赤方偏移
ここでは宇宙論的な赤方偏移(cosmological redshift)を導出しています。
光の経路
光は\(ds^2 = 0\)の経路を通るので
\[ds^2 = -c^2 dt^2 + a^2 (t) (\frac{dr^2}{1-Kr^2} r^2 (d\theta^2 + \sin^2 \theta)) = 0\]\(d\theta = d\varphi = 0\)で光が直進しているとすると
\[cdt = - \frac{a(t) dr}{\sqrt{1-Kr^2}} = -a(t) d\chi \ \Longrightarrow \ d\chi = -\frac{cdt}{a(t)}\]赤方偏移
この両辺を積分します。\(t_1\)に発せられた光が\(t_0\)に観測者に到達すると考えます。光源までの距離を\(\chi_1\)とすると
\[\int_{t_1}^{t_0} \frac{c}{a(t)} dt = -\int_{\chi_1}^0 d\chi = \chi_1\]同じく、\(t_1 + \Delta t_1\)に発せられた光が\(t_0 + \Delta t_0\)に観測者に到達すると考えると、同様に
\[\int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_0 + \Delta t_0} \frac{c}{a(t)} dt = -\int_{\chi_1}^0 d\chi = \chi_1\]この2式の両辺を引くと
\[\begin{aligned} \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_0 + \Delta t_0} \frac{c}{a(t)}dt -\int_{t_1 }^{t_0 } \frac{c}{a(t)} dt &= \int_{t_1 + \Delta t_1}^{t_0 + \Delta t_0} \frac{c}{a(t)}dt + \int_{t_0}^{t_1 + \Delta t_1} \frac{c}{a(t)} dt - \int_{t_0}^{t_1 + \Delta t_1} \frac{c}{a(t)} dt - \int_{t_1 }^{t_0 } \frac{c}{a(t)} dt \\ &= \int_{t_0}^{t_0 + \Delta t_0} \frac{c}{a(t)} dt -\int_{t_1}^{t_1 + \Delta t_1} \frac{c}{a(t)} dt \end{aligned}\]\(\Delta t_0, \Delta t_1\)は光の周期くらい短いと考えて、宇宙膨張を示すパラメータ\(a(t)\)は積分範囲内で定数と考えると\(c\Delta t = \lambda, a(t_0) = 1\)より
\[\frac{c\Delta t_1}{a(t_1)} = \frac{\lambda_1}{a(t_1)} = \frac{c\Delta t_0}{a(t_0)} = \lambda_0\]赤方偏移を\(1/a(t_1) \equiv 1+ z_1\)とすると
\[\lambda_0 = \lambda_1 (1+z_1)\]振動数に直すと
\[\nu_0 = \frac{\nu_1}{1+z_1}\]これが宇宙膨張による光の赤方偏移、cosmological redshiftです。