathrm{in} - \frac{L}{R} \frac{dV_\mathrm{out}}{dt} - LC \frac{d^2V_\mathrm{out}}{dt^2} - V_\mathrm{out} = 0 \tag{27} \end{align}\]のような微分方程式を得ます。 \(V_\mathrm{in} = x(t), V_\mathrm{out} = y(t)\) として、ラプラス変換を施すと
\[X(s) = \frac{L}{R} (s Y(s) - y(0)) + LC (s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) + Y(s) \tag{28}\]のようになります。 \(y(0) = y'(0) = 0\) とすれば
\[\begin{align} &X(s) = \left(LC s^2 + \frac{L}{R} s + 1 \right) Y(s) \notag \\ &\Longrightarrow \ G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s^2 + 2 \zeta \omega_0 s + \omega_0^2} \quad \left( \omega_0^2 = \frac{1}{LC}, \zeta = \frac{1}{2R} \sqrt{\frac{L}{C}} \right) \tag{29} \end{align}\]のようになります (途中、両辺を定数 \(LC\) で割ることで、規格化を行いました。) \(s = i\omega\) とした周波数応答の振幅と位相差は、\(x \equiv \omega / \omega_0\) とおくと
\[G(i\omega) = \frac{1}{-\omega^2 + 2 i \zeta \omega_0 \omega + \omega_0^2} \ \Longrightarrow \ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle{\vert G(i\omega) \vert = \frac{1}{\sqrt{(1-x^2)^2 + 4\zeta^2 x^2}}} \\ \displaystyle{\mathrm{arg}[G(i\omega)] = - \tan^{-1} \left( \frac{2\zeta x}{1-x^2}\right)} \end{array} \right.\tag{30}\]のようになります。 \(\zeta = 0.01, 0.2, 0.5, 1.0\) のように変化させた場合のボーデ図を、次に示します。
これは低周波では減衰が起こらない、ローパスフィルターです。 ただし \(\zeta < 1/\sqrt{2}\) では \(\omega \sim \omega_0\) で共振が生じる、共振型ローパスフィルターです。
伝達関数を用いた解法
ここからは伝達関数を用い、回路の出力を求める例題を見ていきましょう。
具体例1: ローパスフィルターにおける過渡的出力
先ほどのRC回路に、\(t=0\) から \(V_0 \cos \omega t\) (または \(V_0 \sin \omega t\)) を加えた場合の出力を、ラプラス変換で求めてみましょう。 \(G(s)\) は(23)式で与えられるとします。 するとその極は \(s_1 = -\frac{1}{RC}\) であり、留数は \(\mathrm{Res}_1 = \frac{1}{RC}\) となるため、(9)式より
\[g(t) = \frac{1}{RC} e^{-\frac{t}{RC}} \tag{31}\]となります。 よって、入力 \(e^{i\omega t}\) に対する出力をラプラス変換したものは
\[Y(s) = G(s) X(s) = \frac{1}{1+sRC} \frac{1}{s-i\omega} \tag{32}\]のように求まります。 \(Y(s)\) の極は \(s_1 = i\omega, s_2 = - \frac{1}{RC}\) であり、それぞれの留数は
\[\mathrm{Res}_1 = \frac{1}{1+i\omega RC}, \quad \mathrm{Res}_2 = - \frac{1}{1+i\omega RC} \tag{33}\]です。 そこで(9)式を用いると
\[y(t) = \frac{1}{1+i\omega RC} e^{i\omega t} - \frac{1}{1+i\omega RC} e^{-\frac{t}{RC}} \tag{34}\]が得られます。 (34)式の実部を取ることで、入力が \(V_0 \cos \omega t\) のときの出力は
\[y(t) = \frac{V_0}{1+\omega^2 R^2 C^2} (\cos \omega t + \omega RC \sin \omega t - e^{-\frac{t}{RC}}) \tag{35}\]となります。 また入力が \(V_0 \sin \omega t\) のときの出力は
\[y(t) = \frac{V_0}{1+\omega^2 R^2 C^2} \{ \sin \omega t - \omega RC ( \cos \omega t - e^{-\frac{t}{RC}}) \} \tag{36}\]のようになります。 最後の2つの式において、右辺第三項が過渡現象を表し、第二項が位相の遅れた成分を示しています。
具体例2: ローパスフィルターに階段関数パルスを入力した場合
先ほどと同じRC回路に、今度は階段関数パルス \(x(t) = \Theta (t)\) を加えたときの出力を求めてみましょう。 \(\Theta (t)\) のラプラス変換より
\[Y(s) = \frac{1}{1+sRC} \frac{1}{s} \tag{37}\]となります。 \(Y(s)\) の極は \(s_1 = 0, s_2 = - \frac{1}{RC}\) であり、その留数は \(\mathrm{Res}_1 = 1, \mathrm{Res}_2 = -1\) となります。 よってこの出力は
\[y(t) = 1 - e^{-\frac{t}{RC}} \tag{38}\]のようになります。
補遺A: \(\tan^{-1}\) の描画についてとボーデ図作成のJuliaスクリプト
(30)式の描画では、\(\tan^{-1}\) (プログラミング言語のatan関数) の計算が必要になります。 atanの値域は \((-\pi/2, \pi/2)\) です。 しかし、\(x > 1\) (すなわち \(\omega > \omega_0\)) のとき、分母が負になります。 すると本来の偏角は \(-\pi < \mathrm{arg} (G) < -\pi / 2\) になるはずですが、atan関数は値域の制約から \(0 \leq \mathrm{arg} (G) \leq \pi / 2\) の値を返します。
そこで単なるatanではなく、\(\mathrm{atan2}(y, x)\) を用いることにしましょう。 ここで \(x, y\) はそれぞれ複素数の実部と虚部 (すなわち \(x + iy\)) であり、このときの偏角 \(\theta\) は \(- \pi \leq \theta \leq \pi\) の範囲をとります。 これを用いたJulia言語スクリプトは、次のようになります。
using LaTeXStrings
using Plots
gr()
function calc_transfer_function(zeta, xs)
absG = 1.0 ./ sqrt.((1.0 .- xs .^ 2) .^ 2 .+ 4.0 .* zeta ^ 2 .* xs .^ 2)
argG = - atan.(2.0 .* zeta .* xs, 1.0 .- xs .^ 2)
return absG, rad2deg.(argG)
end
len_x = 512
xmax = 10.0
xmin = 0.1
xs = logrange(xmin, xmax, length=len_x)
zetas = [0.01, 0.2, 0.5, 1.0]
n_zetas = length(zetas)
color_list = reshape(range(colorant"deepskyblue", stop=colorant"orange", length=n_zetas), 1, n_zetas);
p1 = plot()
p2 = plot()
for n in 1:n_zetas
absG, argG = calc_transfer_function(zetas[n], xs)
dB_G = 20 .* log10.(absG)
plot!(p1, xs, dB_G, linecolor=color_list[n], xlim=[xmin, xmax], linewidth=3, legend=:topright, xlabel=L"\omega / \omega_0", ylabel=L"\vert G \vert \ (\mathrm{dB})", label=L"\zeta="*string(zetas[n]), xscale=:log10, left_margin=5Plots.mm)
plot!(p2, xs, argG, linecolor=color_list[n], xlim=[xmin, xmax], linewidth=3, legend=:topright, xlabel=L"\omega / \omega_0", ylabel=L"\mathrm{arg}(G) \ (\mathrm{degree})", label=L"\zeta="*string(zetas[n]), xscale=:log10, left_margin=5Plots.mm)
end
plt = plot(p1, p2, layout=(2, 1), size=(500, 700))
savefig(plt, "bode_diagram_LRC.png")
もっと良いJuliaの書き方があったら、ぜひご教示ください m(-_-)m
補遺B: クラマース・クローニッヒ関係
線形応答における周波数応答関数の実部と虚部が、ある関係にあることを示したものです。 伝達関数や線形応答に慣れ親しんできたところで、ここではその関係式を示してみましょう。
線形システムの応答は、インパルス応答 \(g(t)\) を用いて、次のように書けるのでした。
そして物理的に実現可能な系では、因果律 (出力は入力より前には現れない) より \(g(t) = 0 \ (t < 0)\) が成り立ちます。 するとこのときの周波数応答関数は
\[G(\omega) = \int_{-\infty}^\infty g(t) e^{-i\omega t} dt = \int_0^\infty g(t) e^{-i\omega t} dt \tag{B.2}\]のように、積分範囲が \([0, \infty)\) となります。 これはラプラス変換の形です。 ここで \(\omega = \omega_\mathrm{r} + i \omega_\mathrm{i}\) のように、\(\omega\) を複素数に拡張しましょう。 すると
\[G(\omega) = \int_0^\infty g(t) e^{-i\omega_\mathrm{r} t} e^{\omega_\mathrm{i} t} dt \tag{B.3}\]のようになります。 \(g(t)\) が有界ならば、\(\omega_\mathrm{i}<0\) で \(e^{\omega_\mathrm{i} t}\) は減衰因子として働き、この積分は必ず収束します。 これを踏まえて、複素数 \(\omega'\) の平面上での次のような経路積分を考えましょう。
そして、被積分関数として \(f(\omega') = \frac{G(\omega')}{\omega' - \omega}\) を考えます。 (B.3)式の先ほどの議論から、\(G(\omega')\) は複素数平面の下半平面領域で正則であり、この積分経路の内側には特異点はありません。 よってコーシーの積分定理から
\[\oint_C \frac{G(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' = 0 \tag{B.5}\]となります。 次に \(C_2\) での積分を考えると
\[\begin{align} &\int_{C_2} \frac{G(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' = \int_{-\pi}^0 \frac{G(\epsilon e^{i\theta} + \omega)}{\epsilon e^{i\theta}} i\epsilon e^{i\theta} d\theta = i \int_{-\pi}^0 G(\epsilon e^{i\theta} + \omega) d\theta \notag \\ &\xrightarrow[]{\epsilon \rightarrow 0} i G(\omega) \int_{-\pi}^0 d\theta = i\pi G(\omega) \tag{B.6} \end{align}\]のようになります。 実軸上の積分 \(C_1 + C_3\) は、\(r \rightarrow \infty, \epsilon \rightarrow 0\) の極限において
\[\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \left( \int_{-\infty}^{\omega -\epsilon} + \int_{\omega + \epsilon}^\infty \right) \frac{G(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' = \mathrm{P} \int_{-\infty}^\infty \frac{G(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' \tag{B.7}\]のように、コーシーの積分の主値で書くことができます。 \(C_4\) の積分は \(r \rightarrow \infty\) ではゼロとなることから、(B.5)式は
\[\mathrm{P} \int_{-\infty}^\infty \frac{G(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' + i\pi G(\omega) = 0 \ \Longrightarrow \ G(\omega) = \frac{i}{\pi} \mathrm{P} \int_{-\infty}^\infty \frac{G(\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' \tag{B.8}\]となります。 \(G(\omega) = G_\mathrm{r} (\omega) + i G_\mathrm{i} (\omega)\) のように、実部と虚部に分解すると
\[G_\mathrm{r} (\omega) + i G_\mathrm{i} (\omega) = \frac{1}{\pi} \mathrm{P} \int_{-\infty}^\infty \frac{i G_\mathrm{r} (\omega') - G_\mathrm{i} (\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' \tag{B.9}\]のようになることから
\[G_\mathrm{r} (\omega) = - \frac{1}{\pi} \mathrm{P} \int_{-\infty}^\infty \frac{G_\mathrm{i} (\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' \tag{B.10}\] \[G_\mathrm{i} (\omega) = \frac{1}{\pi} \mathrm{P} \int_{-\infty}^\infty \frac{G_\mathrm{r} (\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' \tag{B.11}\]となります。 この2つの式を、クラマース・クローニッヒ関係 (Kramers-Kronig relation) あるいは分散公式と呼びます。 実際の実験で測定できるのは、角周波数が正の場合のみです。 よって、フーリエ係数の実条件から \(G(-\omega) = G^\ast (\omega)\) が成り立ちます。 ここから、\(G_\mathrm{r}\) は偶関数、そして \(G_\mathrm{i}\) は奇関数です。 この事実を用いると
\[G_\mathrm{r} (\omega) = - \frac{1}{\pi} \mathrm{P} \int_{-\infty}^\infty \frac{G_\mathrm{i} (\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' = - \frac{1}{\pi} \mathrm{P} \left( \int_{-\infty}^0 + \int_{0}^\infty \right) \frac{G_\mathrm{i} (\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' \tag{B.12}\]第一項において \(\omega' \rightarrow - \omega'\) のように置換を行うと
\[\begin{align} (第一項) &= - \frac{1}{\pi} \mathrm{P} \int_{\infty}^0 \frac{G_\mathrm{i} (-\omega')}{-\omega' - \omega} (-1) d\omega' = - \frac{1}{\pi} \mathrm{P} \int_{\infty}^0 \frac{- G_\mathrm{i} (\omega')}{-\omega' - \omega} (-1) d\omega' \notag \\ &= - \frac{1}{\pi} \mathrm{P} \int_0^\infty \frac{G_\mathrm{i} (\omega')}{\omega' + \omega} d\omega' \tag{B.13} \end{align}\]のように整理されるので、最終的に
\[G_\mathrm{r} (\omega) = - \frac{1}{\pi} \mathrm{P} \int_0^\infty \frac{G_\mathrm{i} (\omega')}{\omega' + \omega} d\omega' - \frac{1}{\pi} \mathrm{P} \int_{0}^\infty \frac{G_\mathrm{i} (\omega')}{\omega' - \omega} d\omega' = - \frac{2}{\pi} \mathrm{P} \int_0^\infty \frac{\omega' G_\mathrm{i} (\omega')}{\omega'^2 - \omega^2} d\omega' \tag{B.14}\]を得ます。 \(G_\mathrm{i}\) についても同様に
\[G_\mathrm{i} (\omega) = \frac{2\omega}{\pi} \mathrm{P} \int_0^\infty \frac{G_\mathrm{r} (\omega') }{\omega'^2 - \omega^2} d\omega' \tag{B.15}\]観測から \(G_\mathrm{r}, G_\mathrm{i}\) のどちらか一方を知ることができれば、もう一方を計算することができるということを意味します。 元々は電磁波の分散現象の研究から導出された関係式で、複素誘電率・複素屈折率に関する文脈で考えられたものです。 \(G_\mathrm{r}\) は分散 (エネルギーを蓄え位相を変化させる応答)、\(G_\mathrm{i}\) は散逸 (エネルギーを吸収する応答) を表します。 このクラマース・クローニッヒ関係は、「ある周波数で吸収 (散逸) があるならば、どこかの周波数で必ず分散が出現する」ことを意味します。 全ての周波数で吸収はないが分散は存在するというような媒質 (系) は、因果律に反するため存在できないということです。 光学分野で知られている異常分散 (吸収線の近くで屈折率が急激に変化する) は、クラマース・クローニッヒ関係から導かれます。
参考文献
[1] 霜田光一, 桜井 捷海, “エレクトロニクスの基礎”
[2] 松澤昭, “新しい電気回路 上”
[3] 平川浩正, “電気力学”