Table of contents
  1. アインシュタイン方程式
    1. アインシュタインテンソルとエネルギー運動量テンソル
    2. 定数の決定
    3. アインシュタイン方程式

アインシュタイン方程式

導出の途中で出てくる

\[h_{00} = \frac{2\Phi}{c^2}\]

は弱重力場でのニュートン方程式の導出(後日更新)でわかります。

アインシュタインテンソルとエネルギー運動量テンソル

アインシュタインテンソルは\(\nabla_\alpha G^{\alpha \beta} = 0\)を満たします。また完全流体のエネルギー運動量テンソルも同様に\(\nabla_\alpha T^{\alpha \beta} = 0\)を満たすので、定数\(\kappa\)を用いて

\[G^{\alpha \beta} = \kappa T^{\alpha \beta}\]

と書くことがきます。これは物質が存在する(右辺)ことにより、空間の曲率が変化する(左辺)ことを意味するものです。

定数の決定

定数\(\kappa\)を求めるために、重力が弱い極限でのポアソン方程式

\[\Delta \Phi = 4\pi G \rho\]

と一致することを用います。弱い重力場において、メトリックが

\[(g_{\mu \nu}) = \left( \begin{array}{cccc} -(1+h_{00}) && && && {\bf 0} \\ && 1+h && && \\ && && 1+h && \\ {\bf 0} && && && 1+h \end{array} \right)\]

のようにミンコフスキーメトリックからの微小なズレとして表現されるとします。ここで\(\|h_{00} \| \ll 1, \| h \| \ll 1\)かつ\(\dot{h_{00}} = \dot{h} = 0\)です。

クリストッフェル記号を計算するために、この逆行列を準備する必要があります。しかし

\[\Gamma^\mu_{\alpha \beta} = \frac{1}{2} g^{\mu \sigma} (g_{\sigma \alpha, \beta} + g_{\sigma \beta, \alpha} - g_{\alpha \beta, \sigma})\]

より、逆行列を詳細に求めたところで、結局\(h_{00}, h\)の高次の項が出現するだけです。よって必要な部分だけ計算を行うことにしましょう。

\[g^{00} = \frac{1}{g_{00}} = - \frac{1}{1+h_{00}} \simeq - 1+h_{00}\] \[\delta^j_i g^{ij} \simeq 1\]

です。すると\(\Gamma \simeq O (h)\)より

\[R^\alpha_{\gamma \mu \nu} = \partial_\mu \Gamma^\alpha_{\nu \gamma} - \partial_\nu \Gamma^\alpha_{\mu \gamma} + \underbrace{\Gamma^\alpha_{\mu \sigma} \Gamma^\sigma_{\gamma \nu}}_{O(h^2)} - \underbrace{\Gamma^\alpha_{\nu \sigma} \Gamma^\sigma_{\mu \gamma}}_{O(h^2)} \simeq \partial_\mu \Gamma^\alpha_{\nu \gamma} - \partial_\nu \Gamma^\alpha_{\mu \gamma}\] \[\Gamma^0_{00} = 0, \Gamma^0_{0i} = \frac{1}{2} g^{00} g_{00, i} = \frac{1}{2} h_{00, i}, \Gamma^i_{00} = \frac{1}{2} g^{ij} (-g_{00, j}) = \frac{1}{2} h_{00, i}\]

より

\[R^{0}_{i0j} = \partial_0 \Gamma^0_{ji} - \partial_j \Gamma^0_{0i} = - \frac{1}{2} h_{00, ij}\] \[R^0_{ij0} = - R^0_{i0j} = \frac{1}{2} h_{00, ij}\] \[R^i_{00j} = - \partial_j \Gamma^i_{00} = - \frac{1}{2} h_{00, ij}\] \[R^0_{000} = 0\] \[\begin{aligned} R^{i}_{k \ell j} &= \partial_\ell \Gamma^i_{jk} -\partial_j \Gamma^i_{\ell k} = \partial_\ell \left\{ \frac{1}{2} \delta^{im} (\delta_{mj} h_{,k} + \delta_{mk} h_{,j} - \delta_{jk} h_{,m} )\right\} - \partial_j \left\{ \frac{1}{2} \delta^{im} (\delta_{m\ell} h_{,k} + \delta_{mk} h_{,\ell} - \delta_{\ell k} h_{,m} )\right\} \\ &= \frac{1}{2} (\delta^i_j h_{, k\ell} - \delta^{jk} \delta^{im} h_{, m\ell} -\delta^i_\ell h_{, kj} + \delta^{\ell k} \delta^{im} h_{, mj}) \end{aligned}\]

よって

\[R_{k\ell} = R^\alpha_{k\alpha \ell} = R^0_{k0\ell} + R^{i}_{ki\ell} = -\frac{1}{2} h_{00, k\ell} - \frac{3}{2} h_{, k\ell} + \frac{1}{2} h_{,k\ell} + \frac{1}{2} h_{, k\ell} - \frac{1}{2} \delta^{k\ell} \Delta h = - \frac{1}{2} h_{00, k\ell} - \frac{1}{2} h_{, k\ell} - \frac{1}{2} \delta^{k\ell} \Delta h\] \[R = g^{\mu \nu} R^\alpha_{\mu \alpha \nu} = g^{00} R^\alpha_{0\alpha 0} + g^{k\ell} R^0_{k0\ell} + g^{k\ell} R^i_{ki\ell} = -\frac{1}{2} \Delta h_{00} - \frac{1}{2} \Delta h_00 - 2 \Delta h = -\Delta h_{00} -2 \Delta h\] \[R_{00} = R^0_{000} + R^i_{0i0} = \frac{1}{2} \Delta h_{00}\]

\(i \neq j\)に対して

\[G_{ij} = R_{ij} - \frac{1}{2} g_{ij} R = -\frac{1}{2}h_{00, ij} - \frac{1}{2} h_{, ij} = \kappa T_{ij}\]

ここで\(u^\alpha = 0\)のように完全流体が静止しているとすると

\[-\frac{1}{2} h_{00, ij} - \frac{1}{2} h_{, ij} = \kappa T_{ij} = 0 \ \Longrightarrow \ h_{00} = -h = \frac{2\Phi}{c^2}\] \[\begin{aligned} &\therefore \ G_{00} = R_{00} - \frac{1}{2} g_{00} R = \frac{1}{2} \Delta h_{00} + \frac{1}{2} (-\Delta h_{00} - 2\Delta h) = -\Delta h = \frac{2}{c^2} \Delta \Phi = \frac{8\pi G}{c^2} \rho = \kappa T^{00} = \kappa \rho c^2 \\ &\Longrightarrow \ \kappa = \frac{8\pi G}{c^4} \end{aligned}\]

アインシュタイン方程式

定数が求まったので、最終的な形は

\[G^{\alpha \beta} = R^{\alpha \beta} - \frac{1}{2} Rg^{\alpha \beta} = \frac{8\pi G}{c^4} T^{\alpha \beta}\]

となります。


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