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交流における相反定理と四端子回路
回路の素子のインピーダンスとその合成則を知っていれば、複雑な交流回路も計算することができます。 しかし四端子回路または四端子回路網 (four-terminal network) の性質を知っておくと、便利な場面が多くあります。 先の例で示したように、変圧器も四端子回路の一種であり、またトランジスターや変成器も四端子回路です。 ここでは、最初に直流での相反定理の交流バージョンを見ていきましょう。 そして四端子回路の記述法や、様々な四端子回路の例について勉強しましょう。
交流における相反定理
電気回路の相反定理 (reciprocity theorem) は、直流回路に対して証明しました。 しかしこれは、\(L, C\) を含む交流回路についても、全く同様に成立します。 次図のように、2対の端子が出ている回路において、各端子対に流れる電流を \(\mathcal{I}_1, \mathcal{I}_2\)、そしてそれぞれの端子対間の電位差を \(\mathcal{V}_1, \mathcal{V}_2\) としましょう。
また、この同じ回路に対し、別の場合の電流 \(\mathcal{I}_1', \mathcal{I}_2'\) が流れ、電位差 \(\mathcal{V}_1', \mathcal{V}_2'\) が現れたとしましょう。 このとき
\[\mathcal{V}_1 \mathcal{I}_1' + \mathcal{V}_2 \mathcal{I}_2' = \mathcal{V}_1' \mathcal{I}_1 + \mathcal{V}_2' \mathcal{I}_2 \tag{1}\]が成り立ちます。 これが相反定理であり、これは直流の場合と全く同じ形です。 ただし、\(\mathcal{V}, \mathcal{I}\) がこの場合には複素数であるという違いがあります。 その証明方法は、直流の場合の相反定理の証明と全く同じです。
ここで、電流と電圧の間の関係は全て線形であるから、\(\mathcal{I}_1, \mathcal{I}_2\) についても、これらは電圧 \(\mathcal{V}_1, \mathcal{V}_2\) によって、次のような線形の形で与えられるはずです。
この係数 \(\mathcal{Y}_{11}, \mathcal{Y}_{12}, \mathcal{Y}_{21}, \mathcal{Y}_{22}\) の意味は、直流のときに定義した \(G_{11}, G_{12}, G_{21}, G_{22}\) と全く同様です。 すなわち、\(\mathcal{Y}_{11}\) は端子対2を短絡したときの端子対1の間で測ったアドミタンスです。 そして \(\mathcal{Y}_{12}\) は、端子対2に電圧を加え、端子対1を短絡したときに端子対1に流れる電流を表す係数を表します。 これを伝達アドミタンス (transfer admittance) と呼びます。 直流と異なるところは、やはり \(\mathcal{Y}_{11}, \mathcal{Y}_{12}, \mathcal{Y}_{21}, \mathcal{Y}_{22}\) などが、一般に複素数であることです。 (2)式を
\[\boldsymbol{\mathcal{I}} = \boldsymbol{\mathcal{Y}} \boldsymbol{\mathcal{V}}, \quad \boldsymbol{\mathcal{Y}} = \left( \begin{array}{cc} \mathcal{Y}_{11} & \mathcal{Y}_{12} \\ \mathcal{Y}_{21} & \mathcal{Y}_{22} \end{array} \right) \tag{3}\]のように行列とベクトルで表現したとき、\(\boldsymbol{\mathcal{Y}}\) をアドミッタンス行列 (admittance matrix) と呼びます。 (2)式において \(\mathcal{I} \rightarrow \mathcal{I}', \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{V}'\) のように変えたものを、(1)式に代入すると
\[\mathcal{V}_1 (\mathcal{Y}_{11} \mathcal{V}_1' + \mathcal{Y}_{12} \mathcal{V}_2') + \mathcal{V}_2 (\mathcal{Y}_{21} \mathcal{V}_1' + \mathcal{Y}_{22} \mathcal{V}_2') = \mathcal{V}_1' (\mathcal{Y}_{11} \mathcal{V}_1 + \mathcal{Y}_{12} \mathcal{V}_2) + \mathcal{V}_2' (\mathcal{Y}_{21} \mathcal{V}_1 + \mathcal{Y}_{22} \mathcal{V}_2) \tag{4}\]となります。 これが任意の \(\mathcal{V}_1, \mathcal{V}_2, \mathcal{V}_1', \mathcal{V}_2'\) に対して成立するためには、\(\mathcal{V}_1 \mathcal{V}_1', \mathcal{V}_1 \mathcal{V}_2', \mathcal{V}_2 \mathcal{V}_1', \mathcal{V}_2 \mathcal{V}_2'\) のそれぞれの係数が左右で等しくならなければなりません。 特に \(\mathcal{V}_1 \mathcal{V}_2'\) の係数を等しいとおくと
\[\mathcal{Y}_{12} = \mathcal{Y}_{21} \tag{5}\]が得られます。 すなわち、アドミタンス行列は対称行列です。 これも相反定理と呼びます。
(2)式は、逆に
のように書くこともできます。 ここでも、相反定理は
\[\mathcal{Z}_{12} = \mathcal{Z}_{21} \tag{7}\]という関係をもたらします。 (6)式を
\[\boldsymbol{\mathcal{V}} = \boldsymbol{\mathcal{Z}} \boldsymbol{\mathcal{I}}, \quad \boldsymbol{\mathcal{Z}} = \left( \begin{array}{cc} \mathcal{Z}_{11} & \mathcal{Z}_{12} \\ \mathcal{Z}_{21} & \mathcal{Z}_{22} \end{array} \right) \tag{8}\]のように書き、\(\boldsymbol{\mathcal{Z}}\) をインピーダンス行列 (impedance matrix) と呼びます。 \(\boldsymbol{\mathcal{Y}}\) と同様、こちらも対称行列となります。 (3)式より
\[\boldsymbol{\mathcal{V}} = \boldsymbol{\mathcal{Y}}^{-1} \boldsymbol{\mathcal{I}}\]と(8)式を見比べれば
\[\boldsymbol{\mathcal{Z}} = \boldsymbol{\mathcal{Y}}^{-1} \tag{9}\]のように、\(\boldsymbol{\mathcal{Z}}, \boldsymbol{\mathcal{Y}}\) は互いに逆行列の関係にあることがわかります。
また
のように書いた場合、\(\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D}\) を四端子定数 (four-terminal constant) と呼びます。 またこの行列を、ABCD行列と呼びます。 \(L, C, R, M\) から成る受動的な回路網では、先ほどの相反定理が成り立つため
\[\mathcal{A} \mathcal{D} - \mathcal{B} \mathcal{C} = 1 \tag{11}\]の関係が成り立ちます。 また相反定理が成り立つとき、先ほどのインピーダンス行列・アドミタンス行列との間に
\[\mathcal{Z}_{11} = \frac{\mathcal{A}}{\mathcal{C}}, \quad \mathcal{Z}_{22} = \frac{\mathcal{D}}{\mathcal{C}}, \quad \mathcal{Z}_{12} = \mathcal{Z}_{21} = \frac{1}{\mathcal{C}} \tag{12}\] \[\mathcal{Y}_{11} = \frac{\mathcal{D}}{\mathcal{B}}, \quad \mathcal{Y}_{22} = \frac{\mathcal{A}}{\mathcal{B}}, \quad \mathcal{Y}_{12} = \mathcal{Y}_{21} = - \frac{1}{\mathcal{B}} \tag{13}\]の関係が成り立ちます。
四端子回路では、入出力の電圧電流の中の2つを独立変数とすれば、他の2つの変数が決定されます。 したがって、一般に2行2列の行列で回路を表現することができます。 そこで、ABCD行列・インピーダンス行列・アドミタンス行列のほかに、入力の電流および出力の電圧を独立変数として、入力電圧および出力電流を表現する方法もあります。 この表示の方法は、入出力の量が混在して使用されているため、ハイブリッドパラメータ (hybrid parameter, hパラメータ) 表示と言います。 今の表現を数式で表すと
のようになります。 それぞれの添字 \(\mathrm{i}\) はinput、\(\mathrm{r}\) はreverse、\(\mathrm{f}\) はforward、\(\mathrm{o}\) はoutputを意味します。 hパラメータの \(\mathcal{h}_\mathrm{i} = \mathcal{h}_{11}\) は出力をショートしたときの入力インピーダンス、\(\mathcal{h}_\mathrm{r}=\mathcal{h}_{12}\) は入力電流が流れない (\(\mathcal{I}_1 = 0\)) 場合の逆方向電圧増幅率 (reverse voltage gain), \(\mathcal{h}_\mathrm{f} = \mathcal{h}_{21}\) は出力をショート (\(\mathcal{V}_2 = 0\)) したときの順方向電流増幅率、\(\mathcal{h}_\mathrm{o}=\mathcal{h}_{22}\) は入力電流 (\(\mathcal{I}_1 =0\)) のときの出力アドミタンスです。 hパラメータを四端子定数で表すと
\[\mathcal{h}_\mathrm{i} = \frac{\mathcal{B}}{\mathcal{D}}, \quad \mathcal{h}_\mathrm{r} = \mathcal{A} - \frac{\mathcal{B C}}{\mathcal{D}}, \quad \mathcal{h}_\mathrm{f} = - \frac{1}{\mathcal{D}}, \quad \mathcal{h}_\mathrm{o} = \frac{\mathcal{C}}{\mathcal{D}} \tag{15}\]のようになります。
ハイブリッドパラメータは、トランジスターの小信号特性を表示するのによく用いられます。 相反定理 (11)式が成り立つとき、\(\mathcal{h}_\mathrm{r} = - \mathcal{h}_\mathrm{f}\) となりますが、トランジスターなどの能動的回路ではこれは成り立ちません。
四端子回路網の接続
接続とその合成行列
- カスケード接続
四端子回路を次図のように接続することを、カスケード接続 (cascade connection) あるいは継続接続と呼びます。
この場合は、1つの四端子回路の出力が次の四端子回路の入力になっているため、(10)式の表現が便利です。 合成回路の四端子定数は、次のように計算されます。
\[\left( \begin{array}{cc} \mathcal{A} & \mathcal{B} \\ \mathcal{C} & \mathcal{D} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \mathcal{A}_1 & \mathcal{B}_1 \\ \mathcal{C}_1 & \mathcal{D}_1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \mathcal{A}_2 & \mathcal{B}_2 \\ \mathcal{C}_2 & \mathcal{D}_2 \end{array} \right) \tag{16}\]すなわち \(\mathcal{A} = \mathcal{A}_1 \mathcal{A}_2 + \mathcal{B}_1 \mathcal{C}_2\) などです。
- 直列接続
2つの四端子回路の直列接続は、次の図のように表されます。
この場合の接続するインピーダンス行列をそれぞれ \((\mathcal{Z}_{ij}'), (\mathcal{Z}_{ij}'')\) とすると、合成四端子回路のインピーダンス行列は
\[(\mathcal{Z}_{ij}) = (\mathcal{Z}_{ij}' + \mathcal{Z}_{ij}'') \tag{17}\]すなわち \(\mathcal{Z}_{11} = \mathcal{Z}_{11}' + \mathcal{Z}_{11}''\) などです。
- 並列接続
最後に、四端子回路の並列接続は、次図のようになります。
この場合はアドミタンス行列を用いるのが便利で、合成四端子回路のアドミタンス行列は
\[(\mathcal{Y}_{ij}) = (\mathcal{Y}_{ij}' + \mathcal{Y}_{ij}'') \tag{18}\]となります。 これらのうちのカスケード接続は、フィルター・遅延回路などにしばしば用いられ、超高周波の分布定数回路の理論にも使われます。
四端子回路の例
- 二端子回路 (回路素子を1つだけ含む回路)
四端子回路は (\(L, C, R\) など) その回路素子のつなぎ方により、その形からT型・\(\pi\) 型・格子型などがあります。 最も簡単な四端子回路は、次図に示すように二端子回路を1つだけ含むものです。
まずは(a)の四端子定数を求めてみましょう。
\[\mathcal{I}_1 = \mathcal{I}_2, \quad \mathcal{V}_1 - \mathcal{Z} \mathcal{I}_1 = \mathcal{V}_2 \tag{19}\]より、これらを(10)式の形に並べましょう。 すると
\[\left\{ \begin{array}{l} \mathcal{V}_1 = \mathcal{V}_2 + \mathcal{Z} \mathcal{I}_2 \\ \mathcal{I}_1 = \mathcal{I}_2 \end{array} \right. \tag{20}\]より、求めたかった四端子行列は
\[\left( \begin{array}{cc} 1 & \mathcal{Z} \\ 0 & 1 \end{array} \right) \tag{21}\]のように表されます。
さらに(b)の四端子定数も計算しましょう。
より、先ほどと同様に並べてみましょう。 すると
\[\left\{ \begin{array}{l} \mathcal{V}_1 = \mathcal{V}_2 \\ \mathcal{I}_1 = \frac{\mathcal{V}_2}{\mathcal{Z}} + \mathcal{I}_2 \end{array} \right. \tag{23}\]より、求めたかった四端子行列は
\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1/\mathcal{Z} & 1 \end{array} \right) \tag{24}\]となります。
- 逆L型
この形は、フィルター回路の部分でよく出現します。
- T型
T型において \(\mathcal{Z}_3 = 0\) とすることでも、逆L型を導出することができます。
- \(\pi\) 型
また \(\pi\) 型において \(\mathcal{Z}_2 = \infty\) とすることでも、逆L型を導出することができます。
- 格子型
いきなり四端子行列を考えるのは複雑なため、まずはこの回路のインピーダンス行列を求めましょう。 そして最後に(12)式を用いることで、四端子行列を求めることにします。
まずは \(\mathcal{I}_2 = 0\) の場合を考えます。 このとき、C, D より右側はないものと考えて良いでしょう。 この場合には、電圧 \(\mathcal{V}_1\) を ACB, ADB の並列回路にかけたことになります。 この場合の合成インピーダンス \(\mathcal{Z}\) は
と求まります。 よってこのときの電圧 \(\mathcal{V}_1\) は
\[\left. \mathcal{V}_1 \right\vert_{\mathcal{I}_2 = 0} = \mathcal{Z} \mathcal{I}_1 = \frac{(\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2) (\mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4)}{\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4} \mathcal{I}_1 \tag{29}\]のように求まります。 (29)式と、(6)式から \(\mathcal{V}_1 = \mathcal{Z}_{11} \mathcal{I}_1\) を比較すると
\[\mathcal{Z}_{11} = \frac{(\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2) (\mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4)}{\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4} \tag{30}\]A->C->Bに流れる電流を \(\mathcal{I}_\mathrm{ACB}\) とすると
\[\mathcal{V}_1 - \mathcal{Z}_1 \mathcal{I}_\mathrm{ACB} - \mathcal{Z}_2 \mathcal{I}_\mathrm{ACB} = 0 \ \Longrightarrow \ \mathcal{I}_\mathrm{ACB} = \frac{\mathcal{V}_1}{\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2} \tag{31}\]より、CB間の電位差は
\[\mathcal{V}_\mathrm{CB} = \mathcal{Z}_2 \mathcal{I}_\mathrm{ACB} = \frac{\mathcal{Z}_2}{\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2} \mathcal{V}_1 \tag{32}\]となります。 同様にA->D->Bに流れる電流を考え、そこからDB間の電位差を計算すると
\[\mathcal{V}_\mathrm{DB} = \frac{\mathcal{Z}_4}{\mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4} \mathcal{V}_1 \tag{33}\]を得ます。 以上から、\(\mathcal{I}_2 = 0\) の場合の \(\mathcal{V}_2\) は、電流の向きに注意して
\[\begin{align} &\left. \mathcal{V}_2 \right\vert_{\mathcal{I}_2 = 0} - \mathcal{V}_\mathrm{CB} + \mathcal{V}_\mathrm{DB} = 0 \notag \\ &\Longrightarrow \ \left. \mathcal{V}_2 \right\vert_{\mathcal{I}_2 = 0} = \left( \frac{\mathcal{Z}_2}{\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2} - \frac{\mathcal{Z}_4}{\mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4} \right) \left. \mathcal{V}_1 \right\vert_{\mathcal{I}_2 = 0} \notag \\ & \qquad \qquad = \frac{\mathcal{Z}_2 (\mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4) - \mathcal{Z}_4 (\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2)}{(\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2) (\mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4)} \frac{(\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2) (\mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4)}{\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4} \mathcal{I}_1 \notag \\ & \qquad \qquad = \frac{\mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 - \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_4}{\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4} \mathcal{I}_1 \tag{34} \end{align}\]を得ます。 (34)式と、(6)式から \(\mathcal{V}_2 = \mathcal{Z}_{21} \mathcal{I}_1\) を比較することで
\[\mathcal{Z}_{21} = \frac{\mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 - \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_4}{\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4} \tag{35}\]と求まります。
\(\mathcal{I}_1 = 0\) とすることで、同様に \(\mathcal{Z}_{12}, \mathcal{Z}_{22}\) を求めることができます。 先ほどの \(\mathcal{I}_2 = 0\) の場合には、電流が \(\mathcal{Z}_1 \rightarrow \mathcal{Z}_2\) に流れるものと \(\mathcal{Z}_3 \rightarrow \mathcal{Z}_4\) に流れるものの並列接続でしたが、\(\mathcal{I}_1 = 0\) のときには \(\mathcal{Z}_1 \rightarrow \mathcal{Z}_3\) に流れるものと \(\mathcal{Z}_2 \rightarrow \mathcal{Z}_4\) に流れるものの並列接続と考えることができます。 よって \(\mathcal{Z}_2\) と \(\mathcal{Z}_3\) を交換したものに等しいため
のようになります。 最後に(12)式を用いることで、次を得ます。
\[\mathcal{A} = \frac{(\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2) (\mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4)}{\mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 - \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_4}, \quad \mathcal{B} = \mathcal{C} = \frac{\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4}{\mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 - \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_4}, \quad \mathcal{D} = \frac{(\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_3) (\mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_4)}{\mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 - \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_4} \tag{37}\]- ブリッジ T 型 (並列 T 型)
これは、T型と直列素子の並列接続と見ることができます。 並列接続の場合、(18)式のようにアドミタンス行列で考えるのが便利です。 T型素子のアドミタンス行列を \(\boldsymbol{\mathcal{Y}}'\) とすると、(13), (26)式より
\[\mathcal{Y}_{11}' = \frac{\mathcal{Z}_2}{\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1} \left( 1 + \frac{\mathcal{Z}_3}{\mathcal{Z}_2}\right) = \frac{\mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_3}{\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1} \tag{38}\] \[\mathcal{Y}_{12}' = \mathcal{Y}_{21}' = - \frac{\mathcal{Z}_2}{\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1} \tag{39}\] \[\mathcal{Y}_{22}' = \frac{\mathcal{Z}_2}{\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1} \left( 1 + \frac{\mathcal{Z}_1}{\mathcal{Z}_2}\right) = \frac{\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2}{\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1} \tag{40}\]直列素子のアドミタンス行列を \(\boldsymbol{\mathcal{Y}}''\) とすると、(13), (21)式より
\[\mathcal{Y}_{11}'' = \frac{1}{\mathcal{Z}_4}, \quad \mathcal{Y}_{12}'' = \mathcal{Y}_{21}'' = - \frac{1}{\mathcal{Z}_4}, \quad \mathcal{Y}_{22}'' = \frac{1}{\mathcal{Z}_4} \tag{41}\]これらを用い、\(\boldsymbol{\mathcal{Y}} = \boldsymbol{\mathcal{Y}}' + \boldsymbol{\mathcal{Y}}''\) を計算しましょう。
\[\begin{align} \mathcal{Y}_{11} &= \mathcal{Y}_{11}' + \mathcal{Y}_{11}'' = \frac{\mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_3}{\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1} + \frac{1}{\mathcal{Z}_4} \notag \\ &= \frac{\mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_4 + \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1}{(\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1) \mathcal{Z}_4} \tag{42} \end{align}\]ここで \(\alpha \equiv \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4\) のようにおくと
\[\mathcal{Y}_{11} = \frac{\alpha + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_4}{(\alpha - \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4) \mathcal{Z}_4} \tag{43}\]となります。 同様に計算を進めましょう。
\[\begin{align} \mathcal{Y}_{12} &= \mathcal{Y}_{12}' + \mathcal{Y}_{12}'' = - \frac{\mathcal{Z}_2}{\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1} - \frac{1}{\mathcal{Z}_4} \notag \\ &= - \frac{\mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4 + \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1}{(\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1) \mathcal{Z}_4} = - \frac{\alpha}{(\alpha - \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4) \mathcal{Z}_4} \tag{44} \end{align}\] \[\begin{align} \mathcal{Y}_{22} &= \mathcal{Y}_{22}' + \mathcal{Y}_{22}'' = \frac{\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_2}{\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1} + \frac{1}{\mathcal{Z}_4} \notag \\ &= \frac{\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_4 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4 + \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1}{(\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1) \mathcal{Z}_4} = \frac{\alpha + \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_4}{(\alpha - \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4) \mathcal{Z}_4} \tag{45} \end{align}\]最後に、(13)式を用いて四端子行列を求めましょう。
\[\mathcal{B} = - \frac{1}{\mathcal{Y}_{12}} = \frac{(\alpha - \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4) \mathcal{Z}_4}{\alpha} \tag{46}\] \[\mathcal{A} = \mathcal{B} \mathcal{Y}_{22} = \frac{(\alpha - \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4) \mathcal{Z}_4}{\alpha} \frac{\alpha + \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_4}{(\alpha - \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4) \mathcal{Z}_4} = 1 + \frac{\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_4}{\alpha} \tag{47}\] \[\mathcal{D} = \mathcal{B} \mathcal{Y}_{11} = \frac{(\alpha - \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4) \mathcal{Z}_4}{\alpha} \frac{\alpha + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_4}{(\alpha - \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4) \mathcal{Z}_4} = 1 + \frac{\mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_4}{\alpha} \tag{48}\]相反定理(11)式より
\[\begin{align} \mathcal{C} &= \frac{\mathcal{A} \mathcal{D} -1}{\mathcal{B}} = \frac{\alpha}{(\alpha - \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4)\mathcal{Z}_4} \left\{ \left( 1 + \frac{\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_4}{\alpha}\right) \left( 1 + \frac{\mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_4}{\alpha}\right) -1 \right\} \notag \\ &= \frac{\alpha}{(\alpha - \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4)\mathcal{Z}_4} \frac{\alpha^2 + (\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_4 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_4) \alpha + \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_4^2 - \alpha^2}{\alpha^2} \notag \\ &= \frac{(\mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_4 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_4) \alpha + \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_4^2}{\alpha (\alpha - \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4)\mathcal{Z}_4} = \frac{(\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_3) \alpha + \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_4}{\alpha (\alpha - \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4)} \tag{49} \end{align}\]ここでさらに
\[\begin{aligned} (\alpha - \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4) (\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4) &= (\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_3) \alpha + \mathcal{Z}_4 \alpha - (\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4) \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4 \\ &= (\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_3) \alpha + \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_4 + \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_4 + \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4^2 - \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4 - \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_4 - \mathcal{Z}_2 \mathcal{Z}_4^2 \\ &= (\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_3) \alpha + \mathcal{Z}_1 \mathcal{Z}_3 \mathcal{Z}_4 \end{aligned}\]のように整理できるので、最終的に
\[\mathcal{C} = \frac{\mathcal{Z}_1 + \mathcal{Z}_3 + \mathcal{Z}_4}{\alpha} \tag{50}\]と求まります。
- 理想的な変成器
このとき、電圧と電流は次の方程式を満たします。
\[\left\{ \begin{array}{l} n \mathcal{V}_1 = \mathcal{V}_2 \\ \mathcal{I}_1 = n \mathcal{I}_2 \end{array} \right. \ \Longrightarrow \mathcal{A} = \frac{1}{n}, \quad \mathcal{B} = \mathcal{C} = 0, \quad \mathcal{D} = n \tag{51}\]参考文献
[1] 高橋秀俊, “電磁気学”
[2] 霜田光一, 桜井 捷海, “エレクトロニクスの基礎”
[3] 後藤憲一, 山崎修一郎, “詳解電磁気学演習”