流体計算のための空間再構成手法 (工事中)

HLLD 法などに代表される近似リーマン解法では、セル中心 \(i, i+1, i+2\) などの値だけでなく、そのセルの間にある境界面 \(i+1/2, i+3/2\) などを通過する流束の計算が必要となります。そこでセル中心の値からセル境界の値を補間する、空間再構成手法が必要となります。しかし、この補間によって数値振動が発生してしまっては、元も子もありません。ここでは宇宙 (磁気) 流体計算で主に用いられている、補間手法について見ていきましょう。
以降では \(V\) という値を補間することにします。この \(V\) は、セル中心 \(i, i+1, i+2, \dots\) で定義されている量です。近似リーマン解法では、セル境界 \(i+1/2\) の左側 (セル \(i\) の側) と \(i+1/2\) の右側 (セル \(i+1\) の側) を計算する必要があります。この左側と右側の値を用いることで、それぞれの側での流束 \(\mathbf{F}_\mathrm{L}, \mathbf{F}_\mathrm{R}\) と、中間状態からくる流束 \(\mathbf{F}^\ast\) などを求めることが可能になります。

以降では簡単のため、セルの間隔 \(x_{i+1} - x_i = \Delta x\) は一定とします。

空間 2 次精度手法

Minmod 法

最も基本的な再構成手法の一つです。単調性が保証されている基礎的な手法ですが、最も散逸的な計算結果となるデメリットも持ちます。この手法は極めてシンプルです。まず \(i + 1/2\) の左側の値 \(V_{L, i+1/2}\) を、直線 (1次関数) を用いて推測することを考えます。素朴に考えると、\(i-1\) と \(i\) の値から外挿する方法と、\(i\) と \(i+1\) の値から内挿する方法、の2つが考えられます。

(左): \(i-1\) と \(i\) の値から外挿する方法、(右): \(i\) と \(i+1\) の値から内挿する方法。

この2つの直線の傾きを比べたときに、傾きが穏やかを選びます。すなわち

\[V_{\mathrm{L}, i+1/2} = V_i + 0.5 \mathrm{min} (a, b) \Delta x \qquad \left( a = \frac{V_{i+1} - V_i}{\Delta x}, b = \frac{V_i - V_{i-1}}{\Delta x} \right) \tag{1}\]

のようにして求めます。同様に、\(V_{\mathrm{R}, i-1/2}\) (\(V_{\mathrm{L}, i+1/2}\) とはセル中心を挟んで反対側の値) も

\[V_{\mathrm{R}, i+1/2} = V_i - 0.5 \mathrm{min} (a, b) \Delta x \tag{2}\]

として計算します。ただし、傾きが負の場合もあるため、正確には傾きの絶対値 \(\vert a \vert, \vert b \vert\) の大きさを比較しなければなりません。そして注意が必要なのは、次のように左右で傾きの符号が変化するときです。

この場合には解の単調性を維持するために、どちらの直線も採用せず、\(V_{\mathrm{L}, i+1/2} = V_i, V_{\mathrm{R}, i-1/2} = V_i\) のように \(i\) 番目のセルの値をそのまま用います。
以上の議論から、minmodリミッターを用いる場合には、次のようなコーディング例が考えられます。

a = V[i] - V[i-1];
b = V[i+1] - V[i];
if(a * b <= 0.0) grad = 0.0;
else{
    if(a > 0.0) grad = min(a, b);
    else grad = max(a, b);
}
Vl[i] = V[i] + 0.5 * grad;
Vr[i-1] = V[i] - 0.5 * grad;

a * b <= 0.0 により、a と b が同符号であるかを判定しています。

Superbee 法

Superbee リミッターは、次のような図で考えることができます。

まず直線 \(a, b\) の傾きを比較します。傾きが小さな方 (この図の場合は \(a\)) の直線を、\(x_i\) から \(x_{i+1}\) まで伸ばします (すなわち \(x_{i+1/2}\) まで伸ばす場合の2倍であり、傾きを2倍すると考えても良いでしょう)。このようにして得られた青点の値と、傾きが大きな直線 \(b\) の内挿によるマゼンダ点の値とを比較し、値が小さな方を \(V_{\mathrm{L}, i+1/2}\) として選びます。ただし minmod 法と同様に、\(a, b\) の符号が異なる場合には、どちらの直線も採用しません。実際のコーディング例として、次のようなものが考えられます。

a = V[i] - V[i-1];
b = V[i+1] - V[i];
if(a * b <= 0.0) grad = 0.0;
else{
    if(fabs(a) >= fabs(b)){
        if(a > 0.0) grad = min(a, 2.0 * b);
        else grad = max(a, 2.0 * b);
		}
    else{
        if(a > 0.0) grad = min(2.0 * a, b);
        else grad = max(2.0 * a, b);
    }
}
Vl[i] = V[i] + 0.5 * grad;
Vr[i-1] = V[i] - 0.5 * grad;				

解の単調性を維持しつつ、minmod手法より散逸を抑えた方法であり、接触不連続面もよりシャープに捉えることができます。しかし、滑らかな極値を歪める特徴も持っているため、万能な手法というわけではありません。具体的には、滑らかなプロファイルを角張らせるという特徴があります。例えば、正弦波のような波形を superbee 法を用いた数値計算手法で時間発展させると、頂点付近から平坦になり、最終的に矩形波に近いような形になります。

Monotonized Centered (MC) 法

ここまでは \(V_{i-1}\) と \(V_i\)、そして \(V_i\) と \(V_{i+1}\) の差を取る、ある種の後退差分と前進差分について考えてきました。この MC 法では、中心差分的なものとして \(V_{i-1}\) と \(V_{i+1}\) の差についても考慮します。

上図のように3つの直線を考え、その中で最小となるものを選びます。コーディング例として、次のようなものが考えられます。

a = V[i] - V[i-1]
b = V[i+1] - V[i]
c = V[i+1] - V[i-1]
if (a * b <= 0.0) grad = 0.0;
else {
    if (a > 0.0) grad = min(2 * a, min(2 * b, c / 2));
    else grad = max(2 * a, max(2 * b, c / 2));
}
Vl[i] = V[i] + 0.5 * grad;
Vr[i] = V[i] - 0.5 * grad;

滑らかな領域では中心差分により 2 次精度となり、不連続な箇所では \(2a, 2b\) の制限から振動を抑えます。これにより、minmod 法ほど散逸的でないながら、superbee 法ほど滑らかさを失わない、という2つの中間的な立ち位置となります。