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輻射場のフーリエスペクトル
その1
位置\(\mathbf{r}\)にいる観測者が時刻\(t\)に観測する輻射場のフーリエスペクトル
\[\hat{\mathbf{E}} (\mathbf{r}, \omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{T_1}^{T_2} \frac{q}{c} \frac{\mathbf{n} \times \{ (\mathbf{n}-\boldsymbol{\beta} (t')) \times \dot{\boldsymbol{\beta}} (t')\}}{\kappa(t')^3 R(t')} e^{i\omega t} dt\]を求めましょう。ここで\(\mathbf{R} (t') = \mathbf{r} - \mathbf{r}_0 (t'), \mathbf{n}(t') = \mathbf{R}(t')/R(t')\)ですが、今、\(\mathbf{n}\)の時間変化は微小として定ベクトルとして扱うことにします。また\(t'=t-R(t')/c\)は遅延時刻、そして\(T_1 < t < T_2\)はスペクトルを求めるために輻射場が観測された時間です。
\(dt = \kappa (t') dt'\)より、\(t = T_1 \rightarrow T_2\)のとき\(t' = T_1' \rightarrow T_2'\)としましょう。観測者と荷電粒子との相対距離\(R\)において成り立つ式
\[R^2 = \mathbf{R} \cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) \ \Longrightarrow \ R = \mathbf{n} \cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)\]を用いて
\[\begin{align} \hat{\mathbf{E}} (\mathbf{r}, \omega) &= \frac{1}{2\pi} \frac{q}{c} \int_{T_1'}^{T_2'} \frac{\mathbf{n} \times \{ (\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta} (t')) \times \dot{\boldsymbol{\beta}} (t')\} }{\kappa(t')^3 R(t')} e^{i \omega (t'+\frac{R(t')}{c})}\kappa(t') \ dt' \notag \\ &= \frac{1}{2\pi} \frac{q}{c} e^{i\omega \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{c}}\int_{T'_1}^{T'_2} \frac{\mathbf{n} \times \{ (\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta} (t')) \times \dot{\boldsymbol{\beta}} (t')\}}{\kappa(t')^2 R(t')} e^{i \omega (t'-\frac{\mathbf{r}_0(t') \cdot \mathbf{n}}{c})} \ dt' \notag \end{align}\]さらに分母に出現している\(R(t')\)も時間変化が無視できるほど小さいとして、代表時刻(例えば\(t'=0\))での相対距離\(R\)で近似すると
\[\hat{\mathbf{E}} (\mathbf{r}, \omega) = \frac{q}{2\pi cR} e^{i\omega \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{c}}\int_{T'_1}^{T'_2} \frac{\mathbf{n} \times \{ (\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta} (t')) \times \dot{\boldsymbol{\beta}} (t')\}}{\kappa(t')^2} e^{i \omega (t'-\frac{\mathbf{r}_0(t') \cdot \mathbf{n}}{c})} dt' \tag{1}\]のようになります。 上式に\(\dot{\boldsymbol{\beta}}\)が含まれているため、これを部分積分で除去しましょう。
\[\frac{d \kappa}{dt} = \frac{d}{dt} (1- \mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) = - \mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}\] \[\frac{\mathbf{n}\times \{ (\mathbf{n}- \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}} \}}{\kappa^2} = \frac{\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \dot{\boldsymbol{\beta}}) - \mathbf{n} \times (\boldsymbol{\beta} \times \dot{\boldsymbol{\beta}})}{\kappa^2} = \frac{(\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n} - \dot{\boldsymbol{\beta}} - (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \boldsymbol{\beta} + (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \dot{\boldsymbol{\beta}}}{\kappa^2} = \frac{(\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) (\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}) -\dot{\boldsymbol{\beta}} \kappa}{\kappa^2}\] \[\begin{align} \frac{d}{dt} \left( \frac{\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \boldsymbol{\beta})}{\kappa}\right) &= \frac{[(\mathbf{n}\cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n} - \dot{\boldsymbol{\beta}} ] \kappa - [(\mathbf{n}\cdot \boldsymbol{\beta}) \mathbf{n} - \boldsymbol{\beta} ] \dot{\kappa}}{\kappa^2} = \frac{[(\mathbf{n}\cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n} - \dot{\boldsymbol{\beta}} ] (1-\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) + [(\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \mathbf{n} - \boldsymbol{\beta} ] (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}})}{\kappa^2} \notag \\ &= \frac{[(\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{n} - \dot{\boldsymbol{\beta}} ] + (\mathbf{n} \cdot \boldsymbol{\beta}) \dot{\boldsymbol{\beta}} - (\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) \boldsymbol{\beta}}{\kappa^2} = \frac{(\mathbf{n} \cdot \dot{\boldsymbol{\beta}}) (\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}) -\dot{\boldsymbol{\beta}} \kappa}{\kappa^2} \notag \end{align}\] \[\therefore \ \frac{\mathbf{n}\times \{ (\mathbf{n}- \boldsymbol{\beta}) \times \dot{\boldsymbol{\beta}} \}}{\kappa^2} = \frac{d}{dt} \left( \frac{\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \boldsymbol{\beta})}{\kappa}\right)\]よって
\[\begin{align} \hat{\mathbf{E}} (\mathbf{r}, \omega) &= \frac{q}{2\pi cR} e^{i\omega \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{c}}\int_{T'_1}^{T'_2} \frac{d}{dt'} \left( \frac{\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \boldsymbol{\beta})}{\kappa}\right) e^{i \omega (t'-\frac{\mathbf{r}_0(t') \cdot \mathbf{n}}{c})} dt' \notag \\ &= \frac{q}{2\pi cR} e^{i\omega \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{c}} \left[ \frac{\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \boldsymbol{\beta})}{\kappa} e^{i \omega (t'-\frac{\mathbf{r}_0(t') \cdot \mathbf{n}}{c})} \right]_{T_1}^{T_2} - \frac{i \omega q}{2\pi cR} e^{i\omega \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{c}} \int_{T'_1}^{T'_2} \frac{\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \boldsymbol{\beta})}{\kappa} (1- \mathbf{u} \cdot \mathbf{n}) e^{i \omega (t'-\frac{\mathbf{r}_0(t') \cdot \mathbf{n}}{c})} dt' \notag \\ &= \frac{q}{2\pi cR} e^{i\omega \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{c}} \left[ \frac{\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \boldsymbol{\beta})}{\kappa} e^{i \omega (t'-\frac{\mathbf{r}_0(t') \cdot \mathbf{n}}{c})} \right]_{T_1}^{T_2} - \frac{i \omega q}{2\pi cR} e^{i\omega \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{c}} \int_{T'_1}^{T'_2} \frac{\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \boldsymbol{\beta})}{\kappa} \underbrace{(1- \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{n}}{c})}_{=\kappa} e^{i \omega (t'-\frac{\mathbf{r}_0(t') \cdot \mathbf{n}}{c})} dt' \notag \\ &= \frac{q}{2\pi cR} e^{i\omega \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{c}} \left[ \frac{\mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \boldsymbol{\beta})}{\kappa} e^{i \omega (t'-\frac{\mathbf{r}_0(t') \cdot \mathbf{n}}{c})} \right]_{T_1}^{T_2} - \frac{i \omega q}{2\pi cR} e^{i\omega \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{c}} \int_{T'_1}^{T'_2} \mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \boldsymbol{\beta})e^{i \omega (t'-\frac{\mathbf{r}_0(t') \cdot \mathbf{n}}{c})} dt' \notag \end{align}\]荷電粒子の軌道をこの式に代入すれば、その荷電粒子から放射される輻射のスペクトルを求めることができます。長時間平均を取ると右辺の第1項が消えて
\[\hat{\mathbf{E}} (\mathbf{r}, \omega) = - \frac{i \omega q}{2\pi cR} e^{i\omega \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{c}} \int_{T'_1}^{T'_2} \mathbf{n} \times (\mathbf{n} \times \boldsymbol{\beta})e^{i \omega (t'-\frac{\mathbf{r}_0(t') \cdot \mathbf{n}}{c})} dt'\]の部分のみが残ります。
その2
輻射場のフーリエスペクトルは、この表記だけではありません。 (1)式において、\(T_1 \rightarrow -\infty, T_2 \rightarrow \infty\)の場合を考えましょう。 この荷電粒子は観測者から十分に遠く、\(\mathbf{n}\)は定ベクトルとして扱って良いとします。 また加速度\(\dot{\boldsymbol{\beta}} = \mathbf{a} /c\)が十分に弱いため、速度ベクトルもほぼ一定であるとすると
\[\hat{\mathbf{E}} (\mathbf{r}, \omega) = \frac{q}{2\pi c R} e^{i\omega \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{r}}{c}} \frac{\mathbf{n} \times \{ (\mathbf{n} - \boldsymbol{\beta}) \times \hat{\mathbf{a}}_{\omega'}\}}{\kappa^2 c} \tag{2}\]のように書くこともできます。 ここで
\[\hat{\mathbf{a}}_{\omega'} = \int_{-\infty}^\infty \mathbf{a} (t') e^{i\omega' t'} dt' \tag{3}\]は、加速度をフーリエ変換したものです。 また\(\omega' = \omega (1 - \frac{\mathbf{r}_0 \cdot \mathbf{n}}{ct'})\)を用いました。